七年级数学上学期期末复习检测试卷1

2018-2019 学年七年级数学上学期期末复习检测试卷 一、选择题（每小题 2 分，共 24 分） 1．（2 分）若 a 的相反数是 2，则 a 的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．﹣ D．±2 2．（2 分）在国家“一带一路”战略下，我国与欧洲开通了互利互惠的中欧班列．行程最长，途经 城市和国家最多的一趟专列全程长 13000km，将 13000 用科学记数法表示应为（　　） A．0.13×105 B．1.3×104 C．1.3×105 D．13×103 3．（2 分）已知（a﹣1）x2ya+1 是关于 x、y 的五次单项式，则这个单项式的系数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．0 4．（2 分）将如图所示的直角三角形 ABC 绕直角边 AB 旋转一周得到一个几何体，从正面看这个几何 体得到的平面图形应为（　　） A． B． C． D． 5．（2 分）如图，下列说法错误的是（　　） A．直线 AC 与射线 BD 相交于点 A B．BC 是线段 C．直线 AC 经过点 A D．点 D 在直线 AB 上 6．（2 分）如图所示，下列表示角的方法错误的是（　　）A．∠1 与∠AOB 表示同一个角 B．∠β 表示的是∠BOC C．图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC D．∠AOC 也可用∠O 来表示 7．（2 分）如图所示，学校、书店、体育馆在平面图上的位置分别是 A、B、C，书店在学校的正东方 向，体育馆在学校的南偏西 35°方向，那么平面图上的∠CAB 等于（　　） A．145° B．125° C．55° D．35° 8．（2 分）关于 x 的方程 a﹣3（x﹣5）=b（x+2）是一元一次方程，则 b 的取值情况是（　　） A．b≠﹣3 B．b=﹣3 C．b=﹣2 D．b 为任意数 9．（2 分）下列各数中，正确的角度互化是（　　） A．63.5°=63°50′ B．23°12′36″=23.48° C．18°18′18″=18.33° D．22.25°=22°15′ 10．（2 分）图 1 和图 2 中所有的正方形都全等，将图 1 的正方形放在图 2 中的①②③④某一位置， 所组成的图形不能围成正方体的位置是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 11．（2 分）如果点 B 在线段 AC 上，那么下列表达式中：①AB= AC，②AB=BC，③AC=2AB，④ AB+BC=AC，能表示 B 是线段 AC 的中点的有（　　）A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 12．（2 分）设一个锐角与这个角的补角的差的绝对值为 α，则（　　） A．0°＜α＜90°或 90°＜α＜180° B．0°＜α＜180° C．0°＜α＜90° D．0°＜α≤90° 　 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 13．（3 分）若 3x=﹣ ，则 4x=　 　． 14．（3 分）已知有理数 a 在数轴上的位置如图，则 a+|a﹣1|=　 　． 15．（3 分）已知线段 MN=16cm，点 P 为任意一点，那么线段 MP 与 NP 和的最小值是　 　cm． 16．（3 分）若 x=y+3，则 （x﹣y） 2﹣2.3（x﹣y）+0.75（x﹣y）2+ （x﹣y）+7 等于　 　． 17．（3 分）若点 M 是线段 AB 的中点，N 是线段 AM 的中点，若图中所有线段的和是 20cm，则 AN 的 长是　 　cm． 18．（3 分）以∠AOB 的顶点 O 为端点引射线 OP，使∠AOP：∠BOP=3：2，若∠AOB=17°，∠AOP 的度 数为　 　． 　 三、解答题（本大题共 7 小题，共 58 分） 19．（8 分）计算： （1）25× ﹣（﹣25）× +25÷（﹣ ）； （2）2 ﹣23÷[（ ）2﹣（﹣3+0.75）]×5． 20．（8 分）解下列方程： （1）x+ =6﹣ ；（2） ﹣ = ． 21．（7 分）已知 A=3x2+3y2﹣5xy，B=2xy﹣3y2+4x2． （1）化简：2B﹣A； （2）已知﹣a|x﹣2|b2 与 aby 的同类项，求 2B﹣A 的值． 22．（7 分）如图，直线 AB 与 CD 相交于点 O，∠BOE=∠DOF=90°． （1）写出图中与∠COE 互补的所有的角（不用说明理由）． （2）问：∠COE 与∠AOF 相等吗？