2020年中考数学模拟试卷

1 2020 年中考数学模拟试卷 一．选择题 1．计算﹣ ﹣|﹣3|的结果是（　　） A．﹣1 B．﹣5 C．1 D．5 2．下列运算正确的是（　　） A．m6÷m2＝m3 B．（x+1）2＝x2+1 C．（3m2）3＝9m6 D．2a3•a4＝2a7 3．如图，已知 AB∥DE，∠ABC＝75°，∠CDE＝145°，则∠BCD 的值为（　　） A．20° B．30° C．40° D．70° 4．下列各点不在直线 y＝﹣x+2 上的是（　　） A．（3，﹣1） B．（2，0） C．（﹣1，1） D．（﹣3，5） 5．若不等式（a+1）x＞2 的解集为 x＜ ，则 a 的取值范围是（　　） A．a＜1 B．a＞1 C．a＜﹣1 D．a＞﹣1 6．下列命题是真命题的是（　　） A．四边都相等的四边形是矩形 B．菱形的对角线相等 C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形2 D．对角线相等的平行四边形是矩形 7．从﹣1，2，3 ，﹣6 这四个数中任选两数，分别记作 m，n，那么点（m，n）在函数 y＝ 图象上的概率是（　　） A． B． C． D． 8．如图，AD 平分∠BAC，AB＝AC，连接 BC，交 AD 于点 E，下列说法正确的有（　　） ①∠BAC＝∠ACB；②S 四边形 ABDC＝AD•CE；③AB2+CD2＝AC2+BD2；④AB﹣BD＝AC﹣CD． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 9．图 1 是用钢丝制作的一个几何探究工具，其中△ABC 内接于⊙G，AB 是⊙G 的直径，AB＝ 6，AC＝2．现将制作的几何探究工具放在平面直角坐标系中（如图 2），然后点 A 在射线 OX 上 由点 O 开始向右滑动，点 B 在射线 OY 上也随之向点 O 滑动（如图 3），当点 B 滑动至与 点 O 重合时运动结束． 在整个运动过程中，点 C 运动的路程是（　　） A．4 B．6 C．4 ﹣2 D．10﹣4 10．若关于 x 的不等式组 无解，则 m 的取值范围（　　） A．m＞3 B．m＜3 C．m≤3 D．m≥3 11．已知在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，BC＝1，AC＝2，则下列结论正确的是（　　） A．sinA＝ B．tanA＝ C．tanC＝ D．cosC＝ 12．如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC.BD 相交成的锐角 α＝30°，若 AC＝8，BD＝ 6，则平行四边形 ABCD 的面积是（　　）3 A．6 B．8 C．10 D．12 13．如图，是从不同的方向看一个物体得到的平面图形，该物体的形状是（　　） A．圆锥 B．圆柱 C．三棱锥 D．三棱柱 14．小李家距学校 3 千米，中午 12 点他从家出发到学校，途中路过文具店买了些学习用品， 12 点 50 分到校．下列图象中能大致表示他离家的距离 S（千米）与离家的时间 t（分钟） 之间的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 15．已知正方形 MNOK 和正六边形 ABCDEF 边长均为 1，把正方形放在正六边形中，使 OK 边 与 AB 边重合，如图所示．