2020年河南省新乡市中考数学模拟试卷2

2020 年河南省新乡市中考数学模拟试卷 2 一．选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分） 1．如果|a|＝a，下列各式成立的是（　　） A．a＞0 B．a＜0 C．a≥0 D．a≤0 2．12 月 2 日，2018 年第十三届南宁国际马拉松比赛开跑，2.6 万名跑者继续刷新南宁马拉松的参与 人数纪录!把 2.6 万用科学记数法表示为（　　） A．0.26×103 B．2.6×103 C．0.26×104 D．2.6×104 3．从上面看如图中的几何体，得到的平面图形正确的是（　　） A． B． C． D． 4．如图，AB∥CD，直线 MN 与 AB、CD 分别交于点 E、F，FG 平分∠EFD，EG⊥FG 于点 G，若∠ CFN＝110°，则∠BEG＝（　　） A．20° B．25° C．35° D．40° 5．某车间需加工一批零件，车间 20 名工人每天加工零件数如表所示： 每天加工零件 数 4 5 6 7 8 人数 3 6 5 4 2每天加工零件数的中位数和众数为（　　） A．6，5 B．6，6 C．5，5 D．5，6 6．不等式组 的解在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 7．如图，菱形 ABCD 中∠ABC＝60°，对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E 是 AB 中点，且 AC＝4， 则△BOE 的面积为（　　） A． B．2 C．3 D．2 8．有大小、形状、颜色完全相同的 3 个乒乓球，每个球上分别标有数字 1，2，3 中的一个，将这 3 个球放入不透明的袋中搅匀，如果不放回的从中随机连续抽取两个，则这两个球上的数字之和为 偶数的概率是（　　） A． B． C． D． 9．如图，等边三角形 ABC，B 点在坐标原点，C 点的坐标为（4，0），则点 A 的坐标为（　　） A．（2，3） B．（2，2 ） C．（2 ，2） D．（2，2 ） 10．如图，在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点 D 在 BC 边上（不与点 C 重合），以 AC 为对角线作平行四边形 ADCE，连接 DE 交 AC 于点 O．设 BD＝x，OD2＝y，则 y 与 x 之间的函 数关系图象大致为（　　）A． B． C． D． 二．填空题（共 5 小题，满分 15 分，每小题 3 分） 11．计算： +（ ﹣1）0＝　 　． 12．如图，在每个小正方形的边长为 1 的网格中，点 A，B，C 均在格点上． （Ⅰ）AC 的长等于　 　； （Ⅱ）在线段 AC 上有一点 D，满足 AB2＝AD•AC，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺， 画出点 D，并简要说明点 D 的位置是如何找到的（不要求证明）　 　． 13．在直角坐标系中，已知直线 y＝﹣ x+ 经过点 M（﹣1，m）和点 N（2，n），抛物线 y＝ax2﹣ x+2（a≠0）与线段 MN 有两个不同的交点，则 a 的取值范围是　 　． 14．如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠C＝72°，△ABC 绕点 B 逆时针旋转，当点 C 的对应点 C1 落 在边 AC 上时，设 AC 的对应边 A1C1 与 AB 的交点为 E，则∠BEC1＝　 　°．15．如图，点 D、E 在△ABC 边上，沿 DE 将△ADE 翻折，点 A 的对应点为点 A′，∠A′EC＝￿，∠ A′DB＝￿，且￿＜￿，则∠A 等于　 　（用含￿、￿的式子表示）． 三．解答题（共 8 小题，满分 75 分） 16．（8 分）先化简，再求值： ，其中 x＝﹣1． 17．（9 分）为了解某校九年级男生的体能情况，体育老师从中随机抽取部分男生进行引体向上测 试，并对成绩进行了统计，绘制成尚不完整的扇形图和条形图，根据图形信息回答下列问题： （1）本次抽测的男生有　 　人，抽测成绩的众数是　 　； （2）请将条形图补充完整； （3）若规定引体向上 6 次以上（含 6 次）为体能达标，则该校 125 名九年级男生中估计有多少 人体能达标？ 18．