请说明理由； （3）如果∠AOC= ∠EOF，求∠AOC 的度数．23．（9 分）列一元一次方程解应用题． 有一批共享单车需要维修，维修后继续投放骑用，现有甲、乙两人做维修，甲每天维修 16 辆，乙每 天维修的车辆比甲多 8 辆，甲单独维修完成这批共享单车比乙单独维修完多用 20 天，公司每天 付甲 80 元维修费，付乙 120 元维修费． （1） 问需要维修的这批共享单车共有多少辆？ （2） 在维修过程中，公司要派一名人员进行质量监督，公司负担他每天 10 元补助费，现有三种 维修方案：①由甲单独维修；②由乙单独维修；③甲、乙合作同时维修，你认为哪种方案最 省钱，为什么？ 24．（9 分）已知关于 m 的方程 （m﹣14）=﹣2 的解也是关于 x 的方程 2（x﹣ ）﹣n=11 的解． （1）求 m、n 的值； （3） 若线段 AB=m，在直线 AB 上取一点 P，恰好使 =n，点 Q 是 PB 的中点，求线段 AQ 的长． 25．（10 分）已知∠AOB=α，过点 O 作∠BOC=90°． （1）若 α=30，则∠AOC 的度数；（2）已知射线 OE 平分∠AOC，射线 OF 平分∠BOC． ①若 α=50°，求∠EOF 的度数； ②若 90°＜α＜180°，则∠EOF 的度数为　 　（直接填写用含 α 的式子表示的结果）． 　参考答案 　 一、选择题（每小题 2 分，共 24 分） 1．（2 分）若 a 的相反数是 2，则 a 的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．﹣ D．±2 【分析】根据相反数的意义求解即可． 【解答】解：由 a 的相反数是 2，得 a=﹣2， 故选：B． 【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的 相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0 的相反数是 0．不要把相反数的意义与倒数的意义 混淆． 2．（2 分）在国家“一带一路”战略下，我国与欧洲开通了互利互惠的中欧班列．行程最长，途经 城市和国家最多的一趟专列全程长 13000km，将 13000 用科学记数法表示应为（　　） A．0.13×105 B．1.3×104 C．1.3×105 D．13×103 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要 看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥ 1 时，n 是非负数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 【解答】解：将 13000 用科学记数法表示为：1.3×104． 故选：B． 【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a| ＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 3．（2 分）已知（a﹣1）x2ya+1 是关于 x、y 的五次单项式，则这个单项式的系数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．0 【分析】根据一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数可得 a 的值，然后根据单项式中 的数字因数叫做单项式的系数可得答案． 【解答】解：由题意得：a+1+2=5， 解得：a=2， 则这个单项式的系数是 a﹣1=1，故选：A． 【点评】此题主要考查了单项式，关键是掌握单项式相关定义． 4．（2 分）将如图所示的直角三角形 ABC 绕直角边 AB 旋转一周得到一个几何体，从正面看这个几何 体得到的平面图形应为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据“面动成体”的原理，结合图形特征进行旋转，判断出旋转后的立体图形，再找俯视 图即可． 【解答】解：直角三角形 ABC 绕直角边 AB 所在直线旋转一周得到一个几何体是圆锥，从正面看这个 几何体得到的平面图形是等腰三角形． 故选：C． 【点评】本题考查了图形的旋转，注意培养自己的空间想象能力． 5．（2 分）如图，下列说法错误的是（　　） A．直线 AC 与射线 BD 相交于点 A B．BC 是线段 C．直线 AC 经过点 A D．