2020年河南省新乡市中考数学模拟试卷解析版

2020 年河南省新乡市中考数学模拟试卷解析版 一．选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分） 1．下列关系一定成立的是（　　） A．若|a|＝|b|，则 a＝b B．若|a|＝b，则 a＝b C．若|a|＝﹣b，则 a＝b D．若 a＝﹣b，则|a|＝|b| 2．根据制定中的通州区总体规划，将通过控制人口总量上限的方式，努力让副中心远离“城市病” ．预计到 2035 年，副中心的常住人口规模将控制在 130 万人以内，初步建成国际一流的和谐宜 居现代化城区．130 万用科学记数法表示为（　　） A．1.3×106 B．130×104 C．13×105 D．1.3×105 3．将一个正方体沿图 1 所示切开，形成如图 2 的图形，则图 2 的左视图为（　　） A． B． C． D． 4．如图，直线 a∥b，点 C，D 分别在直线 b，a 上，AC⊥BC，CD 平分∠ACB，若∠1＝65°，则∠ 2 的度数为（　　） A．65° B．70° C．75° D．80° 5．为迎接体育中考，九年级（1）班八名同学课间练习垫排球，记录成绩（个数）如下：40，38，42 ，35，45，40，42，42，则这组数据的众数与中位数分别是（　　） A．40，41 B．42，41 C．41，42 D．41，40 6．不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（　　）A． B． C． D． 7．如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O，点 E 为 AB 的中点，连接 OE，若 OE＝3，∠ADC ＝60°，则 BD 的长度为（　　） A．6 B．6 C．3 D．3 8．两个不透明的袋子中分别装有标号 1、2、3、4 和标号 2、3、4 的 7 个小球，7 个小球除标号外 其余均相同，随机从两个袋子中抽取一个小球，则其标号数字和大于 6 的概率为（　　） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，等边△OBC 的边 OC 在 x 轴正半轴上，点 O 为原点，点 C 坐标为（ 12，0），D 是 OB 上的动点，过 D 作 DE⊥x 轴于点 E，过 E 作 EF⊥BC 于点 F，过 F 作 FG⊥OB 于点 G．当 G 与 D 重合时，点 D 的坐标为（　　） A．（1， ） B．（2，2 ） C．（4，4 ） D．（8，8 ） 10．如图 1．已知正△ABC 中，E，F，G 分别是 AB，BC，CA 上的点，且 AE＝BF＝CG，设△EFG 的面积为 y，AE 的长为 x，y 关于 x 的函数图象如图 2，则△EFG 的最小面积为（　　）A． B． C．2 D． 二．填空题（共 5 小题，满分 15 分，每小题 3 分） 11．计算：（ ﹣π）0﹣ ＝　 　． 12．如图，在⊙O 中，直径 EF⊥CD，垂足为 M，EM•MF＝12，则 CD 的长度为　 　． 13．如果函数 y＝﹣2x 与函数 y＝ax2+1 有两个不同的交点，则实数 a 的取值范围是　 　． 14．如图，等腰三角形 ABC 中，AB＝AC＝2，∠B＝75°，以 C 为旋转中心将△ABC 顺时针旋转， 当点 B 落在 AB 上点 D 处时，点 A 的对应点为 E，则阴影部分面积为　 　． 15．如图，将三角形纸片 ABC 沿 AD 折叠，使点 C 落在 BD 边上的点 E 处．若 BC＝10，BE＝2， 则 AB2﹣AC2 的值为　 　． 三．解答题（共 8 小题，满分 75 分） 16．（8 分）先化简，再求值：（x﹣2﹣ ）÷ ，其中 x＝2 ﹣4． 17．（9 分）某超市对今年“元旦”期间销售 A、B、C 三种品牌的绿色鸡蛋情况进行了统计，并绘 制如图所示的扇形统计图和条形统计图．根据图中信息解答下列问题： （1）该超市“元旦”期间共销售　 　个绿色鸡蛋，A 品牌绿色鸡蛋在扇形统计图中所对应的 扇形圆心角是　 　度； （2）补全条形统计图； （3）如果该超市的另一分店在“元旦”期间共销售这三种品牌的绿色鸡蛋 1500 个，请你估计这个分店销售的 B 种品牌的绿色鸡蛋的个数？ 