七年级数学上学期期末复习检测试卷3

2018-2019 学年七年级数学上学期期末复习检测试卷 一、选择题：每小题只有一个选项符合题意，本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分． 1．（3 分）|﹣3|的相反数是（　　） A． B．﹣ C．3 D．﹣3 2．（3 分）过度包装既浪费资源又污染环境．据测算，如果全国每年减少 10%的过度包装纸用量，那 么可减排二氧化碳 3120000 吨，把数 3120000 用科学记数法表示为（　　） A．3.12×105 B．3.12×106 C．31.2×105 D．0.312×107 3．（3 分）下列说法中，正确的是（　　） A．若 AP=PB，则点 P 是线段 AB 的中点 B．射线比直线短 C．连接两点的线段叫做两点间的距离 D．过六边形的一个顶点作对角线，可以将这个六边形分成 4 个三角形 4．（3 分）如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律．根据此规律，图形中 M 与 m、n 的 关系是（　　） A．M=mn B．M=m（n+1） C．M=mn+1 D．M=n（m+1） 5．（3 分）如图，把一张长方形的纸片沿着 EF 折叠，点 C、D 分别落在 M、N 的位置，且∠MFB= ∠ MFE．则∠MFB=（　　） A．30° B．36° C．45° D．72° 6．（3 分）过正方体中有公共顶点的三条棱的中点切出一个平面，形成如图几何体，其正确展开图 正确的为（　　）A． B． C． D． 　 二、填空题，本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分． 7．（3 分）一天早晨的气温是﹣2℃，半夜又下降了 1℃，则半夜的气温是　 　℃． 8．（3 分）请你写出一个只含有字母 m、n，且它的系数为﹣2、次数为 3 的单项式　 　． 9．（3 分）已知∠α 的补角是它的 3 倍，则∠α=　 　． 10．（3 分）已知 x2+3x=1，则多项式 3x2+9x﹣1 的值是　 　． 11．（3分）如图所示，点A、点B、点C分别表示有理数a、b、c，O为原点，化简：|a﹣c|﹣|b﹣c|=　 　． 12．（3 分）用小立方块搭成的几何体从正面和上面看的视图如图，这个几何体中小立方块的个数可 以是　 　． 三、解答题（本大题共 5 小题，每小题 6 分，共 30 分） 13．（6 分）计算： （1）点 A、B、C 在同一条直线上，点 C 在线段 AB 上，若 AB=4，BC=1，求 AC； （2）已知|x|=3，y2=4，且 x＜y＜0，那么求 x+y 的值． 14．（6 分）计算． ﹣14﹣（1﹣0.5）× [3﹣（﹣3）2]．15．（6 分）根据下列语句，画出图形．如图：已知：四点 A、B、C、D． ①画直线 AB； ②画射线 AC、BD，相交于点 O． 16．（6 分）根据下面给出的数轴，解答下面的问题： （1）请你根据图中 A、B 两点的位置，分别写出它们所表示的有理数 A：　 　 B：　 　； （2）观察数轴，与点 A 的距离为 4 的点表示的数是：　 　； （3）若将数轴折叠，使得 A 点与﹣3 表示的点重合，则 B 点与数　 　表示的点重合． 17．（6 分）先化简，再求值：﹣a2b+（3ab2﹣a2b）﹣2（2ab2﹣a2b），其中 a=﹣1，b=﹣2． 　 四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分） 18．（8 分）为了了解学生参加体育活动的情况，学校对学生进行随机抽样调查，其中一个问题是“你 平均每天参加体育活动的时间是多少”，共有 4 个选项：A、1.5 小时以上；B、1～1.5 小时；C、 0.5～1 小时；D、0.5 小时以下．图 1、2 是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图，请你根据 统计图提供的信息，解答以下问题： （1）本次一共调查了多少名学生？ （2）在图 1 中将选项 B 的部分补充完整； （3）若该校有 3000 名学生，你估计全校可能有多少名学生平均每天参加体育活动的时间在 0.5 小时以下？ 19．（8 分）已知关于 x 的方程 2（x+1）﹣m=﹣ 的解比方程 5（x﹣1）﹣1=4（x﹣1）+1 的解大 2． （1）求第二个方程的解； （2）求 m 的值． 20．（8 分）“囧”（jiong）是最近时期网络流行语，像一个人脸郁闷的神情．如图所示，一张边长 为 20 的正方形的纸片，剪去两个一样的小直角三角形和一个长方形得到一个“囧”字图案（阴 影部分）．设剪去的小长方形长和宽分别为 x、y，剪去的两个小直角三角形的两直角边长也分别 为 x、y． （1）用含有 x、y 的代数式表示图中“囧”的面积； （2）若|x﹣6|+（y﹣3）2=0 时，求此时“囧”的面积． 　 五、解答题（本大题共 2 小题，每小题 9 分，共 18 分）21．（9 分）一个车队共有 n（n 为正整数）辆小轿车，正以每小时 36 千米的速度在一条笔直的街道 上匀速行驶，行驶时车与车的间隔均为 5.4 米，甲停在路边等人，他发现该车队从第一辆车的车 头到最后一辆的车尾经过自己身边共用了 20 秒的时间，假设每辆车的车长均为 4.87 米． （1）求 n 的值； （2）若乙在街道一侧的人行道上与车队同向而行，速度为 v 米/秒，当第一辆车的车头到最后一辆 车的车尾经过他身边共用了 40 秒，求 v 的值． 22．（9 分）已知数轴上两点 A、B 对应的数分别是 6，﹣8，M、N、P 为数轴上三个动点，点 M 从 A 点出发速度为每秒 2 个单位，点 N 从点 B 出发速度为 M 点的 3 倍，点 P 从原点出发速度为每秒 1 个单位． （1）若点 M 向右运动，同时点 N 向左运动，求多长时间点 M 与点 N 相距 54 个单位？ （2）若点 M、N、P 同时都向右运动，求多长时间点 P 到点 M，N 的距离相等？ 　 六、解答题（本大题共 1 小题，共 12 分） 23．（12 分）【问题提出】已知∠AOB=70°，∠AOD= ∠AOC，∠BOD=3∠BOC（∠BOC＜45°），求∠BOC 的度数． 【问题思考】聪明的小明用分类讨论的方法解决． （1）当射线 OC 在∠AOB 的内部时，①若射线 OD 在∠AOC 内部，如图 1，可求∠BOC 的度数，解答过 程如下： 设∠BOC=α，∴∠BOD=3∠BOC=3α，∴∠COD=∠BOD﹣∠BOC=2α，∴∠AOD= ∠AOC， ∴∠AOD=∠COD=2α，∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=2α+3α=5α=70°，∴α=14°，∴∠BOC=14° 问：当射线 OC 在∠AOB 的内部时，②若射线 OD 在∠AOB 外部，如图 2，请你求出∠BOC 的度数； 【问题延伸】（2）当射线 OC 在∠AOB 的外部时，请你画出图形，并求∠BOC 的度数． 【问题解决】综上所述：∠BOC 的度数分别是　 　． 　参考答案 一、选择题：每小题只有一个选项符合题意，本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分． 1．（3 分）|﹣3|的相反数是（　　） A． B．﹣ C．3 D．﹣3 【分析】先根据绝对值的意义得到|﹣3|=3，然后根据相反数的定义求解． 【解答】解：|﹣3|=3， 3 的相反数为﹣3， 所以|﹣3|的相反数为﹣3． 故选：D． 【点评】本题考查了绝对值：当 a＞0 时，|a|=a；当 a=0，|a|=0；当 a＜0 时，|a|=﹣a．也考查了 相反数． 2．（3 分）过度包装既浪费资源又污染环境．据测算，如果全国每年减少 10%的过度包装纸用量，那 么可减排二氧化碳 3120000 吨，把数 3120000 用科学记数法表示为（　　） A．3.12×105 B．3.12×106 C．31.2×105 D．