（9 分）如图，过半径为 2 的⊙O 外一点 P，作⊙O 的切线 PA，切点为 A，连接 PO，交⊙O 于 点 C，过点 A 作⊙O 的弦 AB，使 AB∥PO，连接 PB、BC． （1）当点 C 是 PO 的中点时，①求证：四边形 PABC 是平行四边形； ②求△PAB 的面积． （2）当 AB＝2 时，请直接写出 PC 的长度． 19．（9 分）在一次数学综合实践活动中，小明计划测量城门大楼的高度，在点 B 处测得楼顶 A 的 仰角为 22°，他正对着城楼前进 21 米到达 C 处，再登上 3 米高的楼台 D 处，并测得此时楼顶 A 的仰角为 45°． （1）求城门大楼的高度； （2）每逢重大节日，城门大楼管理处都要在 A，B 之间拉上绳子，并在绳子上挂一些彩旗，请你 求出 A，B 之间所挂彩旗的长度（结果保留整数）．（参考数据：sin22°≈ ，cos22°≈ ，tan22 °≈ ） 20．（9 分）直线 y＝kx+b 与反比例函数 （x＞0）的图象分别交于点 A（m，4）和点 B（8，n） ，与坐标轴分别交于点 C 和点 D． （1）求直线 AB 的解析式； （2）观察图象，当 x＞0 时，直接写出 的解集； （3）若点 P 是 x 轴上一动点，当△COD 与△ADP 相似时，求点 P 的坐标．21．（10 分）学校准备购进一批 A、B 两型号节能灯，已知 2 只 A 型节能灯和 3 只 B 型节能灯共需 31 元；1 只 A 型节能灯和 2 只 B 型节能灯共需 19 元． （1）求一只 A 型节能灯和一只 B 型节能灯的售价各是多少元？ （2）学校准备购进这两种型号的节能灯共 100 只，并且 A 型节能灯的数量不多于 B 型节能灯数 量的 2 倍，请设计出最省钱的购买方案． 22．（10 分）如图 1，在 Rt△ABC 中，∠A＝90°，AB＝AC，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，AD＝ AE，连接 DC，点 M，P，N 分别为 DE，DC，BC 的中点． （1）观察猜想： 图 1 中，线段 PM 与 PN 的数量关系是　 　，位置关系是　 　； （2）探究证明： 把△ADE 绕点 A 逆时针方向旋转到图 2 的位置，连接 MN，BD，CE，判断△PMN 的形 状，并说明理由； （3）拓展延伸： 把△ADE 绕点 A 在平面内自由旋转，若 AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN 面积的最 大值． 23．（11 分）在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ x2 沿 x 轴正方向平移后经过点 A（x1，y2），B（x2 ，y2），其中 x1，x2 是方程 x2﹣2x＝0 的两根，且 x1＞x2， （1）如图 1．求 A，B 两点的坐标及平移后抛物线的解析式； （2）平移直线 AB 交抛物线于 M，交 x 轴于 N，且 ＝ ，求△MNO 的面积； （3）如图 2，点 C 为抛物线对称轴上顶点下方的一点，过点 C 作直线交抛物线于 E、F，交 x 轴 于点 D，探究 的值是否为定值？如果是，求出其值；如果不是，请说明理由．参考答案与试题解析 一．选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分） 1．【分析】由条件可知 a 是绝对值等于本身的数，可知 a 为 0 或正数，可得出答案． 【解答】解：∵|a|＝a， ∴a 为绝对值等于本身的数， ∴a≥0， 故选：C． 【点评】本题主要考查绝对值的计算，掌握绝对值等于它本身的数有 0 和正数（即非负数）是解 题的关键． 2．【分析】根据科学记数法﹣表示较大的数的方法解答． 【解答】解：2.6 万用科学记数法表示为：2.6×104， 故选：D． 【点评】本题考查的是科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中 1 ≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 3．【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案． 【解答】解：从上边看是 ， 故选：B． 【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图． 4．