18．（9 分）如图，⊙O 中，AB 为直径，点 P 为⊙O 外一点，且 PA＝AB，PA、PB 交⊙O 于 D、E 两点，∠PAB 为锐角，连接 DE、OD、OE． （1）求证：∠EDO＝∠EBO； （2）填空：若 AB＝8， ①△AOD 的最大面积为　 　； ②当 DE＝　 　时，四边形 OBED 为菱形． 19．（9 分）济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”．某校数学社团的同学对超然楼的 高度进行了测量．如图，他们在 A 处仰望塔顶，测得仰角为 30°，再往楼的方向前进 60m 至 B 处，测得仰角为 60°，若学生的身高忽略不计，则该楼的高度 CD 多少米？（结果保留根号） 20．（9 分）如图，已知一次函数 y＝mx﹣4（m≠0）的图象分别交 x 轴，y 轴于 A（﹣4，0），B 两 点，与反比例函数 y＝ （k≠0）的图象在第二象限的交点为 C（﹣5，n） （1）分别求一次函数和反比例函数的表达式；（2）点 P 在该反比例函数的图象上，点 Q 在 x 轴上，且 P，Q 两点在直线 AB 的同侧，若以 B，C ，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求满足条件的点 P 和点 Q 的坐标． 21．（10 分）开学前夕，某文具店准备购进 A、B 两种品牌的文具袋进行销售，若购进 A 品牌文具 袋和 B 品牌文具袋各 5 个共花费 125 元，购进 A 品牌文具袋 3 个和 B 品牌文具袋各 4 个共花费 90 元． （1）求购进 A 品牌文具袋和 B 品牌文具袋的单价； （2）若该文具店购进了 A，B 两种品牌的文具袋共 100 个，其中 A 品牌文具袋售价为 12 元，B 品牌文具袋售价为 23 元，设购进 A 品牌文具袋 x 个，获得总利润为 y 元． ①求 y 关于 x 的函数关系式； ②要使销售文具袋的利润最大，且所获利润不超过进货价格的 40%，请你帮该文具店设计一个进 货方案，并求出其所获利润的最大值． 22．（10 分）已知：AD 是△ABC 的高，且 BD＝CD． （1）如图 1，求证：∠BAD＝∠CAD； （2）如图 2，点 E 在 AD 上，连接 BE，将△ABE 沿 BE 折叠得到△A′BE，A′B 与 AC 相交于 点 F，若 BE＝BC，求∠BFC 的大小； （3）如图 3，在（2）的条件下，连接 EF，过点 C 作 CG⊥EF，交 EF 的延长线于点 G，若 BF＝ 10，EG＝6，求线段 CF 的长．23．（11 分）如图 1，抛物线 y＝x2+（m﹣2）x﹣2m（m＞0）与 x 轴交于 A、B 两点（A 在 B 左边） ，与 y 轴交于点 C．连接 AC、BC，D 为抛物线上一动点（D 在 B、C 两点之间），OD 交 BC 于 E 点． （1）若△ABC 的面积为 8，求 m 的值； （2）在（1）的条件下，求 的最大值； （3）如图 2，直线 y＝kx+b 与抛物线交于 M、N 两点（M 不与 A 重合，M 在 N 左边），连 MA， 作 NH⊥x 轴于 H，过点 H 作 HP∥MA 交 y 轴于点 P，PH 交 MN 于点 Q，求点 Q 的横坐标．参考答案与试题解析 一．选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分） 1．【分析】根据绝对值的定义进行分析即可得出正确结论． 【解答】解：选项 A、B、C 中，a 与 b 的关系还有可能互为相反数．故选 D． 【点评】绝对值相等的两个数的关系是相等或互为相反数． 2．【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时， 要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对 值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 【解答】解：将 130 万用科学记数法表示为 1.3×106． 故选：A． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a| ＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 3．【分析】由几何体形状直接得出其左视图，正方形上面有一条斜线． 【解答】解：如图所示：图 2 的左视图为： ． 故选：C． 【点评】此题主要考查了简单组合体的三视图，正确注意观察角度是解题关键． 4．【分析】由AC⊥BC，CD 平分∠ACB 知∠BCD＝45°，结合∠1＝65°知∠2＝∠3＝180°﹣∠1 ﹣∠BCD，据此可得答案． 【解答】解：如图， ∵AC⊥BC， ∴∠ACB＝90°， ∵CD 平分∠ACB，∴∠BCD＝ ∠ACB＝45°， ∵∠1＝65°， ∴∠2＝∠3＝180°﹣∠1﹣∠BCD＝70°， 故选：B． 【点评】本题主要考查垂线的性质，解题的关键是掌握垂线与角平分线的性质及三角形的内角和 定理等知识点． 5．【分析】先将数据从大到小从新排列，然后根据众数及中位数的定义求解即可． 【解答】解：将数据从小到大排列为：35，38，40，40，42，42，42，65， 众数为 42； 中位数为 ＝41． 故选：B． 【点评】本题考查了众数及中位数的知识，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排 列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念 掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就可能会出错． 6．【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集 表示在数轴上即可． 【解答】解：解 3x﹣2＜1，得 x＜1； 解 x+1≥0，得 x≥﹣1； 不等式组的解集是﹣1≤x＜1， 故选：D． 【点评】在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜ ，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不 等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤ ”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 7．【分析】利用三角形中位线定理求出AD，再在 Rt△AOD 中，解直角三角形求出 OD 即可解决问 题． 【解答】解：∵四边形 ABCD 是菱形，∠ADC＝60°， ∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，∠ADO＝∠CDO＝30°， ∵AE＝EB，BO＝OD，∴AD＝2OE＝6， 在 Rt△AOD 中，∵AD＝6，∠AOD＝90°，∠ADO＝30°， ∴OD＝AD•cos30°＝3 ， ∴BD＝2OD＝6 ， 故选：A． 【点评】本题考查菱形的性质，三角形的中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活 运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 8．【分析】利用树状图法列举出所有可能，进而求出概率． 【解答】解：画树状图如下： 由树状图可知，共有 12 种等可能结果，其中标号数字和大于 6 的结果数为 3， 所以标号数字和大于 6 的概率为 ＝ ， 故选：C． 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数 之比． 9．【分析】设BG＝x，依据∠BFG＝∠CEF＝∠ODE＝30°，可得 BF＝2x，CF＝12﹣2x，CE＝2CF ＝24﹣4x，OE＝12﹣CE＝4x﹣12，OD＝2OE＝8x﹣24，再根据当 G 与 D 重合时，OD+BG＝OB 列方程，即可得到 x 的值，进而得出点 D 的坐标． 