点 D 在直线 AB 上 【分析】根据射线、直线与线段的定义，结合图形解答．【解答】解：A、直线 AC 与射线 BD 相交于点 A，说法正确，故本选项错误； B、B、C 是两个端点，则 BC 是线段，说法正确，故本选项错误； C、直线 AC 经过点 A，说法正确，故本选项错误； D、如图所示，点 D 在射线 BD 上，说法错误，故本选项正确． 故选：D． 【点评】本题考查了直线、射线、线段，注意：直线没有端点． 6．（2 分）如图所示，下列表示角的方法错误的是（　　） A．∠1 与∠AOB 表示同一个角 B．∠β 表示的是∠BOC C．图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC D．∠AOC 也可用∠O 来表示 【分析】根据角的表示方法表示各个角，再判断即可． 【解答】解：A、∠1 与∠AOB 表示同一个角，正确，故本选项错误； B、∠β 表示的是∠BOC，正确，故本选项错误； C、图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC，正确，故本选项错误； D、∠AOC 不能用∠O 表示，错误，故本选项正确； 故选：D． 【点评】本题考查了对角的表示方法的应用，主要检查学生能否正确表示角． 7．（2 分）如图所示，学校、书店、体育馆在平面图上的位置分别是 A、B、C，书店在学校的正东方 向，体育馆在学校的南偏西 35°方向，那么平面图上的∠CAB 等于（　　）A．145° B．125° C．55° D．35° 【分析】根据方位角的概念，正确画出方位图表示出方位角，即可求解． 【解答】解：从图中发现平面图上的∠CAB=∠1+∠2=90°+35°=125°． 故选：B． 【点评】本题考查了方向角的知识，解答此类题需要从运动的角度，正确画出方位角，找准中心是 做这类题的关键． 8．（2 分）关于 x 的方程 a﹣3（x﹣5）=b（x+2）是一元一次方程，则 b 的取值情况是（　　） A．b≠﹣3 B．b=﹣3 C．b=﹣2 D．b 为任意数 【分析】先把方程整理为一元一次方程的一般形式，再根据一元一次方程的定义求出 b 的值即可． 【解答】解：a﹣3（x﹣5）=b（x+2）， a﹣3x+15﹣bx﹣2b=0， （3+b）x=a﹣2b+15， ∴b+3≠0， b≠﹣3， 故选：A． 【点评】本题考查的是一元一次方程的定义，熟知只含有一个未知数（元），且未知数的次数是 1， 这样的方程叫一元一次方程是解答此题的关键． 9．（2 分）下列各数中，正确的角度互化是（　　） A．63.5°=63°50′ B．23°12′36″=23.48° C．18°18′18″=18.33° D．22.25°=22°15′ 【分析】根据大单位化小单位乘以进率，小单位化单位除以进率，可得答案． 【解答】解：A、63.5°=63°30′≠63°50′，故 A 不符合题意； B、23.48°=23°28′48″≠23°12′36″，故 B 不符合题意； C、18.33°=18°19′48″≠18°18′18″，故 C 不符合题意； D、22.25°=22°15′，故 D 正确，故选：D． 【点评】本题考查了度分秒的换算，利用大单位化小单位乘以进率，小单位化单位除以进率是解题 关键． 10．（2 分）图 1 和图 2 中所有的正方形都全等，将图 1 的正方形放在图 2 中的①②③④某一位置， 所组成的图形不能围成正方体的位置是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【分析】由平面图形的折叠及正方体的表面展开图的特点解题． 【解答】解：将图 1 的正方形放在图 2 中的①的位置出现重叠的面，所以不能围成正方体，故选： A． 【点评】本题考查了展开图折叠成几何体，解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情 形．注意：只要有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图． 11．（2 分）如果点 B 在线段 AC 上，那么下列表达式中：①AB= AC，②AB=BC，③AC=2AB，④ AB+BC=AC，能表示 B 是线段 AC 的中点的有（　　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【分析】根据题意，画出图形，观察图形，一一分析选项，排除错误答案． 【解答】 解：如图，若 B 是线段 AC 的中点， 则 AB= AC，AB=BC，AC=2AB， 而 AB+BC=AC，B 可是线段 AC 上的任意一点， ∴表示 B 是线段 AC 的中点的有①②③3 个． 