按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点 B 顺时针旋转，使 KM 边与 BC 边重合，完成第一次旋转；再绕点 C 顺时针旋转，使 MN 边与 CD 边重合，完成第 二次旋转；……在这样连续 6 次旋转的过程中，点 B，M 间的距离不可能是（　　）4 A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8 16．如图，正方形 ABCD 中，AB＝4cm，点 E.F 同时从 C 点出发，以 1cm/s 的速度分别沿 CB﹣ BA.CD﹣DA 运动，到点 A 时停止运动．设运动时间为 t（s），△AEF 的面积为 S（cm2），则 S （cm2）与 t（s）的函数关系可用图象表示为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（满分 12 分，每小题 3 分） 17．计算 +（﹣2）0 的结果为_____． 18．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形 B.C.D 的面积依次为 4.3.9，则正方形 A 的面积为________． 19．已知二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列 6 个结论： ①abc＜0； ②b＜a﹣c； ③4a+2b+c＞0； ④2c＜3b； ⑤a+b＜m（am+b），（m≠1 的实数）5 ⑥2a+b+c＞0，其中正确的结论的有_______　． 20．如图，在平面直角坐标系中，点 A1，A2，A3，…和 B1，B2，B3，…分别在直线 y＝ x+b 和 x 轴上．△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形．如果点 A1（1，1）， 那么点 A2018 的纵坐标是________． 三．解答题（共 6 小题，满分 66 分） 21．（10 分）为判断命题“有三条边相等且一组对角相等的四边形是菱形”的真假，数学课 上，老师给出菱形 ABCD 如图 1，并作出了一个四边形 ABC′D．具体作图过程如下： 如图 2，在菱形 ABCD 中， ①连接 BD，以点 B 为圆心，以 BD 的长为半径作圆弧，交 CD 于点 P； ②分别以 B.D 为圆心，以 BC.PC 的长为半径作圆弧，两弧交于点 C′． ③连接 BC′、DC′，得四边形 ABC′D． 依据上述作图过程，解决以下问题： （1）求证：∠A＝∠C′；AD＝BC′． （2）根据作图过程和（1）中的结论，说明命题“有三条边相等且有一组对顶角相等的四边 形是菱形”是________命题．（填写“真”或“假”）6 22．（9 分）文化是一个国家、一个民族的灵魂，近年来，央视推出《中国诗词大会》、《中 国成语大会》、《朗读者》、《经曲咏流传》等一系列文化栏目．为了解学生对这些栏目的喜爱 情况，某学校组织学生会成员随机抽取了部分学生进行调查，被调查的学生必须从《经曲咏 流传》（记为 A）、《中国诗词大会》（记为 B）、《中国成语大会》（记为 C）、《朗读者》（记为 D）中选择自己最喜爱的一个栏目，也可以写出一个自己喜爱的其他文化栏目（记为 E）．根 据调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 请根据图中信息解答下列问题： （1）在这项调查中，共调查了多少名学生？ （2）将条形统计图补充完整，并求出扇形统计图中“B”所在扇形圆心角的度数； （3）若选择“E”的学生中有 2 名女生，其余为男生，现从选择“E”的学生中随机选出两 名学生参加座谈，请用列表法或画树状图的方法求出刚好选到同性别学生的概率． 23．（11 分）如图，过正方形 ABCD 顶点 B，C 的⊙O 与 AD 相切于点 E，与 CD 相交于点 F，连 接 EF． （1）求证：EF 平分∠BFD． （2）若 tan∠FBC＝ ，DF＝ ，求 EF 的长．