【解答】解：如图，设 BG＝x， ∵△OBC 是等边三角形， ∴∠BOC＝∠B＝∠C＝60°， ∵DE⊥OC 于点 E，EF⊥BC 于点 F，FG⊥OB， ∴∠BFG＝∠CEF＝∠ODE＝30°， ∴BF＝2x， ∴CF＝12﹣2x， ∴CE＝2CF＝24﹣4x， ∴OE＝12﹣CE＝4x﹣12， ∴OD＝2OE＝8x﹣24，当 G 与 D 重合时，OD+BG＝OB， ∴8x﹣24+x＝12， 解得 x＝4， ∴OD＝8x﹣24＝32﹣24＝8， ∴OE＝4，DE＝4 ， ∴D（4，4 ）． 故选：C． 【点评】本题考查了等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的 性质是解题的关键． 10．【分析】本题根据图2 判断△EFG 的面积 y 最小时和最大时分别对应的 x 值，从而确定 AB，EG 的长度，求出等边三角形 EFG 的最小面积． 【解答】由图 2 可知，x＝2 时△EFG 的面积 y 最大，此时 E 与 B 重合，所以 AB＝2 ∴等边三角形 ABC 的高为 ∴等边三角形 ABC 的面积为 由图 2 可知，x＝1 时△EFG 的面积 y 最小 此时 AE＝AG＝CG＝CF＝BG＝BE 显然△EGF 是等边三角形且边长为 1 所以△EGF 的面积为 故选：A． 【点评】本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象等边三角形等知识点．解题关键是深 刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程． 二．填空题（共 5 小题，满分 15 分，每小题 3 分） 11．【分析】本题涉及三次根式化简、零指数幂 2 个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行 计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：（ ﹣π）0﹣ ＝1+3 ＝4． 故答案为：4． 【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目 的关键是熟练掌握三次根式、零指数幂等考点的运算． 12．【分析】连接CE，DF，根据圆周角定理得到∠E＝∠D，∠C＝∠F，根据相似三角形的性质得 到 CM•DM＝EM•MF＝12，根据垂径定理即可得到结论． 【解答】解：连接 CE，DF， ∵∠E＝∠D，∠C＝∠F， ∴△CEM∽△DFM， ∴ ＝ ， ∴CM•DM＝EM•MF＝12， ∵直径 EF⊥CD， ∴CM＝DM， ∴CM＝ ＝2 ， ∴CD＝2CM＝4 ， 故答案为：4 ． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，正确的作出辅助线构造 相似三角形是解题的关键． 13．【分析】当a＝0 时，两直线 y＝﹣2x 和 y＝1 只有一个交点，则当 a≠0 时，先联立抛物线与直 线的解析式得出关于 x 的方程，再由直线 y＝﹣2x 和抛物线有两个不同交点可知△＞0，求出 a 的 取值范围． 【解答】解：当 a＝0 时，两直线 y＝﹣2x 和 y＝1 只有一个交点，当 a≠0 时， ，由题意得，方程 ax2+1＝﹣2x 有两个不同的实数根， ∴△＝4﹣4a＞0， 解得：a＜1． 故答案为：a＜1． 【点评】主要考查的是函数图象的交点问题，两函数有两个不同的交点，则△＞0． 14．【分析】作 CK⊥BD 于 K．根据 S 阴＝S△ABC+S 扇形 ACE﹣S△BCD﹣S△EDC 计算即可． 【解答】解：作 CK⊥BD 于 K． ∵AB＝AC＝3， ∴∠B＝∠ACB＝75°， ∴∠BAC＝180°﹣75°﹣75°＝30°， 在 Rt△ACK 中，CK＝ AC＝1，AK＝ ， ∴BK＝2﹣ ， ∵CB＝CD，CK⊥BD， ∴BD＝2BK＝4﹣2 ，∠B＝∠CDB＝75°， ∴ACE＝∠BCD＝30°， ∴S 阴＝S△ABC+S 扇形 ACE﹣S△BCD﹣S△EDC ＝ ﹣ •（4﹣2 ）•1 ＝ ﹣2+ ， 故答案为 ﹣2+ ． 【点评】本题考查旋转变换，扇形的面积，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关 键是学会用分割法求阴影部分面积． 