【分析】由∠CFN＝110°、FG 平分∠EFD 知∠DFE＝110°、∠EFG＝55°，根据 EG⊥FG 知∠ GEF＝35°，再由 AB∥CD 得出∠BEF＝70°，利用∠BEG＝∠BEF﹣∠GEF 可得答案． 【解答】解：∵∠CFN＝110°， ∴∠DFE＝∠CFN＝110°， ∵FG 平分∠EFD， ∴∠EFG＝ ∠EFD＝55°， 又 EG⊥FG，即∠G＝90°， ∴∠GEF＝35°， ∵AB∥CD、∠EFD＝110°， ∴∠BEF＝70°，∴∠BEG＝∠BEF﹣∠GEF＝35°， 故选：C． 【点评】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行同旁内角互补的性质及角平 分线性质、垂线性质等知识点． 5．【分析】根据众数、中位数的定义分别进行解答即可． 【解答】解：由表知数据 5 出现了 6 次，次数最多，所以众数为 5； 因为共有 20 个数据， 所以中位数为第 10、11 个数据的平均数，即中位数为 ＝6， 故选：A． 【点评】本题考查了众数和中位数的定义．用到的知识点：一组数据中出现次数最多的数据叫做 这组数据的众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数 ，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的 平均数就是这组数据的中位数． 6．【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集 表示在数轴上即可． 【解答】解： ， 解得 ， 不等式组的解集是﹣1＜x≤1， 故选：D． 【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥ 向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线 的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥ ”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 7．【分析】根据菱形的性质和三角形中位线定理和三角形的面积公式以及菱形的面积公式解答即可 ． 【解答】解：∵菱形 ABCD 中∠ABC＝60°， ∴AB＝BC，OA＝OC， ∴△ABC 是等边三角形， ∵AC＝4，∴OA＝2，OB＝2 ， ∴△ABC 的面积＝ ， ∵点 E 是 AB 中点，OA＝OC， ∴OE 是△ABC 的中位线， ∴△BOE 的面积＝ △ABC 的面积＝ ， 故选：A． 【点评】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质和三角形中位线定理和三角形的面积公式 以及菱形的面积公式解答． 8．【分析】列举出所有可能，进而求出和为偶数的概率． 【解答】解：画树状图如下： 由树状图知共有 6 种等可能结果，其中和为偶数的有 2 种结果， 所以两个球上的数字之和为偶数的概率为 ＝ ， 故选：C． 【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出 n， 再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后根据概率公式求出事件 A 或 B 的概率． 9．【分析】如图，作 AH⊥OC 于 H．根据等边三角形的性质以及勾股定理求出 OH，AH 即可； 【解答】解：如图，作 AH⊥OC 于 H． ∴C（4，0）， ∴OC＝4， ∵△ABC 是等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝4， ∵AH⊥BC， ∴OH＝HC＝2， ∴AH＝ ＝2 ， ∴A（2，2 ）， 故选：B． 【点评】本题考查等边三角形的性质，勾股定理，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会 添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 10．【分析】作 OG⊥BC 于点 G，利用平行四边形的性质构造中位线，从而求得 OG，在根据勾股 定理可得 y 的解析式，最后判断大致图象． 【解答】 解：作 OG⊥BC 于点 G， 在平行四边形 ADCE 中， CO＝AO， 又∵OG∥AB， ∴OG＝ AB＝ ， BG＝ ， ∴DG＝|2﹣x|， ∴y＝ ＝ ∴图象是一条开口向上的抛物线， 故选：B．