7 24．（11 分）如图，直线 L：y＝﹣ x+2 与 x 轴、y 轴分别交于 A.B 两点，在 y 轴上有一点 N （0，4），动点 M 从 A 点以每秒 1 个单位的速度匀速沿 x 轴向左移动． （1）点 A 的坐标：_____；点 B 的坐标：______； （2）求△NOM 的面积 S 与 M 的移动时间 t 之间的函数关系式； （3）在 y 轴右边，当 t 为何值时，△NOM≌△AOB，求出此时点 M 的坐标； （4）在（3）的条件下，若点 G 是线段 ON 上一点，连结 MG，△MGN 沿 MG 折叠，点 N 恰好落 在 x 轴上的点 H 处，求点 G 的坐标． 25．（12 分）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长）， 用 32m 长的篱笆围成一个矩形花园 ABCD（篱笆只围 AB，BC 两边），设 AB＝xm． （1）若花园的面积为 252m2，求 x 的值； （2）若在 P 处有一棵树与墙 CD，AD 的距离分别是 17m 和 6m，要将这棵树围在花园内（含 边界，不考虑树的粗细），求花园面积 S 的最大值． 26．（13 分）在正方形 ABCD 中，动点 E，F 分别从 D，C 两点同时出发，以相同的速度在直 线 DC，CB 上移动． （1）如图 1，当点 E 在边 DC 上自 D 向 C 移动，同时点 F 在边 CB 上自 C 向 B 移动时，连接 AE8 和 DF 交于点 P，请你写出 AE 与 DF 的数量关系和位置关系，并说明理由； （2）如图 2，当 E，F 分别在边 CD，BC 的延长线上移动时，连接 AE，DF，（1）中的结论还 成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）；连接 AC，请你直接写出△ACE 为等腰 三角形时 CE：CD 的值； （3）如图 3，当 E，F 分别在直线 DC，CB 上移动时，连接 AE 和 DF 交于点 P，由于点 E，F 的移动，使得点 P 也随之运动，请你画出点 P 运动路径的草图．若 AD＝2，试求出线段 CP 的最大值． 参考答案 一．选择题 1．解：原式＝﹣2﹣3＝﹣5， 故选：B． 2．解：A.原式＝m4，不符合题意； B.原式＝x2+2x+1，不符合题意； C.原式＝27m6，不符合题意； D.原式＝2a7，符合题意， 故选：D． 3．解：延长 ED 交 BC 于 F，如图所示： ∵AB∥DE，∠ABC＝75°，9 ∴∠MFC＝∠B＝75°， ∵∠CDE＝145°， ∴∠FDC＝180°﹣145°＝35°， ∴∠C＝∠MFC﹣∠MDC＝75°﹣35°＝40°， 故选：C． 4．解：当 x＝3 时，y＝﹣x+2＝﹣1；当 x＝2 时，y＝﹣x+2＝0；当 x＝﹣1 时，y＝﹣x+2＝ 3；当 x＝﹣3 时，y＝﹣x+2＝5， 所以点（3，﹣1）、（2，0）、（﹣3，5）在直线 y＝﹣x+2 上，而点（﹣1，1）不在直线 y＝﹣ x+2 上． 故选：C． 5．解：∵不等式（a+1）x＞2 的解集为 x＜ ， ∴不等式两边同时除以（a+1））时不等号的方向改变， ∴a+1＜0， ∴a＜﹣1． 故选：C． 6．解：A.四边都相等的四边形是菱形，故错误； B.矩形的对角线相等，故错误； C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误； D.对角线相等的平行四边形是矩形，正确， 故选：D． 7．