15．【分析】由折叠的性质可得∠ADC＝∠ADE＝90°，DE＝CD＝ CE，可得 DE＝4，BD＝6， 根据勾股定理可求 AB2﹣AC2 的值． 【解答】解：∵将三角形纸片 ABC 沿 AD 折叠，使点 C 落在 BD 边上的点 E 处，∴∠ADC＝∠ADE＝90°，DE＝CD＝ CE， ∵BC＝10，BE＝2 ∴CE＝8， ∴CD＝DE＝4，BD＝6， 在 Rt△ABD 中，AB2＝AD2+BD2， 在 Rt△ACD 中，AC2＝AD2+CD2， ∴AB2﹣AC2＝BD2﹣CD2＝20， 故答案为：20 【点评】本题考查了翻折变换，勾股定理，熟练运用折叠的性质是本题的关键． 三．解答题（共 8 小题，满分 75 分） 16．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约 分得到最简结果，将 x 的值代入计算即可求出值． 【解答】解：（x﹣2﹣ ）÷ ＝ ÷ ＝ • ＝x+4， 当 x＝2 ﹣4 时， 原式＝2 ﹣4+4＝2 ． 【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 17．【分析】（1）用 C 品牌的数量除以所占的百分比，计算机求出鸡蛋的总量，再用 A 品牌的百 分比乘以 360°计算即可求出圆心角的度数； （2）求出 B 品牌鸡蛋的数量，然后条形补全统计图即可； （3）用 B 品牌所占的百分比乘以 1500，计算即可得解． 【解答】解：（1）共销售绿色鸡蛋：1200÷50%＝2400 个， A 品牌所占的圆心角： ×360°＝60°； 故答案为：2400，60； （2）B 品牌鸡蛋的数量为：2400﹣400﹣1200＝800 个，补全统计图如图； （3）分店销售的 B 种品牌的绿色鸡蛋为： ×1500＝500 个． 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得 到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接 反映部分占总体的百分比大小． 18．【分析】（1）如图 1，连 AE，由等腰三角形的性质可知 E 为 PB 中点，则 OE 是△PAB 的中位 线，OE∥PA，可证得∠DOE＝∠EOB，则∠EDO＝∠EBO 可证； （2）如图 2，由条件知 OA＝4，当 OA 边上的高最大时，△AOD 的面积最大，可知点 D 是 的 中点时满足题意，此时最大面积为 8； （3）如图 3，当 DE＝4 时，四边形 ODEB 是菱形．只要证明△ODE 是等边三角形即可解决问题 ． 【解答】证明：（1）如图 1，连 AE， ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠AEB＝90°， ∵PA＝AB， ∴E 为 PB 的中点，∵AO＝OB， ∴OE∥PA， ∴∠ADO＝∠DOE，∠A＝∠EOB ∵OD＝OA， ∴∠A＝∠ADO， ∴∠EOB＝∠DOE， ∵OD＝OE＝OB， ∴∠EDO＝∠EBO； （2）①∵AB＝8， ∴OA＝4， 当 OA 边上的高最大时，△AOD 的面积最大（如图 2），此时点 D 是 的中点， ∴OD⊥AB， ∴ ； ②如图 3，当 DE＝4 时，四边形 OBED 为菱形，理由如下： ∵OD＝DE＝OE＝4， ∴△ODE 是等边三角形，∴∠EDO＝60°， 由（1）知∠EBO＝∠EDO＝60°， ∴OB＝BE＝OE， ∴四边形 OBED 为菱形， 故答案为：8；4． 【点评】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、中位线定理、菱形的判定等知识，解题的 关键是找准动点 D 在圆上的位置，灵活运用所学知识解决问题， 19．【分析】由题意易得：∠A＝30°，∠DBC＝60°，DC⊥AC，即可证得△ABD 是等腰三角形， 然后利用三角函数，求得答案． 【解答】解：根据题意得：∠A＝30°，∠DBC＝60°，DC⊥AC， ∴∠ADB＝∠DBC﹣∠A＝30°， ∴∠ADB＝∠A＝30°， ∴BD＝AB＝60m， ∴CD＝BD•sin60°＝60× ＝30 （m） 【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．