【点评】本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象三角形的中位线，勾股定理等知识， 解题关键是构造直角三角形求出 OD 的平方． 二．填空题（共 5 小题，满分 15 分，每小题 3 分） 11．【分析】原式第一项利用平方根定义计算，第二项利用零指数幂法则计算即可得到结果． 【解答】解：原式＝3+1＝4． 故答案为：4． 【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 12．【分析】（Ⅰ）利用勾股定理计算即可； （Ⅱ）根据相似三角形的判定和性质解答即可． 【解答】解：（Ⅰ）AC＝ ， 故答案为：5， （Ⅱ）要满足 AB2＝AD•AC， 即 AD＝ ， 以点 A 为圆心，AD 长为半径作圆交 AC 于点 D， 连接 BD，此时△ABD∽△ACB， 故答案为：以点 A 为圆心，AD 长为半径作圆交 AC 于点 D． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定， 本题属于基础题型． 13．【分析】由题意可求点M（﹣1，2），点 N（2，1），分 a＞0，a＜0 两种情况讨论，根据题意 列出不等式组，可求 a 的取值范围． 【解答】解：∵直线 y＝﹣ x+ 经过点 M（﹣1，m）和点 N（2，n）， ∴m＝﹣ ×（﹣1）+ ＝2，n＝﹣ ×2+ ＝1 ∴M（﹣1，2），N（2，1） ∵抛物线 y＝ax2﹣x+2（a≠0）与线段 MN 有两个不同的交点，∴﹣ x+ ＝ax2﹣x+2 ∴△＝ ﹣ ＞0 ∴a＜ 当 a＜0 时， 解得：a≤﹣1 ∴a≤﹣1 当 a＞0 时， 解得：a≥ ∴ ≤a＜ 综上所述：a≤﹣1 或 ≤a∠ 故答案为：a≤﹣1 或 ≤a∠ 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象点 的坐标特征，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 14．【分析】根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠C＝72°，根据三角形的内角和得到∠CBC1＝180 °﹣72°﹣72°＝36°，求得∠ABC1＝72°﹣36°＝36°，根据旋转的性质得到∠A1C1B＝∠C＝ 72°，于是得到结论． 【解答】解：∵AB＝AC，∠C＝72°， ∴∠ABC＝∠C＝72°， ∴∠CBC1＝180°﹣72°﹣72°＝36°， ∴∠ABC1＝72°﹣36°＝36°， ∵△ABC 绕点 B 逆时针旋转得到△A1BC1， ∴A1C1B＝∠C＝72°， ∴∠BEC1＝72°， 故答案为：72． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，以及旋转的性质，正确确定旋转角，找到旋转前后的相等线段，是解题的关键． 15．【分析】根据翻转变换的性质得到 ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，根据三角形的外角的 性质计算，得到答案． 【解答】解：由折叠的性质可知，∠ADE＝∠A′DE＝ （180°﹣β）＝90°﹣ β， ∠AED＝∠A′ED， 设∠DEC＝x， 则 180°﹣x＝α+x， 解得，x＝90°﹣ α， ∴∠A＝∠DEC﹣∠ADE＝ β﹣ α， 故答案为： β﹣ α． 【点评】本题考查的是翻转变换的性质，三角形的外角的性质，翻转变换是一种对称变换，折叠 前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 三．解答题（共 8 小题，满分 75 分） 16．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约 分得到最简结果，把 x 的值代入计算即可求出值． 【解答】解：原式＝ ÷ ＝ • ＝﹣ ， 当 x＝﹣1 时，原式＝﹣1． 【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 17．【分析】（1）用 7 次的人数除以 7 次所占的百分比即可求得总人数，然后求得 6 次的人数即可 确定众数； （2）补齐 6 次小组的小长方形即可． （2）用总人数乘以达标率即可． 