解：画树状图得：10 ∵共有 12 种等可能的结果，点（m，n）恰好在反比例函数 y＝ 图象上的有：（2，3），（﹣ 1，﹣ 6），（3，2），（﹣6，﹣1）， ∴点（m，n）在函数 y＝ 图象上的概率是： ＝ ． 故选：B． 8．解：∵AD 平分∠BAC，AB＝AC， ∴AD⊥BC，CE＝BE， ∴S 四边形 ABDC＝S△ABD+S△ACD＝ AD×BE+ AD×CE＝ AD（BE+CE）＝AD×CE，故②正 确； ∵AD 平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， 在△ABD 与△ACD 中， ， ∴△ABD≌△ACD（SAS）， ∴BD＝CD， ∴③AB2+CD2＝AC2+BD2；④AB﹣BD＝AC﹣CD，故③④正确； △ABC 不一定是等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB 不一定成立， 故①不一定正确． 所以正确的有②③④共 3 个． 故选：C． 9．解：如图 3，连接 OG． ∵∠AOB 是直角，G 为 AB 中点， ∴GO＝ AB＝半径， ∴原点 O 始终在⊙G 上． ∵∠ACB＝90°，AB＝6，AC＝2，∴BC＝4 ． 连接 OC．则∠AOC＝∠ABC，∴tan∠AOC＝ ＝ ， ∴点 C 在与 x 轴夹角为∠AOC 的射线上运动．11 如图 4，C1C2＝OC2﹣ OC1＝6﹣2＝4； 如图 5，C2C3＝OC2﹣OC3＝6﹣4 ； ∴总路径为：C1C2+C2C3＝4+6﹣4 ＝10﹣4 ． 故选：D． 10．解： ， 由①得：x＞2+m， 由②得：x＜2m﹣1， ∵不等式组无解， ∴2+m≥2m﹣1， ∴m≤3， 故选：C． 11．解：如图所示： ∵Rt△ABC 中，∠B＝90°，BC＝1，AC＝2， ∴∠A＝30°，∠C＝60°， ∴sinA＝ ，tanA＝ ，故 A.B 选项错误；12 ∵∠C＝60°， ∴tanC＝ ，cosC＝ ，故 C 正确，D 错误． 故选：C． 12．解：过点 D 作 DE⊥AC 于点 E， ∵在▱ABCD 中，AC＝8，BD＝6， ∴OD＝ BD＝3， ∵∠α＝30°， ∴DE＝OD•sin∠α＝3× ＝1.5， ∴S△ACD＝ AC•DE＝ ×8×1.5＝6， ∴S▱ABCD＝2S△ACD＝12． 故选：D． 13．解：∵主视图和左视图都是三角形， ∴此几何体为锥体， ∵俯视图是一个圆及圆心， ∴此几何体为圆锥， 故选：A． 14．解：∵小李距家 3 千米， ∴离家的距离随着时间的增大而增大， ∵途中在文具店买了一些学习用品，13 ∴中间有一段离家的距离不再增加， 综合以上 C 符合， 故选：C． 15．解：如图，在这样连续 6 次旋转的过程中，点 M 的运动轨迹是图中的红线， 观察图象可知点 B，M 间的距离大于等于 2﹣ 小于等于 1， 故选：A． 16．解：当 0≤t≤4 时，S＝S 正方形 ABCD﹣S△ADF﹣S△ABE﹣S△CEF ＝4•4﹣ •4 •（4﹣t）﹣ •4•（4﹣t）﹣ •t•t ＝﹣ t2+4t ＝﹣ （t﹣4）2+8； 当 4＜t≤8 时，S＝ •（8﹣t）2＝ （t﹣8）2． 故选：D． 二．填空题（共 4 小题，满分 12 分，每小题 3 分） 17．解：原式＝﹣2+1＝﹣1， 故答案为：﹣1 18．解：由题意：S 正方形 A+S 正方形 B＝S 正方形 E，S 正方形 D﹣S 正方形 C＝S 正方形 E， ∴ S 正方形 A+S 正方形 B＝S 正方形 D﹣S 正方形 C ∵正方形 B，C，D 的面积依次为 4，3，9 ∴S 正方形 A+4＝9﹣3， ∴S 正方形 A＝2 故答案为 2．14 19．