0.312×107 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要 看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞ 1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 【解答】解：将 3120000 用科学记数法表示为：3.12×106． 故选：B． 【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a| ＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 3．（3 分）下列说法中，正确的是（　　） A．若 AP=PB，则点 P 是线段 AB 的中点 B．射线比直线短 C．连接两点的线段叫做两点间的距离 D．过六边形的一个顶点作对角线，可以将这个六边形分成 4 个三角形 【分析】根据线段中点的性质可得 AP=PB= AB，根据射线和直线的性质可得 B 错误；根据两点之间 的距离定义可得 C 错误；n 边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，分成（n﹣2）个三角 形．【解答】解：A、若 AP=PB= AB，则点 P 是线段 AB 的中点，故原题说法错误； B、射线比直线短，说法错误； C、连接两点的线段长度叫做两点间的距离，故原题说法错误； D、过六边形的一个顶点作对角线，可以将这个六边形分成 4 个三角形说法正确； 故选：D． 【点评】此题主要考查了直线、射线、多边形、以及两点之间的距离，关键是注意连接两点的线段 长度叫做两点间的距离． 4．（3 分）如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律．根据此规律，图形中 M 与 m、n 的 关系是（　　） A．M=mn B．M=m（n+1） C．M=mn+1 D．M=n（m+1） 【分析】根据给定图形中三个数之间的关系找出规律“右下圆圈内的数=上方圆圈内的数×（左下圆 圈内的数+1）”，由此即可得出结论． 【解答】解：∵1×（2+1）=3，3×（4+1）=15，5×（6+1）=35， ∴右下圆圈内的数=上方圆圈内的数×（左下圆圈内的数+1）， ∴M=m（n+1）． 故选：B． 【点评】本题考查了规律型中数字的变化类，根据给定图形中三个数之间的关系找出变化规律“右 下圆圈内的数=上方圆圈内的数×（左下圆圈内的数+1）”是解题的关键． 5．（3 分）如图，把一张长方形的纸片沿着 EF 折叠，点 C、D 分别落在 M、N 的位置，且∠MFB= ∠ MFE．则∠MFB=（　　） A．30° B．36° C．45° D．72° 【分析】由折叠的性质可得：∠MFE=∠EFC，又由∠MFB= ∠MFE，可设∠MFB=x°，然后根据平角的定义，即可得方程：x+2x+2x=180，解此方程即可求得答案． 【解答】解：由折叠的性质可得：∠MFE=∠EFC， ∵∠MFB= ∠MFE， 设∠MFB=x°，则∠MFE=∠EFC=2x°， ∵∠MFB+∠MFE+∠EFC=180°， ∴x+2x+2x=180， 解得：x=36°， ∴∠MFB=36°． 故选：B． 【点评】此题考查了折叠的性质与平角的定义．此题比较简单，解题的关键是注意方程思想与数形 结合思想的应用． 6．（3 分）过正方体中有公共顶点的三条棱的中点切出一个平面，形成如图几何体，其正确展开图 正确的为（　　） A． B． C． D． 【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题． 【解答】解：选项 A、C、D 折叠后都不符合题意，只有选项 B 折叠后两个剪去三角形与另一个剪去 的三角形交于一个顶点，与正方体三个剪去三角形交于一个顶点符合． 故选：B． 【点评】考查了截一个几何体和几何体的展开图．解决此类问题，要充分考虑带有各种符号的面的 特点及位置． 　 