【解答】解：（1）观察统计图知达到 7 次的有 7 人，占 28%， ∴7÷28%＝25 人， 达到 6 次的有 25﹣2﹣5﹣7﹣3＝8 人， 故众数为 6 次；… （2）（3） （人）． 答：该校 125 名九年级男生约有 90 人体能达标．… 【点评】本题考查了条形统计图的知识，解题的关键是从统计图中整理出进一步解题的有关信息 ． 18．【分析】（1）①连接 OA，OB，可得出半径相等，再由 PA 为圆的切线，得到 OA 与 AP 垂直， 根据 C 为 PO 的中点，得到 OA 为 OP 的一半，利用锐角三角函数定义求出∠APO 的度数为 30° ，进而求出∠AOP＝60°，得到由 AB 与 PO 平行得到∠BAO＝60°，确定出三角形 AOB 为等边 三角形，可得出 AB＝OA，即 AB＝PC，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可得 证；②过 O 作 OE 垂直于 AB，由 AB 与 OP 平行，得到三角形 PAB 面积与三角形 AOB 面积相等 ，求出三角形 AOB 面积即为所求； （2）由 AO，OB，以及 AB 的长，利用勾股定理的逆定理判断得到三角形 AOB 为等腰直角三角 形，得到四边形 ABOP 为平行四边形，即可求出 PC 的长． 【解答】（1）①证明：连接 OA、OB，则有 OA＝OB＝OC， ∵PA 是⊙O 的切线， ∴OA⊥PA， ∵点 C 是 PO 的中点， ∴PC＝OC＝ PO， ∴OA＝ PO， ∴在 Rt△OAP 中，sin∠APO＝ ＝ ， ∴∠APO＝30°， ∴∠POA＝60°， ∵AB∥PO，∴∠BAO＝∠POA＝60°， ∴△OAB 是等边三角形， ∴AB＝OA， ∴AB＝PC， ∴四边形 PABC 是平行四边形； ②解：过点 O 作 OE⊥AB，垂足为 E， ∵△OAB 是等边三角形， ∴OA＝AB＝2， ∴OE＝OA•sin60°＝2× ＝ ， ∴S△OAB＝ AB•OE＝ ×2× ＝ ， ∵AB∥PO， ∴S△PAB＝S△OAB＝ ； （2）PC＝2 ﹣2，理由为： ∵OA＝OB＝2，AB＝2 ， ∴OA2+OB2＝AB2， ∴根据勾股定理逆定理可得，△OAB 是直角三角形，即∠AOB＝90°， ∴OB∥PA， ∴四边形 PABO 是平行四边形， ∴PO＝AB， ∴PC＝2 ﹣2． 【点评】此题属于圆综合题，涉及的知识有：切线的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理 的逆定理，以及平行四边形的判定与性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键． 19．【分析】（1）根据题意作出合适的辅助线，然后根据题意和锐角三角函数可以求得城门大楼的 高度； （2）根据（1）中的结果和锐角三角函数可以求得 A，B 之间所挂彩旗的长度． 【解答】解：（1）作 AF⊥BC 交 BC 于点 F，交 DE 于点 E，如右图所示，由题意可得，CD＝EF＝3 米，∠B＝22°，∠ADE＝45°，BC＝21 米，DE＝CF， ∵∠AED＝∠AFB＝90°， ∴∠DAE＝45°， ∴∠DAE＝∠ADE， ∴AE＝DE， 设 AF＝a 米，则 AE＝（a﹣3）米， ∵tan∠B＝ ， ∴tan22°＝ ， 即 ， 解得，a＝12， 答：城门大楼的高度是 12 米； （2）∵∠B＝22°，AF＝12 米，sin∠B＝ ， ∴sin22°＝ ， ∴AB ＝32， 即 A，B 之间所挂彩旗的长度是 32 米． 【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用锐角 三角函数和数形结合的思想解答． 20．【分析】（1）将点 A，B 坐标代入双曲线中即可求出 m，n，最后将点 A，B 坐标代入直线解析 式中即可得出结论； （2）根据点 A，B 坐标和图象即可得出结论； （3）先求出点 C，D 坐标，进而求出 CD，AD，设出点 P 坐标，最后分两种情况利用相似三角 形得出比例式建立方程求解即可得出结论． 