故选：C． 【点评】利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同 表示方法，有利于解题的简洁性，同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关 系也是十分关键的一点． 12．（2 分）设一个锐角与这个角的补角的差的绝对值为 α，则（　　）A．0°＜α＜90°或 90°＜α＜180° B．0°＜α＜180° C．0°＜α＜90° D．0°＜α≤90° 【分析】根据补角的定义来求 α 的范围即可． 【解答】解：设这个角的为 x 且 0＜x＜90°，根据题意可知 180°﹣x﹣x=α， ∴α=180°﹣2x， ∴180°﹣2×90°＜α＜180°﹣2×0°， 0°＜α＜180°． 故选：B． 【点评】本题考查了余角和补角的概念．互为余角的两角的和为 90°，互为补角的两角之和为 180°．解此题的关键是能准确的从题意中找出这两个角之间的数量关系，从而判断出两角之间 的关系． 　 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 13．（3 分）若 3x=﹣ ，则 4x=　﹣ 　． 【分析】根据系数化为 1，可得答案． 【解答】解：系数化为 1，得 x=﹣ ， 4x=﹣ ×4=﹣ ， 故答案为：﹣ ． 【点评】本题考查了解一元一次方程，利用系数化为 1 是解题关键． 14．（3 分）已知有理数 a 在数轴上的位置如图，则 a+|a﹣1|=　1　． 【分析】先根据 a 在数轴上的位置确定出 a 的符号，再根据绝对值的性质把原式进行化简即可． 【解答】解：由数轴上 a 点的位置可知，a＜0， ∴a﹣1＜0， ∴原式=a+1﹣a=1． 故答案为：1． 【点评】本题考查的是数轴的特点及绝对值的性质，比较简单．15．（3 分）已知线段 MN=16cm，点 P 为任意一点，那么线段 MP 与 NP 和的最小值是　16　cm． 【分析】根据线段的性质解答即可． 【解答】解：如图所示： 所以线段 MP 与 NP 和的最小值是 16cm， 故答案为；16 【点评】此题考查线段的性质，关键是根据两点之间线段最短解答． 16．（3 分）若 x=y+3，则 （x﹣y）2﹣2.3（x﹣y）+0.75（x﹣y）2+ （x﹣y）+7 等于　10　． 【分析】由 x=y+3 得 x﹣y=3，整体代入原式计算可得． 【解答】解：∵x=y+3， ∴x﹣y=3， 则原式= ×32﹣2.3×3+0.75×32+ ×3+7 =2.25﹣6.9+6.75+0.9+7 =10， 故答案为：10． 【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握整体代入思想的运用是解本题的关键． 17．（3 分）若点 M 是线段 AB 的中点，N 是线段 AM 的中点，若图中所有线段的和是 20cm，则 AN 的 长是　 　cm． 【分析】依据点 M 是线段 AB 的中点，N 是线段 AM 的中点，可得 AN=NM= AM= BM= BN= AB，再根 据图中所有线段的和是 20cm，即可得到 AN+MN+BM+AM+BN+AB=20，进而得出 AN 的长． 【解答】解：如图，∵点 M 是线段 AB 的中点，N 是线段 AM 的中点， ∴AN=NM= AM= BM= BN= AB， ∴AM=BM=2AN，BN=3AN，AB=4AN， 又∵图中所有线段的和是 20cm， ∴AN+MN+BM+AM+BN+AB=20， ∴AN+AN+2AN+2AN+3AN+4AN=20， 解得 AN= cm故答案为： ． 【点评】本题主要考查了两点间的距离，平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的 线段的长度． 18．（3 分）以∠AOB 的顶点 O 为端点引射线 OP，使∠AOP：∠BOP=3：2，若∠AOB=17°，∠AOP 的度 数为　10.2°或 51°　． 【分析】分射线 OP 在∠AOB 的内部和外部两种情况进行讨论求解即可． 【解答】解：如图 1，当射线 OP 在∠AOB 的内部时，设∠AOP=3x，则∠BOP=2x， ∵∠AOB=∠AOP+∠BOP=5x=17°， 解得：x=3.4°， 则∠AOP=10.2°， 如图 2，当射线 OP 在∠AOB 的外部时，设∠AOP=3x，则∠BOP=2x， ∵∠AOP=∠AOB+∠BOP， 又∵∠AOB=17°， ∴3x=17°+2x， 解得：x=17°， 则∠AOP=51°． 