二、填空题，本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分． 7．（3 分）一天早晨的气温是﹣2℃，半夜又下降了 1℃，则半夜的气温是　﹣3　℃．【分析】直接利用有理数的加减运算法则计算得出答案． 【解答】解：由题意可得： 半夜的气温是：﹣2﹣1=﹣3（℃）． 故答案为：﹣3． 【点评】此题主要考查了有理数的加减运算，正确掌握运算法则是解题关键． 8．（3 分）请你写出一个只含有字母 m、n，且它的系数为﹣2、次数为 3 的单项式　﹣2m2n（答案不 唯一）　． 【分析】直接利用单项式的定义分析得出答案． 【解答】解：∵写一个只含有字母 m、n，且它的系数为﹣2、次数为 3 的单项式， ∴可以为：﹣2m2n（答案不唯一）． 故答案为：﹣2m2n（答案不唯一）． 【点评】此题主要考查了单项式，正确把握单项式的次数与系数是解题关键． 9．（3 分）已知∠α 的补角是它的 3 倍，则∠α=　45°　． 【分析】先表示出这个角的补角，然后再依据∠α 的补角是它的 3 倍列出方程，从而可求得∠α 的 度数． 【解答】解：∠α 的补角是 180°﹣α． 根据题意得：180°﹣∠α=3∠α． 解得：∠α=45°． 故答案为：45°． 【点评】本题主要考查的是余角和补角的定义，依据题意列出方程是解题的关键． 10．（3 分）已知 x2+3x=1，则多项式 3x2+9x﹣1 的值是　2　． 【分析】原式前两项提取 3 变形后，将已知等式代入计算即可求出值． 【解答】解：∵x2+3x=1， ∴原式=3（x2+3x）﹣1=3﹣1=2， 故答案为：2 【点评】此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 11．（3 分）如图所示，点 A、点 B、点 C 分别表示有理数 a、b、c，O 为原点，化简：|a﹣c|﹣|b﹣c|=　 2c﹣a﹣b　．【分析】根据各点在数轴上的位置判断出 a、b、c 的符号及绝对值的大小，再去绝对值符号，合并 同类项即可． 【解答】解：∵由图可知，a＜c＜0＜b， ∴a﹣c＜0，b﹣c＞0， ∴原式=c﹣a﹣（b﹣c）=c﹣a﹣b+c=2c﹣a﹣b． 故答案为：2c﹣a﹣b． 【点评】本题考查的是整式的加减，熟知整式的加减实质上就是合并同类项是解答此题的关键． 12．（3 分）用小立方块搭成的几何体从正面和上面看的视图如图，这个几何体中小立方块的个数可 以是　8、9、10　． 【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图和左视图可以看出每一层小 正方体的层数和个数，从而算出总的个数． 【解答】解：从俯视图可以看出，下面的一层有 6 个，由主视图可以知道在中间一列的一个正方体 上面可以放 2 个或在一个上放 2 个，另一个上放 1 或 2 个； 所以小立方块的个数可以是 6+2=8 个，6+2+1=9 个，6+2+2=10 个． 故答案为：8、9、10． 【点评】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如 果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案． 　 三、解答题（本大题共 5 小题，每小题 6 分，共 30 分） 13．（6 分）计算： （1）点 A、B、C 在同一条直线上，点 C 在线段 AB 上，若 AB=4，BC=1，求 AC； （2）已知|x|=3，y2=4，且 x＜y＜0，那么求 x+y 的值． 【分析】（1）根据线段的和差，可得答案； （2）根据非负数的性质，可得 x，y，根据有理数的加法，可得答案． 【解答】解：（1）如图 ， 由线段的和差，得AC=AB﹣BC=4﹣1=3； （2）由|x|=3，y2=4，且 x＜y＜0，得 x=﹣3，y=﹣2． x+y=（﹣3）+（﹣2）=﹣5． 【点评】本题考查了两点间的距离，利用线段的和差是解题关键． 14．（6 分）计算． ﹣14﹣（1﹣0.5）× [3﹣（﹣3）2]． 