【解答】解：（1）∵点 A（m，4）和点 B（8，n）在 y＝ 图象上，∴m＝ ＝2，n＝ ＝1， 即 A（2，4），B（8，1） 把 A（2，4），B（8，1）两点代入 y＝kx+b 中得 解得： ， 所以直线 AB 的解析式为：y＝﹣ x+5； （2）由图象可得，当 x＞0 时，kx+b＞ 的解集为 2＜x＜8． （3）由（1）得直线 AB 的解析式为 y＝﹣ x+5， 当 x＝0 时，y＝5， ∴C（0，5）， ∴OC＝5， 当 y＝0 时，x＝10， ∴D 点坐标为（10，0） ∴OD＝10， ∴CD＝ ＝5 ∵A（2，4）， ∴AD＝ ＝4 设 P 点坐标为（a，0），由题可以，点 P 在点 D 左侧，则 PD＝10﹣a 由∠CDO＝∠ADP 可得 ①当△COD∽△APD 时， ， ∴ ，解得 a＝2， 故点 P 坐标为（2，0） ②当△COD∽△PAD 时， ， ∴ ，解得 a＝0，即点 P 的坐标为（0，0） 因此，点 P 的坐标为（2，0）或（0，0）时，△COD 与△ADP 相似． 【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的性质，用方程的思想 和分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 21．【分析】（1）设一只 A 型节能灯的售价是 x 元，一只 B 型节能灯的售价是 y 元，根据“2 只 A 型节能灯和 3 只 B 型节能灯共需 31 元；1 只 A 型节能灯和 2 只 B 型节能灯共需 19 元”，即可得 出关于 x、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进 A 型节能灯 m 只，总费用为 w 元，则购进 B 型节能灯（100﹣m）只，根据总价＝单 价×购买数量，即可得出 w 关于 m 的函数关系式，再根据 A 型节能灯的数量不多于 B 型节能灯 数量的 2 倍，即可得出关于 m 的一元一次不等式，解之即可得出 m 的取值范围，利用一次函数 的性质结合 m 的取值范围，即可找出最省钱的购买方案． 【解答】解：（1）设一只 A 型节能灯的售价是 x 元，一只 B 型节能灯的售价是 y 元， 根据题意得： ， 解得： ． 答：一只 A 型节能灯的售价是 5 元，一只 B 型节能灯的售价是 7 元． （2）设购进 A 型节能灯 m 只，总费用为 w 元，则购进 B 型节能灯（100﹣m）只， 根据题意得：w＝5m+7（100﹣m）＝﹣2m+700． 又∵m≤2（100﹣m）， 解得：m≤ ， ∵m 为正整数， ∴当 m＝66 时，w 取最小值，此时 100﹣m＝100﹣66＝34． ∴当购买 A 型灯 66 只、B 型灯 34 只时，最省钱． 【点评】本题考查了一次函数的性质、二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题 的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据总价＝单价×购买数量， 找出 w 关于 m 的函数关系式． 22．【分析】（1）利用三角形的中位线得出 PM＝ CE，PN＝ BD，进而判断出 BD＝CE，即可 得出结论，再利用三角形的中位线得出 PM∥CE 得出∠DPM＝∠DCA，最后用互余即可得出结论 ；（2）先判断出△ABD≌△ACE，得出 BD＝CE，同（1）的方法得出 PM＝ BD，PN＝ BD，即 可得出 PM＝PN，同（1）的方法即可得出结论； （3）方法 1：先判断出 MN 最大时，△PMN 的面积最大，进而求出 AN，AM，即可得出 MN 最 大＝AM+AN，最后用面积公式即可得出结论．方法 2：先判断出 BD 最大时，△PMN 的面积最大 ，而 BD 最大是 AB+AD＝14，即可得出结论． 【解答】解：（1）∵点 P，N 是 BC，CD 的中点， ∴PN∥BD，PN＝ BD， ∵点 P，M 是 CD，DE 的中点， ∴PM∥CE，PM＝ CE， ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴BD＝CE， ∴PM＝PN， ∵PN∥BD， ∴∠DPN＝∠ADC， ∵PM∥CE， ∴∠DPM＝∠DCA， ∵∠BAC＝90°， ∴∠ADC+∠ACD＝90°， ∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCA+∠ADC＝90°， ∴PM⊥PN， 故答案为：PM＝PN，PM⊥PN； （2）△PMN 是等腰直角三角形． 