注意证得△ABD 是等腰三角形，利用 特殊角的三角函数值求解是关键． 20．【分析】（1）将点 A 坐标代入 y＝mx﹣4（m≠0），求出 m，得出直线 AB 的解析式，进而求 出点 C 坐标，再代入反比例函数解析式中，求出 k，即可得出结论； （2）先求出点 B 坐标，设出点 P，Q 坐标，分两种情况，利用平行四边形的对角线互相平分建 立方程组求解即可得出结论． 【解答】解：（1）∵点 A 是一次函数 y＝mx﹣4 的图象上， ∴﹣4m﹣4＝0， ∴m＝﹣1， ∴一次函数的解析式为 y＝﹣x﹣4， ∵点 C（﹣5，n）是直线 y＝﹣x﹣4 上， ∴n＝﹣（﹣5）﹣4＝1， ∴C（﹣5，1）， ∵点 C（﹣5，1）是反比例函数 y＝ （k≠0）的图象上， ∴k＝﹣5×1＝﹣5，∴反比例函数的解析式为 y＝﹣ ； （2）由（1）知，C（﹣5，1），直线 AB 的解析式为 y＝﹣x﹣4， ∴B（0，﹣4）， 设点 Q（q，0），P（p，﹣ ）， ∵以 B，C，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形，且 P，Q 两点在直线 AB 的同侧， ∴①当 BP 与 CQ 是对角线时， ∴BP 与 CQ 互相平分， ∴ ， ∴ ， ∴P（﹣1，5），Q（4，0） ②当 BQ 与 CP 是对角线时， ∴BQ 与 CP 互相平分， ∴ ， ∴ ， ∴P（﹣1，5），Q（﹣4，0）， 此时，点 C，Q，B，P 在同一条线上，不符合题意，舍去， 即以 B，C，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形，点 P（﹣1，5），点 Q（4，0）． 【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质，用方程组的思 想解决问题是解本题的关键． 21．【分析】（1）设购进 A 品牌文具袋的单价为 x 元，购进 B 品牌文具袋的单价为 y 元，列出方程 组求解即可； （2）①把（1）得出的数据代入即可解答； ②根据题意可以得到 x 的取值范围，然后根据一次函数的性质即可求得 w 的最大值和相应的进货方案． 【解答】解：（1）设购进 A 品牌文具袋的单价为 x 元，购进 B 品牌文具袋的单价为 y 元，根据 题意得， ， 解得 ， 所以购进 A 品牌文具袋的单价为 10 元，购进 B 品牌文具袋的单价为 15 元； （2）①由题意可得， y＝（12﹣10）x+（23﹣15）（100﹣x）＝800﹣6x； ②由题意可得， ﹣6x+800≤40%[10x+15（100﹣x）]， 解得：x≥50， 又由（1）得：w＝﹣6x+800，k＝﹣6＜0， ∴w 随 x 的增大而减小， ∴当 x＝50 时，w 达到最大值，即最大利润 w＝﹣50×6+800＝500 元， 此时 100﹣x＝100﹣50＝50 个， 答：购进 A 品牌文具袋 50 个，B 品牌文具袋 50 个时所获利润最大，利润最大为 500 元． 【点评】本题综合考察了一次函数的应用及一元一次不等式的相关知识，找出函数的等量关系及 掌握解不等式得相关知识是解决本题的关键． 22．【分析】（1）利用线段的垂直平分线的性质证明 AB＝AC，再利用等腰三角形的性质即可解决 问题； （2）如图 2 中，连接 EC．首先证明△EBC 是等边三角形，推出∠BED＝30°，再由∠BFC＝∠ FAB+∠FBA＝2（∠BAE+∠ABE）＝2∠BED＝60°解决问题； （3）如图 3 中，连接 EC，作 EH⊥AB 于 H，EN⊥AC 于 N，EM⊥BA′于 M．首先证明∠AFE＝∠ BFE＝60°，在 Rt△EFM 中，∠FEM＝90°﹣60°＝30°，推出 EF＝2FM，设 FM＝m，则 EF＝ 2m，推出 FG＝EG﹣EF＝6﹣2m，FN＝ EF＝m，CF＝2FG＝12﹣4m，再证明 Rt△EMB≌Rt△ENC （HL），推出 BM＝CN，由此构建方程即可解决问题； 【解答】（1）证明：如图 1 中，∵BD＝CD，AD⊥BC， ∴AB＝AC， ∴∠BAD＝∠CAD． （2）解：如图 2 中，连接 EC． ∵BD⊥BC，BD＝CD， ∴EB＝EC， 又∵EB＝BC， ∴BE＝EC＝BC， ∴△BCE 是等边三角形， ∴∠BEC＝60°， ∴∠BED＝30°， 由翻折的性质可知：∠ABE＝∠A′BE＝ ∠ABF， ∴∠ABF＝2∠ABE，由（1）可知∠FAB＝2∠BAE， ∴∠BFC＝∠FAB+∠FBA＝2（∠BAE+∠ABE）＝2∠BED＝60°．