解：①∵该抛物线开口方向向下， ∴a＜0． ∵抛物线对称轴在 y 轴右侧， ∴A.b 异号， ∴b＞0； ∵抛物线与 y 轴交于正半轴， ∴c＞0， ∴abc＜0； 故①正确； ②∵a＜0，c＞0， ∴a﹣c＜0， ∵b＞0， ∴b＞a﹣c， 故②错误； ③根据抛物线的对称性知，当 x＝2 时，y＞0，即 4a+2b+c＞0；故③正确； ④∵对称轴方程 x＝﹣ ＝1， ∴b＝﹣2a， ∴a＝﹣ b， ∵当 x＝﹣1 时，y＝a﹣b+c＜0， ∴﹣ b+c＜0， ∴2c＜3b， 故④正确； ⑤∵x＝m 对应的函数值为 y＝am2+bm+c， x＝1 对应的函数值为 y＝a+b+c， 又 x＝1 时函数取得最大值，15 当 m≠1 时，a+b+c＞am2+bm+c，即 a+b＞am2+bm＝m（am+b）， 故⑤错误． ⑥∵b＝﹣2a， ∴2a+b＝0， ∵c＞0， ∴2 a+b+c＞0， 故⑥正确． 综上所述，其中正确的结论的有：①③④⑥． 故答案为：①③④⑥． 20．解：分别过点 A1，A2，A3，…向 x 轴作垂线，垂足为 C1，C2，C3，… ∵点 A1（1，1）在直线 y＝ x+b 上 ∴代入求得：b＝ ∴y＝ x+ ∵△OA1B1 为等腰直角三角形 ∴OB1＝2 设点 A2 坐标为（a，b） ∵△B1A2B2 为等腰直角三角形 ∴A2C2＝B1C2＝b ∴a＝OC2＝OB1+B1C2＝2+b 把 A2（2+b，b）代入 y＝ x+ 解得 b＝ ∴OB2＝5 同理设点 A3 坐标为（a，b）16 ∵△B2A3B3 为等腰直角三角形 ∴A3C3＝B2C3＝b ∴a＝OC3＝OB2+B2C3＝5+b 把 A3（5+b，b）代入 y＝ x+ 解得 b＝ 以此类推，发现每个 A 的纵坐标依次是前一个的 倍 则 A2018 的纵坐标是 故答案为： 三．解答题（共 6 小题，满分 66 分） 21．证明：连接 BP，如图所示： ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AD＝BC，∠A＝∠BCD， 根据题意得：BC＝B′C，BD＝BP，DC′＝PC， ∴AD＝BC′， 在△BPC 和△BDC′中， ， ∴△BPC≌△BDC′（SSS）， ∴∠BCD＝∠C′， ∴∠A＝∠C′； （2）由（1）可知四边形 ABC′D 中，AB＝AD＝BC′，∠A＝∠C，但四边形 ABC′D 不存在， 易证 A.D.C′共线， 所以有三条边相等且有一组对顶角相等的四边形是菱形”是真命题． 故答案为：真．17 22．解：（1）30÷20%＝150（人）， ∴共调查了 150 名学生． （2）D：50%×150＝75（人），B：150﹣30﹣75﹣24﹣6＝15（人） 补全条形图如图所示． 扇形统计图中“B”所在扇形圆心角的度数为 ． （3）记选择“E”的同学中的 2 名女生分别为 N1，N2，4 名男生分别为 M1，M2，M3，M4， 列表如下： N1 N2 M1 M2 M3 M4 N1 （N1，N2） （N1，M1） （N1，M2） （N1，M3） （N1，M4） N2 （N2，N1） （N2，M1） （N2，M2） （N2，M3） （N2，M4） M1 （M1，N1） （M1，N2） （M1，M2 ）（M1，M3） （M1，M4） M2 （M2，N1） （M2，N2） （M2，M1） （M2，M3） （M2，M4） M3 （M3，N1） （M3，N2） （M3，M1） （M3，M2） （M3，M4） M4 （M4，N1） （M4，N2） （M4，M1） （M4，M2） （M4，M3） ∵共有 30 种等可能的结果，其 中，恰好是同性别学生（记为事件 F）的有 14 种情况，18 ∴ ． 23．