2020年河南省信阳市中考数学模拟试卷解析版

2020 年河南省信阳市中考数学模拟试卷解析版 一．选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分） 1．﹣ 的倒数是（　　） A． B．2 C．﹣ D．﹣2 2．共享单车的投放使用为人们的工作和生活带来了极大的便利，不仅有效缓解了出行“最后一公里 ”问题，而且经济环保，据相关部门2018 年 11 月统计数据显示，郑州市互联网租赁自行车累计 投放超过 49 万辆，将 49 万用科学记数法表示正确的是（　　） A．4.9×104 B．4.9×105 C．0.49×104 D．49×104 3．三个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（　　） A． B． C． D． 4．下列计算中正确的是（　　） A．（a+b）2＝a2+b2 B．a2•a3＝a5 C．a8÷a2＝a2 D．a2+a3＝a5 5．如图，点 A 是函数 y＝ 图象上的一点，已知 B（﹣ ，﹣ ），C（ ， ）．试利用性质 ：“y＝ 图象上的任意一点 P 都满足|PB﹣PC|＝2 ”求解下面问题：作∠BAC 的内角平分线 AE，过 B 作 AE 的垂线交 AE 于 F．当点 A 在函数 y＝ 图象上运动时，点 F 也总在一图形上运 动，该图形为（　　） A．圆 B．双曲线 C．抛物线 D．直线6．某校九年级（1）班全体学生 2015 年初中毕业体育考试的成绩统计如下表： 成绩（分） 35 39 42 44 45 48 50 人数（人） 2 5 6 6 8 7 6 根据上表中的信息判断，下列结论中错误的是（　　） A．该班一共有 40 名同学 B．该班学生这次考试成绩的众数是 45 分 C．该班学生这次考试成绩的中位数是 45 分 D．该班学生这次考试成绩的平均数是 45 分 7．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，菱形 ABCD 的顶点 D 在 x 轴上，边 BC 在 y 轴上，若点 A 的 坐标为（12，13），则点 C 的坐标是（　　） A．（0，﹣5） B．（0，﹣6） C．（0，﹣7） D．（0，﹣8） 8．如图，在△ABC 中，有一点 P 在直线 AC 上移动，若 AB＝AC＝5，BC＝6，则 BP 的最小值为（　　 ） A．4.8 B．5 C．4 D． 9．如图，将半径为 3 的圆形纸片，按下列顺序折叠两次．若折叠后的 和 都经过圆心 O 则图中 阴影部分的面积是（　　） A． B．3π C．9 D．18π10．下列图形是由同样大小的围棋棋子按照一定规律摆成的“山”字，其中第①个“山”字中有 7 颗棋子，第②个“山”字中有 12 颗棋子，第③个“山”字中有 17 颗棋子，…，按照此规律， 第⑥个“山”字中棋子颗数为（　　）颗． A．32 B．37 C．22 D．42 二．填空题（共 5 小题，满分 15 分，每小题 3 分） 11．cos60°+ sin45°+ tan30°＝　 　． 12．若关于 x 的一元二次方程 x2﹣2x﹣k＝0 没有实数根，则 k 的取值范围是　 　． 13．班里有 18 名男生，15 名女生，从中任意抽取 a 人打扫卫生，若女生被抽到是必然事件，则 a 的取值范围是　 　． 14．如图，点 A（﹣2，0），B（0，1），以线段 AB 为边在第二象限作矩形 ABCD，双曲线 y＝ （ k＜0）经过点 D，连接 BD，若四边形 OADB 的面积为 6，则 k 的值是　 　． 15．已知，如图，在矩形 ABCD 中，AB＝8，BC＝12，点 E 为线段 AB 上一动点（不与点 A、点 B 重合），先将矩形 ABCD 沿 CE 折叠，使点 B 落在点 F 处，CF 交 AD 于点 H，若折叠后，点 B 的对应点 F 落在矩形 ABCD 的对称轴上，则 AE 的长是　 　． 三．解答题（共 8 小题，满分 75 分）16．（8 分）先化简，再求代数式 的值，其中 a＝ tan60°+2cos45° 17．（9 分）某中学为了考察九年级学生的中考体育测试成绩（满分 30 分），随机抽查了 40 名学 生成绩（单位：分），得到如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题： （Ⅰ）图中 m 的值为　 　； （Ⅱ）求这 40 个样本数据的平均数、众数和中位数； （Ⅲ）根据样本数据，估计该中学九年级 2000 名学生中，体育测试成绩得满分的大约有多少名 学生． 18．（9 分）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数 y＝ax+1（a≠0）与反比例函数 y＝ （k≠ 0）的图象交于 A、D 两点，AB⊥x 轴于点 B，tan∠AOB＝ ，△AOB 的面积为 3． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求△AOD 的面积； （3）当 x 为何值时，一次函数值不小于反比例函数值． 19．（9 分）如图，四边形 ABCD 是⊙O 内接四边形，连接 AC，AC 平分∠BAD， （1）如图 1，求证：BC＝CD （2）如图 2，若 AD+AB＝ AC，求证：∠BCD＝90°（3）如图 3，连接 BD，把△ABD 沿着 BD 翻折得到△EBD，BE 交 CD 于 F，连接 CE，CE∥BD ，若 BF＝6，AD＝4，求 BC 的长． 20．（9 分）下图是工人在施工时经常用的“人字梯”．按规定，“人字梯”的上部夹角的安全范 围是 35°≤∠AOB≤45°且铰链必需牢固，并应有可靠的拉撑措施在人字梯的一 A，B 处和 C，D 处（AB∥CD）各需系上一根高强度的软钢丝以确保用梯安全．现测得 OA＝OB＝2 米，在 A，B， C，D 处固定用去的钢丝忽略不计，则所需钢丝的长度应该在什么范围内？（结果精确到 0.1 米， 参考据：sin17.5°＝0.30，cos17.5°＝0.95，tan17.5°＝0.32，sin22.5°＝0.38，Cos22.50.92， tan22.5°＝0.41） 21．（10 分）列方程组解应用题： 开学初，某中学八（1）班学生去商场购买了 A 品牌足球 1 个、B 品牌足球 2 个，共花费 210 元， 八（2）班学生购买了 A 品牌足球 3 个、B 品牌足球 1 个，共花费 230 元． （1）求购买一个 A 种品牌、一个 B 种品牌的足球各需多少元？ （2）为响应习总书记“足球进校园”的号召，学校使用专项经费 1500 元全部购买 A、B 两种品 牌的足球供学生使用，那么学校有多少种购买足球的方案？请分别设计出来． 22．（10 分）请完成下面的几何探究过程： （1）观察填空 如图 1，在 R△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，点 D 为斜边 AB 上一动点（不与点 A，B 重合 ），把线段 CD 绕点 C 顺时针旋转 90°得到线段 CE，连 DE，BE，则 ①∠CBE 的度数为　 　； ②当 BE＝　 　时，四边形 CDBE 为正方形（2）探究证明 如图 2，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝2AC＝4，点 D 为斜边 AB 上一动点（不与点 A，B 重 合），把线段 CD 绕点 C 顺时针旋转 90°后并延长为原来的两倍到线段 CE，连 DE，BE，则： ①在点 D 的运动过程中，请判断∠CBE 与∠A 的大小关系，并证明； ②当 CD⊥AB 时，求证：四边形 CDBE 为矩形 （3）拓展延伸 如图 2，在点 D 的运动过程中，若△BCD 恰好为等腰三角形，请直接写出此时 AD 的长． 23．（11 分）如图，已知平面直角坐标系中，地物线 y＝ax2+bx+4 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交 于点 C，点 A 的坐标为（﹣2，0），点 B 的坐标为（8，0） （1）求抛物线的解析式； （2）有一动点 D 从点 C 出发，以每秒 个单位的速度在射线 CB 上运动，过点 D 作 x 轴的垂线 ，交抛物线于点 E，交 x 轴于点 F，连接 CE，OD，设点 D 运动的时间为 t（0＜t＜4）秒． ①若点 D 在线段 CB 上运动，则当　 　为何值时，△OCD 与△CDE 的面积相等？ ②在点 D 的运动过程中，是否存某一时刻，使四边形 DOCE 为平行四边形？若存在，请直接写 出 t 的值；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析 一．选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分） 1．【分析】根据乘积为 1 的两个数互为倒数，直接解答即可． 【解答】解：∵﹣ ×（﹣2）＝1， ∴﹣ 的倒数是﹣2， 故选：D． 【点评】本题主要考查倒数的定义，解决此类题目时，只要找到一个数与这个数的积为 1，那么 此数就是这个数的倒数，特别要注意：正数的倒数也一定是正数，负数的倒数也一定是负数． 2．【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 a×10n，其中 1≤|a|＜10，n 为整数，据此 判断即可． 【解答】解：49 万＝4.9×105． 故选：B． 