由旋转知，∠BAD＝∠CAE， ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE， 利用三角形的中位线得，PN＝ BD，PM＝ CE，∴PM＝PN， ∴△PMN 是等腰三角形， 同（1）的方法得，PM∥CE， ∴∠DPM＝∠DCE， 同（1）的方法得，PN∥BD， ∴∠PNC＝∠DBC， ∵∠DPN＝∠DCB+∠PNC＝∠DCB+∠DBC， ∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCE+∠DCB+∠DBC ＝∠BCE+∠DBC＝∠ACB+∠ACE+∠DBC ＝∠ACB+∠ABD+∠DBC＝∠ACB+∠ABC， ∵∠BAC＝90°， ∴∠ACB+∠ABC＝90°， ∴∠MPN＝90°， ∴△PMN 是等腰直角三角形； （3）方法 1：如图 2，同（2）的方法得，△PMN 是等腰直角三角形， ∴MN 最大时，△PMN 的面积最大， ∴DE∥BC 且 DE 在顶点 A 上面， ∴MN 最大＝AM+AN， 连接 AM，AN， 在△ADE 中，AD＝AE＝4，∠DAE＝90°， ∴AM＝2 ， 在 Rt△ABC 中，AB＝AC＝10，AN＝5 ， ∴MN 最大＝2 +5 ＝7 ， ∴S△PMN 最大＝ PM2＝ × MN2＝ ×（7 ）2＝ ． 方法 2：由（2）知，△PMN 是等腰直角三角形，PM＝PN＝ BD， ∴PM 最大时，△PMN 面积最大， ∴点 D 在 BA 的延长线上， ∴BD＝AB+AD＝14，∴PM＝7， ∴S△PMN 最大＝ PM2＝ ×72＝ ． 【点评】此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和 性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出 PM＝ CE，PN＝ BD，解（2）的关键是判断出△ABD≌△ACE，解（3）的关键是判断出 MN 最大 时，△PMN 的面积最大． 23．【分析】（1）解方程 x2﹣2x＝0 求出 A 点坐标为（2，0），将原抛物线向右平移 2 个单位即可 得到 y＝ （x﹣2）2；再令 x＝0 求出 y 的值即可得到 B 点坐标； （2）设 N 点坐标为（a，0），由 AB 解析式设出 MN 解析式为 y＝ x+b1，由已知 ，可 利用平行关系转化边的比例关系，可得点 C 坐标，因为点 M 是三线的交点，所以可用两条直线 求得交点 M 坐标，代入抛物线解析式，求得参数 a 的值，从而获得点 N，M 坐标，求得△MNO 的面积． （3）设 C（2，m）代入直线 CD 为 y＝kx+b 得到 b＝m﹣2k，再求出 D 坐标；联立直线 CD 和抛 物线解析式消去 y 得到以 E、F 横坐标为根的一元二次方程，x2﹣4（k+1）x+4﹣4m+8k＝0，由根 与系数关系得，x1+x2＝4k+4，x1•x2＝4﹣4m+8k；过 E、F 分别作 EP⊥CA 于 P，FQ⊥CA 于 Q， 得到 AD∥EP，AD∥FQ，从而 ＝ ═（xD﹣2） ，将 x1+x2 ＝4k+4，x1•x2＝4﹣4m+8k 代入即可求出定值． 【解答】解：（1）解方程 x2﹣2x＝0 得 x1＝2，x2＝0． ∴点 A 坐标为（2，0），抛物线解析式为 ． 把 x＝0 代入抛物线解析式得 y＝1． ∴点 B 坐标为（0，1）． （2）如图，过 M 作 MH⊥x 轴，垂足为 H∵AB∥MN ∴△ABO∽△MHN ∴ ＝ ＝ ∴MH＝4，HN＝8 将 y＝4 代入抛物线 可得 x1＝﹣2，x2＝6 ∴M1（﹣2，4），N1（6，0），M2（6，4），N2（14，0） S ＝ ＝12 S ＝ ＝28 （3）设 C（2，m），设直线 CD 为 y＝kx+b 将 C（2，m）代入上式，m＝2k+b，即 b＝m﹣2k． ∴CD 解析式为 y＝kx+m﹣2k， 令 y＝0 得 kx+m﹣2k＝0， ∴点 D 为（ ，0） 联立 ， 消去 y 得，kx+m﹣2k＝ （x﹣2）2． 化简得，x2﹣4（k+1）x+4﹣4m+8k＝0 由根与系数关系得，x1+x2＝4k+4，x1•x2＝4﹣4m+8k．过 E、F 分别作 EP⊥CA 于 P，FQ⊥CA 于 Q， ∴AD∥EP，AD∥FQ， ∴ ＝ ＝ ＝（ ﹣2）× ＝ ＝1 ∴ 为定值，定值为 1． 【点评】本题考查了二次函数，一次函数，平行线分线段成比例，需要转化的思想和方程的思想 ，第（2）问的边比条件也可以直接用于求直线与抛物线的交点，不过会相对麻烦些，也体现了 坐标系中，线段与坐标之间的转化，是一道很好的二次函数压轴问题．