故∠AOP 的度数为 10.2°或 51°． 故答案为：10.2°或 51°． 【点评】本题考查了角的计算，关键是分两种情况进行讨论． 　 三、解答题（本大题共 7 小题，共 58 分） 19．（8 分）计算： （1）25× ﹣（﹣25）× +25÷（﹣ ）；（2）2 ﹣23÷[（ ）2﹣（﹣3+0.75）]×5． 【分析】（1）根据有理数的乘除法和乘法分配律可以解答本题； （2）根据有理数的乘除法和加减法可以解答本题． 【解答】解：（1）25× ﹣（﹣25）× +25÷（﹣ ） =25× +25× +25×（﹣4） =25×（ ） =25×（﹣ ） =﹣ ； （2）2 ﹣23÷[（ ）2﹣（﹣3+0.75）]×5 = = = = =﹣13 ． 【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 20．（8 分）解下列方程： （1）x+ =6﹣ ； （2） ﹣ = ． 【分析】解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1，据此求 解即可． 【解答】解：（1）去分母，可得：6x+4（x﹣3）=36﹣x+7， 去括号，可得：6x+4x﹣12=43﹣x， 移项，合并同类项，可得：11x=55， 解得 x=5．（2）去分母，可得：6（4x﹣1.5）﹣150（0.5x﹣0.3）=2， 去括号，可得：24x﹣9﹣75x+45=2， 移项，合并同类项，可得：51x=34， 解得 x= ． 【点评】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确解一元一 次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1． 21．（7 分）已知 A=3x2+3y2﹣5xy，B=2xy﹣3y2+4x2． （1）化简：2B﹣A； （2）已知﹣a|x﹣2|b2 与 aby 的同类项，求 2B﹣A 的值． 【分析】（1）根据整式的加减混合运算法则计算； （2）根据同类项的定义分别求出 x、y，代入计算即可． 【解答】解：（1）2B﹣A=2（2xy﹣3y2+4x2）﹣（3x2+3y2﹣5xy） =4xy﹣6y2+8x2﹣3x2﹣3y2+5xy =9xy﹣9y2+5x2； （2）∵﹣a|x﹣2|b2 与 aby 的同类项， ∴|x﹣2|=1，y=2， 则 x=1 或 3，y=2， 当 x=1，y=2 时，2B﹣A=18﹣36+5=﹣13， 当 x=3，y=2 时，2B﹣A=54﹣36+45=63． 【点评】本题考查的是整式的加减混合运算，掌握整式的加减混合运算法则是解题的关键． 22．（7 分）如图，直线 AB 与 CD 相交于点 O，∠BOE=∠DOF=90°． （1）写出图中与∠COE 互补的所有的角（不用说明理由）． （2）问：∠COE 与∠AOF 相等吗？请说明理由； （3）如果∠AOC= ∠EOF，求∠AOC 的度数．【分析】（1）依据直线 AB 与 CD 相交于点 O，可得∠COE+∠DOE=180°，依据∠BOE=∠DOF=90°，可 得∠DOE=∠BOF，即可得出与∠COE 互补的所有的角； （2）依据∠AOE=∠COF，可得∠AOE﹣∠AOC=∠COF﹣∠AOC，进而得到∠COE=∠AOF； （3）设∠AOC=x，则∠EOF=5x，依据∠AOE=90°，可得 x+2x=90°，进而得出∠AOC 的度数． 【解答】解：（1）∵直线 AB 与 CD 相交于点 O， ∴∠COE+∠DOE=180°， 又∵∠BOE=∠DOF=90°， ∴∠DOE=∠BOF， ∴与∠COE 互补的所有的角为∠DOE，∠BOF； （2）∠COE 与∠AOF 相等， 理由：∵∠BOE=∠DOF=90°， ∴∠AOE=∠COF， ∴∠AOE﹣∠AOC=∠COF﹣∠AOC， ∴∠COE=∠AOF； （3）设∠AOC=x，则∠EOF=5x， ∵∠COE=∠AOF， ∴∠COE=∠AOF= （5x﹣x）=2x， ∵∠AOE=90°， ∴x+2x=90°， ∴x=30°， ∴∠AOC=30°． 【点评】本题考查了对顶角、邻补角，余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关 联．23．（9 分）列一元一次方程解应用题． 有一批共享单车需要维修，维修后继续投放骑用，现有甲、乙两人做维修，甲每天维修 16 辆，乙每 天维修的车辆比甲多 8 辆，甲单独维修完成这批共享单车比乙单独维修完多用 20 天，公司每天 付甲 80 元维修费，付乙 120 元维修费． （1）问需要维修的这批共享单车共有多少辆？ （2）在维修过程中，公司要派一名人员进行质量监督，公司负担他每天 10 元补助费，现有三种维 修方案：①由甲单独维修；②由乙单独维修；③甲、乙合作同时维修，你认为哪种方案最省钱， 为什么？ 【分析】（1）通过理解题意可知本题的等量关系，即甲乙单独修完共享单车的数量相同，列方程求 解即可； （2）分别计算，通过比较选择最省钱的方案． 【解答】解：（1）设乙单独做需要 x 天完成，则甲单独做需要（x+20）天，由题意可得： 16（x+20）=24x， 解得：x=40， 总数：24×40=960（套）， 答：乙单独做需要 40 天完成，甲单独做需要 60 天，一共有 960 辆共享单车； （2）方案一：甲单独完成：60×80+60×10=5400（元）， 方案二：乙单独完成：40×120+40×10=5200（元）， 方案三：甲、乙合作完成：960÷（16+24）=24（天）， 则一共需要：24×（120+80）+24×10=5040（元）， 故选择方案三合算． 【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键． 24．（9 分）已知关于 m 的方程 （m﹣14）=﹣2 的解也是关于 x 的方程 2（x﹣ ）﹣n=11 的解． （1）求 m、n 的值； （2）若线段 AB=m，在直线 AB 上取一点 P，恰好使 =n，点 Q 是 PB 的中点，求线段 AQ 的长． 【分析】（1）先求出方程 （m﹣14）=﹣2 的解，然后把 m 的值代入方程 2（x﹣ ）﹣n=11，求出 n 的值； （2）分两种情况：①点 P 在线段 AB 上，②点 P 在线段 AB 的延长线上，画出图形，根据线段的和差 定义计算即可；【解答】解：（1） （m﹣14）=﹣2， m﹣14=﹣6 m=8， ∵关于 m 的方程 （m﹣14）=﹣2 的解也是关于 x 的方程 2（x﹣ ）﹣n=11 的解． ∴x=8， 将 x=8，代入方程 2（x﹣ ）﹣n=11 得： 解得：n=4， 故 m=8，n=4； （2）由（1）知：AB=8， =4， ①当点 P 在线段 AB 上时，如图所示： ∵AB=8， =4， ∴AP= ，BP= ， ∵点 Q 为 PB 的中点， ∴PQ=BQ= BP= ， ∴AQ=AP+PQ= + = ； ②当点 P 在线段 AB 的延长线上时，如图所示： ∵AB=8， =4， ∴PB= ， ∵点 Q 为 PB 的中点， ∴PQ=BQ= ， ∴AQ=AB+BQ=8+ = ． 故 AQ= 或 ． 【点评】此题考查了一元一次方程的解，以及两点间的距离，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 25．（10 分）已知∠AOB=α，过点 O 作∠BOC=90°． （1）若 α=30，则∠AOC 的度数； （2）已知射线 OE 平分∠AOC，射线 OF 平分∠BOC． ①若 α=50°，求∠EOF 的度数； ②若 90°＜α＜180°，则∠EOF 的度数为　 α 或 180°﹣ α　（直接填写用含 α 的式子表示 的结果）． 【分析】（1）分两种情形画出图形求解即可； （2）①分两种情形画出图形分别求解即可； ③分两种情形分别画出图形分别求解即可； 【解答】解：（1）如图 1 中，∠AOC=∠AOB+∠BOC=120°， 如图 2 中，∠AOC=∠BOC﹣∠AOB=60°． （2）①如图 1﹣1 中，∵∠AOC=∠AOB+∠BOC=140°， ∴∠EOC= ∠AOC=70°， ∵∠FOC= ∠BOC=45°， ∴∠EOF=∠EOC﹣∠FOC=25°， 如图 2﹣1 中，∵∠AOC=∠BOC﹣∠AOB=40°， ∴∠EOC= ∠AOC=20°， ∵∠FOC= ∠BOC=45°， ∴∠EOF=∠FOC﹣∠EOC=25°．②如图 1﹣2 中，∵∠AOC=∠AOB﹣∠BOC=α﹣90°， ∴∠EOC= ∠AOC= （α﹣90°）， ∵∠FOC= ∠BOC=45°， ∴∠EOF=∠EOC+∠FOC= α， 如图 2﹣2 中，∵∠AOC=360°﹣∠AOB﹣∠BOC=270°﹣α ∴∠EOC= ∠AOC= （270﹣α）， ∵∠FOC= ∠BOC=45°， ∴∠EOF=∠EOC+∠FOC=180°﹣ α， 故答案为 α 或 180°﹣ α． 【点评】本题考查角的计算、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题， 学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考常考题型．