【分析】先乘方，再乘除，最后算加减即可． 【解答】解：﹣14﹣（1﹣0.5）× [3﹣（﹣3）2] =﹣1﹣ × ×（﹣6） =﹣1+1 =0 【点评】此题考查了有理数的混合运算，有理数的混合运算首先弄清运算顺序，先乘方，再乘除， 最后算加减，有括号先算括号里边的，同级运算从左到右依次进行计算，然后利用各种运算法则 进行计算，有时可以利用运算律来简化运算． 15．（6 分）根据下列语句，画出图形．如图：已知：四点 A、B、C、D． ①画直线 AB； ②画射线 AC、BD，相交于点 O． 【分析】根据直线、射线的定义画图即可． 【解答】解：如图所示【点评】此题主要考查了简单作图，解答此题需要熟练掌握直线、射线、线段的性质，认真作图解 答即可． 16．（6 分）根据下面给出的数轴，解答下面的问题： （1）请你根据图中 A、B 两点的位置，分别写出它们所表示的有理数 A：　1　 B：　﹣2.5　； （2）观察数轴，与点 A 的距离为 4 的点表示的数是：　5 或﹣3　； （3）若将数轴折叠，使得 A 点与﹣3 表示的点重合，则 B 点与数　0.5　表示的点重合． 【分析】（1）直接根据数轴上 AB 两点的位置即可得出结论； （2）根据 A 点所表示的数即可得出结论； （3）根据中点坐标公式即可得出结论． 【解答】解：（1）由数轴上 AB 两点的位置可知，A 点表示 1，B 点表示﹣2.5． 故答案为：1，﹣2.5； （2）∵A 点表示 1， ∴与点 A 的距离为 4 的点表示的数是 5 或﹣3． 故答案为：5 或﹣3； （3）∵A 点与﹣3 表示的点重合， ∴其中点= =﹣1， ∵点 B 表示﹣2.5， ∴与 B 点重合的数=﹣2+2.5=0.5． 故答案为：0.5． 【点评】本题考查的是数轴，熟知数轴上各点与实数是一一对应关系是解答此题的关键． 17．（6 分）先化简，再求值：﹣a2b+（3ab2﹣a2b）﹣2（2ab2﹣a2b），其中 a=﹣1，b=﹣2． 【分析】先去括号、合并同类项将原式化简，再将 a、b 的值代入计算可得． 【解答】解：原式=﹣a2b+3ab2﹣a2b﹣4ab2+2a2b =﹣ab2， 当 a=﹣1、b=﹣2 时， 原式=﹣（﹣1）×（﹣2）2=1×4 =4． 【点评】本题主要考查整式的化简求值，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算顺序和法则． 　 四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分） 18．（8 分）为了了解学生参加体育活动的情况，学校对学生进行随机抽样调查，其中一个问题是“你 平均每天参加体育活动的时间是多少”，共有 4 个选项：A、1.5 小时以上；B、1～1.5 小时；C、 0.5～1 小时；D、0.5 小时以下．图 1、2 是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图，请你根据 统计图提供的信息，解答以下问题： （1）本次一共调查了多少名学生？ （2）在图 1 中将选项 B 的部分补充完整； （3）若该校有 3000 名学生，你估计全校可能有多少名学生平均每天参加体育活动的时间在 0.5 小 时以下？ 【分析】（1）读图可得：A 类有 60 人，占 30%即可求得总人数； （2）计算可得：“B”是 100 人，据此补全条形图； （3）用样本估计总体，若该校有 3000 名学生，则学校有 3000×5%=150 人平均每天参加体育锻炼在 0.5 小时以下． 【解答】解：（1）读图可得：A 类有 60 人，占 30%；则本次一共调查了 60÷30%=200 人；本次一共 调查了 200 位学生； （2）“B”有 200﹣60﹣30﹣10=100 人，画图正确； （3）用样本估计总体，每天参加体育锻炼在 0.5 小时以下占 5%；则 3000×5%=150，学校有 150 人平均每天参加体育锻炼在 0.5 小时以下． 