（3）解：如图 3 中，连接 EC，作 EH⊥AB 于 H，EN⊥AC 于 N，EM⊥BA′于 M． ∵∠BAD＝∠CAD，∠ABE＝∠A′BE， ∴EH＝EN＝EM， ∴∠AFE＝∠EFB， ∵∠BFC＝60°， ∴∠AFE＝∠BFE＝60°， 在 Rt△EFM 中，∵∠FEM＝90°﹣60°＝30°， ∴EF＝2FM，设 FM＝m，则 EF＝2m， ∴FG＝EG﹣EF＝6﹣2m， 易知：FN＝ EF＝m，CF＝2FG＝12﹣4m， ∵∠EMB＝∠ENC＝90°，EB＝EC，EM＝EN， ∴Rt△EMB≌Rt△ENC（HL）， ∴BM＝CN， ∴BF﹣FM＝CF+FN， ∴10﹣m＝12﹣4m+m， ∴m＝1， ∴CF＝12﹣4＝8． 【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质 ，全等三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知 识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 23．【分析】（1）将 A、B、C 三点坐标表示为线段长，OA＝m，OB＝2，OC＝2m，然后根据面积 公式建立关于 m 的方程，解方程即可； （2）过点 D 作 DF∥OC，可以通过平行构造八字型的相似关系，将 DE 与 OE 的比转换为 DF与 OC 的比，OC 为定值，所以设点 D 坐标，表示 DF 线段长度，从而得到表示线段长度之比的 二次函数关系式，转换成顶点式，则 的最大值可求； （3）分析条件 AM∥PH 可知应有等角，所以从 M、Q 向 x 轴作垂直，构造相似，利用直线解析 式设 M、N、Q 三点坐标，将直线与抛物线解析式联立，用韦达定理表示 x1+x2，x1x2，根据相似 关系建立参数方程，因式分解讨论取值． 【解答】解：（1）y＝x2+（m﹣2）x﹣2m＝（x+m）（x﹣2） 令 y＝0，则（x+m）（x﹣2）＝0，解得 x1＝﹣m，x2＝2 ∴A（﹣m，0）、B（2，0） 令 x＝0，则 y＝﹣2m ∴C（0，﹣2m） ∴AB＝2+m，OC＝2m ∵S△ABC＝ ×（2+m）×2m＝8，解得 m1＝2，m2＝﹣4 ∵m＞0 ∴m＝2 （2）如图 1，过点 D 作 DF∥y 轴交 BC 于 F 由（1）可知：m＝2 ∴抛物线的解析式为 y＝x2﹣4 ∴B（2，0）、C（0，﹣4） ∴直线 BC 的解析式为 y＝2x﹣4 设 D（t，t2﹣4），则 F（t，2t﹣4） ∴DF＝2t﹣4﹣（t2﹣4）＝﹣t2+2t，OC＝4 ∵DF∥y 轴 ∴ ＝ ＝ ＝ 当 t＝1 时，∵ ， ∴ ，此时 D（1，﹣3）． （3）设 M（x1，kx1+b）、N（x2，kx2+b）联立 ，整理得 x2+（m﹣2﹣k）x﹣2m﹣b＝0 ∴x1+x2＝2+k﹣m，x1x2＝﹣2m﹣b 设点 Q 的横坐标为 n，则 Q（n，kn+b） ∵MA∥PH 如图 2，过点 M 作 MK⊥x 轴于 K，过点 Q 作 QL⊥x 轴于 L ∵△MKA∽△QLH ∴ ＝ 即 ，整理得 kx1x2+b（x1+x2）+kmn+bm﹣bn＝0 ∴k（﹣2m﹣b）+b（2+k﹣m）+kmn+bm﹣bn＝0 ∴（km﹣b）（n﹣2）＝0 ①当 km﹣b＝0，此时直线为 y＝k（x+m），过点 A（﹣m，0），不符合题意 ②当 n﹣2＝0，此时 n＝2，Q 点的横坐标为 2． 【点评】此题考查了因式分解，相似构造，一元二次方程根与系数之间的关系，二次函数的极值 求法以及一次函数与二次函数的关系，前两问属于常规问题，难度不大，解法比较常见，第三问 难度较大，条件中没有已知数值，需要学生设多个参数，用韦达定理和因式分解的方法来解决问 题，难度较大．