解：（1）连接 OE，BF，PF， ∵∠C＝90°， ∴BF 是⊙O 的直径， ∵⊙O 与 AD 相切于点 E， ∴OE⊥AD， ∵四边形 ABCD 的正方形， ∴CD⊥AD， ∴OE∥CD， ∴∠EFD＝∠OEF， ∵OE＝OF， ∴∠OEF＝∠OFE， ∴∠OFE＝∠EFD， ∴EF 平分∠BFD； （2）连接 PF， ∵BF 是⊙O 的直径， ∴∠BPF＝90°， ∴四边形 BCFP 是矩形， ∴PF＝BC， ∵tan∠FBC＝ ， 设 CF＝3x，BC＝4x， ∴3x+ ＝4x，x＝ ， ∴AD＝BC＝4 ， ∵点 E 是切点， ∴OE⊥AD ∴DF∥OE∥AB ∴DE：AE＝OF：OB＝1：119 ∴DE＝ AD＝2 ， ∴EF＝ ＝5． 24．解： （ 1）在 y＝﹣ x+2 中，令 y＝0 可求得 x＝4，令 x＝0 可求得 y＝2， ∴A（4，0），B（0，2）， 故答案为：（4，0）；（0，2）； （2）由题题意可知 AM＝t， ①当点 M 在 y 轴右边时，OM＝OA﹣AM＝4﹣t， ∵N（0，4）， ∴ON＝4， ∴S＝ OM•ON＝ ×4×（4﹣t）＝8﹣2t； ②当点 M 在 y 轴左边时，则 OM＝AM﹣OA＝t﹣4， ∴S＝ ×4×（t﹣4）＝2t﹣8； （3）∵△NOM≌△AOB， ∴MO＝OB＝2， ∴M（2，0）； （4）∵OM＝2，ON＝4， ∴MN＝ ＝ 2 ， ∵△MGN 沿 MG 折叠， ∴∠NMG＝∠OMG， ∴ ＝ ，且 NG＝ON﹣OG， ∴ ＝ ，解得 OG＝ ﹣1，20 ∴G（0， ﹣1）． 25．解：（1）设 AB＝x 米，可知 BC＝（32﹣x）米，根据题意得：x（32﹣x）＝252． 解这个方程得：x1＝18，x2＝14， 答：x 的长度 18m 或 14m． （2）设周围的矩形面积为 S， 则 S＝x（32﹣x）＝﹣（x﹣16）2+256． ∵在 P 处有一棵树与墙 CD，AD 的距离是 17m 和 6 米， ∴6≤x≤15． ∴当 x＝15 时，S 最大＝﹣（15﹣16）2+256＝255（平方米）． 答：花园面积的最大值是 255 平方米． 26．解：（1）AE＝DF，AE⊥DF， 理由是：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AD＝DC，∠ADE＝∠DCF＝90°， ∵动点 E，F 分别从 D，C 两点同时出发，以相同的速度在直线 DC，CB 上移动， ∴DE＝CF， 在△ADE 和△DCF 中 ， ∴△ADE≌△DCF， ∴AE＝DF，∠DAE＝∠FDC， ∵∠ADE＝90°， ∴∠ADP+∠CDF＝90°， ∴∠ADP+∠DAE＝90°， ∴∠APD＝180°﹣90°＝90°， ∴AE⊥DF；21 （2） （1）中的结论还成立，CE：CD＝ 或 2， 理由是：有两种情况： ①如图 1，当 AC ＝CE 时， 设正方形 ABCD 的边长为 a，由勾股定理得：AC＝CE＝ ＝ a， 则 CE：CD＝ a：a＝ ； ②如图 2，当 AE＝AC 时， 设正方形 ABCD 的边长为 a，由勾股定理得：AC＝AE＝ ＝ a， ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠ADC＝90°，即 AD⊥CE， ∴DE＝CD＝a， ∴CE：CD＝2a：a＝2； 即 CE：CD＝ 或 2；22 （3）∵点 P 在运动中保持∠APD＝90°， ∴点 P 的路径是以 AD 为直径的圆， 如图 3，设 AD 的中点为 Q，连接 CQ 并延长交圆弧于点 P，此时 CP 的长度最大， ∵在 Rt△QDC 中，QC＝ ＝ ＝ ， ∴CP＝QC+QP＝ +1， 即线段 CP 的最大值是 +1．