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到 必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反 映部分占总体的百分比大小． 19．（8 分）已知关于 x 的方程 2（x+1）﹣m=﹣ 的解比方程 5（x﹣1）﹣1=4（x﹣1）+1 的解大 2． （1）求第二个方程的解； （2）求 m 的值． 【分析】（1）首先去括号，移项、合并同类项可得 x 的值； （2）根据（1）中 x 的值可得方程 2（x+1）﹣m=﹣ 的解为 x=3+2=5，然后把 x 的值代入可得关 于 m 的方程，再解即可． 【解答】解：（1）5（x﹣1）﹣1=4（x﹣1）+1， 5x﹣5﹣1=4x﹣4+1， 5x﹣4x=﹣4+1+1+5， x=3； （2）由题意得：方程 2（x+1）﹣m=﹣ 的解为 x=3+2=5， 把 x=5 代入方程 2（x+1）﹣m=﹣ 得： 2（5+1）﹣m=﹣ ， 12﹣m=﹣ ， m=22． 【点评】此题主要考查了一元一次方程的解，关键是掌握使一元一次方程左右两边相等的未知数的 值叫做一元一次方程的解．把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．20．（8 分）“囧”（jiong）是最近时期网络流行语，像一个人脸郁闷的神情．如图所示，一张边长 为 20 的正方形的纸片，剪去两个一样的小直角三角形和一个长方形得到一个“囧”字图案（阴 影部分）．设剪去的小长方形长和宽分别为 x、y，剪去的两个小直角三角形的两直角边长也分别 为 x、y． （1）用含有 x、y 的代数式表示图中“囧”的面积； （2）若|x﹣6|+（y﹣3）2=0 时，求此时“囧”的面积． 【分析】（1）根据图形和题意可以用代数式表示出图中“囧”的面积； （2）根据|x﹣6|+（y﹣3）2=0，可以求得 x、y 的值，然后代入（1）中的代数式即可解答本题． 【解答】解：（1）由图可得， 图中“囧”的面积是：20×20﹣ ﹣xy=400﹣xy﹣xy=400﹣2xy， 即图中“囧”的面积是 400﹣2xy； （2）∵|x﹣6|+（y﹣3）2=0 ∴x﹣6=0，y﹣3=0， 解得，x=6，y=3， ∴400﹣2xy=400﹣2×6×3=400﹣36=364， 即|x﹣6|+（y﹣3）2=0 时，此时“囧”的面积是 364． 【点评】本题考查列代数式、非负数的性质，解答本题的关键是明确题意，写出相应的代数式，求 出相应的代数式的值． 　 五、解答题（本大题共 2 小题，每小题 9 分，共 18 分） 21．（9 分）一个车队共有 n（n 为正整数）辆小轿车，正以每小时 36 千米的速度在一条笔直的街道 上匀速行驶，行驶时车与车的间隔均为 5.4 米，甲停在路边等人，他发现该车队从第一辆车的车 头到最后一辆的车尾经过自己身边共用了 20 秒的时间，假设每辆车的车长均为 4.87 米． （1）求 n 的值； （2）若乙在街道一侧的人行道上与车队同向而行，速度为 v 米/秒，当第一辆车的车头到最后一辆车的车尾经过他身边共用了 40 秒，求 v 的值． 【分析】（1）首先统一单位，由题意得等量关系：n（n 为正整数）辆小轿车的总长+（n﹣1）个每 辆车之间的车距=20 秒×车的行驶速度，根据等量关系列出方程，再解即可； （2）计算出车对的总长度，再利用总路程为 200m 得出等式求出答案． 【解答】解：36 千米/小时=10 米/秒， 根据题意得，4.87n+5.4（n﹣1）=20×10， 解得，n=20； （2）车队总长度为：20×4.87+5.4×19=200（米）， 根据题意得，（10﹣v）×40=200， 解得，v=5， 即：v 的值为 5 米/秒． 【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，利用路程、速度、时间之间的关系得出方程是解题 关键． 22．（9 分）已知数轴上两点 A、B 对应的数分别是 6，﹣8，M、N、P 为数轴上三个动点，点 M 从 A 点出发速度为每秒 2 个单位，点 N 从点 B 出发速度为 M 点的 3 倍，点 P 从原点出发速度为每秒 1 个单位． （1）若点 M 向右运动，同时点 N 向左运动，求多长时间点 M 与点 N 相距 54 个单位？ （2）若点 M、N、P 同时都向右运动，求多长时间点 P 到点 M，N 的距离相等？ 【分析】（1）设经过 x 秒点 M 与点 N 相距 54 个单位，由点 M 从 A 点出发速度为每秒 2 个单位，点 N 从点 B 出发速度为 M 点的 3 倍，得出 2x+6x+14=54 求出即可； （2）首先设经过 t 秒点 P 到点 M，N 的距离相等，得出（2t+6）﹣t=（6t﹣8）﹣t或（2t+6）﹣t=t﹣ （6t﹣8），进而求出即可． 【解答】解：（1）设经过 x 秒点 M 与点 N 相距 54 个单位． 依题意可列方程为：2x+6x+14=54， 解方程，得 x=5． 答：经过 5 秒点 M 与点 N 相距 54 个单位．（算术方法对应给分）（2）设经过 t 秒点 P 到点 M，N 的距离相等． （2t+6）﹣t=（6t﹣8）﹣t 或（2t+6）﹣t=t﹣（6t﹣8）， t+6=5t﹣8 或 t+6=8﹣5t t= 或 t= ， 答：经过 或 秒点 P 到点 M，N 的距离相等． 【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据已知点运动速度得出以及距离之间的关系得出 等式是解题关键． 　 六、解答题（本大题共 1 小题，共 12 分） 23．（12 分）【问题提出】已知∠AOB=70°，∠AOD= ∠AOC，∠BOD=3∠BOC（∠BOC＜45°），求∠BOC 的度数． 【问题思考】聪明的小明用分类讨论的方法解决． （1）当射线 OC 在∠AOB 的内部时，①若射线 OD 在∠AOC 内部，如图 1，可求∠BOC 的度数，解答过 程如下： 设∠BOC=α，∴∠BOD=3∠BOC=3α，∴∠COD=∠BOD﹣∠BOC=2α，∴∠AOD= ∠AOC， ∴∠AOD=∠COD=2α，∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=2α+3α=5α=70°，∴α=14°，∴∠BOC=14° 问：当射线 OC 在∠AOB 的内部时，②若射线 OD 在∠AOB 外部，如图 2，请你求出∠BOC 的度数； 【问题延伸】（2）当射线 OC 在∠AOB 的外部时，请你画出图形，并求∠BOC 的度数． 【问题解决】综上所述：∠BOC 的度数分别是　14°，30°，10°，42°　． 【分析】（1）②由已知条件得出∠COD、∠AOD、∠AOB 与∠BOC 的关系，求出∠BOC 的度数； （2）分类讨论，根据∠AOD、∠BOD．∠AOB 与∠BOC 的关系，得出∠BOC 的度数． 【解答】解：（1）②设∠BOC=α，则∠BOD=3α，②若射线 OD 在∠AOB 外部， 如图 2：∠COD=∠BOD﹣∠BOC=2α，∵∠AOD= ∠AOC， ∴∠AOD= ∠COD= ， ∴∠AOB=∠BOD﹣∠AOD=3α﹣ = =70°， ∴α=30°． ∴∠BOC=30°； （2）当射线 OC 在∠AOB 外部时，根据题意，此时射线 OC 靠近射线 OB， ∵∠BOC＜45°，∠AOD= ∠AOC， ∴射线 OD 的位置也只有两种可能； ①若射线 OD 在∠AOB 内部，如图 3 所示， 则∠COD=∠BOC+∠COD=4α， ∴∠AOB=∠BOD+∠AOD=3α+4α=7α=70°， ∴α=10°， ∴∠BOC=10°； ②若射线 OD 在∠AOB 外部，如图 4， 则∠COD=∠BOC+∠BOD=4α， ∵∠AOD= ∠AOC， ∴∠AOD= ∠COD= α， ∴∠AOB=∠BOD﹣∠AOD=3α﹣ = =70°， ∴α=42°， ∴∠BOC=42°； 综上所述：∠BOC 的度数分别是 14°，30°，10°，42°．【点评】根据 OC、OD 的不同位置分类讨论∠BOC 的计算方法；分类讨论是关键．