【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为 a×10n，其中 1≤|a|＜10，确 定 a 与 n 的值是解题的关键． 3．【分析】根据俯视图的定义和空间想象，得出图形即可． 【解答】解：俯视图从左到右分别是 ，1， 个正方形，如图所示： ． 故选：C． 【点评】此题考查了简单组合体的俯视图，关键是对几何体的三种视图的空间想象能力． 4．【分析】分别利用完全平方公式以及同底数幂的乘除法运算法则化简求出即可． 【解答】解：A、（a+b）2＝a2+b2+2ab，故此选项错误； B、a2•a3＝a5，正确； C、a8÷a2＝a6，故此选项错误； D、a2+a3 无法计算，故此选项错误； 故选：B． 【点评】此题主要考查了完全平方公式以及同底数幂的乘除法运算法则等知识，正确掌握运算法 则是解题关键．5．【分析】如图：延长AC 交 BF 的延长线于 G，连接 OF．只要证明 OF 是△BCG 的中位线，可得 OF ＝ CG＝ ，即可解决问题． 【解答】解：如图：延长 AC 交 BF 的延长线于 G，连接 OF． ∵AF⊥BG， ∴∠AFB＝∠AFG＝90°， ∴∠BAF+∠ABF＝90°，∠G+∠GAF＝90°， ∵∠BAF＝∠FAG， ∴∠ABF＝∠G， ∴AB＝AG，∵AF⊥BG， ∴BF＝FG， ∵B（﹣ ，﹣ ），C（ ， ）， ∴OB＝OC， ∴OF＝ CG， ∵|AB﹣AC|＝2 ，AB＝AG， ∴CG＝2 ， ∴OF＝ ， ∴点 F 在以 O 为圆心 为半径的圆上运动． 故选：A． 【点评】本题考查反比例函数综合题、等腰三角形的判定和性质、三角形的中位线定理，圆等知 识，解题的关键是学会添加辅助线，利用三角形的中位线定理解决问题，属于中考选择题中的压 轴题． 6．【分析】结合表格根据众数、平均数、中位数的概念求解． 【解答】解：该班人数为：2+5+6+6+8+7+6＝40， 得 45 分的人数最多，众数为 45，第 20 和 21 名同学的成绩的平均值为中位数，中位数为： ＝45， 平均数为： ＝44.425． 故错误的为 D． 故选：D． 【点评】本题考查了众数、平均数、中位数的知识，掌握各知识点的概念是解答本题的关键． 7．【分析】在 Rt△ODC 中，利用勾股定理求出 OC 即可解决问题； 【解答】解：∵A（12，13）， ∴OD＝12，AD＝13， ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴CD＝AD＝13， 在 Rt△ODC 中，OC＝ ＝ ＝5， ∴C（0，﹣5）． 故选：A． 【点评】本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属 于中考常考题型． 8．【分析】根据点到直线的连线中，垂线段最短，得到当BP 垂直于 AC 时，BP 的长最小，过 A 作 等腰三角形底边上的高 AD，利用三线合一得到 D 为 BC 的中点，在直角三角形 ADC 中，利用勾 股定理求出 AD 的长，进而利用面积法即可求出此时 BP 的长． 【解答】解：根据垂线段最短，得到 BP⊥AC 时，BP 最短， 过 A 作 AD⊥BC，交 BC 于点 D， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴D 为 BC 的中点，又 BC＝6， ∴BD＝CD＝3， 在 Rt△ADC 中，AC＝5，CD＝3， 根据勾股定理得：AD＝ ＝ ＝4， 又∵S△ABC＝ BC•AD＝ BP•AC， ∴BP＝ ＝ ＝4.8． 故选：A．【点评】此题考查了勾股定理，等腰三角形的三线合一性质，三角形的面积求法，以及垂线段最 短；熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 9．【分析】作OD⊥AB 于点 D，连接 AO，BO，CO，求出∠OAD＝30°，得到∠AOB＝2∠AOD＝ 120°，进而求得∠AOC＝120°，再利用阴影部分的面积＝S 扇形 AOC 求解． 【解答】解；如图，作 OD⊥AB 于点 D，连接 AO，BO，CO， ∵OD＝ AO， ∴∠OAD＝30°， ∴∠AOB＝2∠AOD＝120°， 同理∠BOC＝120°， ∴∠AOC＝120°， ∴阴影部分的面积＝S 扇形 AOC＝ ＝3π． 故选：B． 【点评】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键． 10．【分析】设第 n 个“山”字中有 an 个棋子，观察图形，根据图形中“山”字中棋子的变化可得 出“an＝5n+2（n 为正整数）”，再代入n＝6 即可得出结论．（因为只找第⑥个“山”字中棋子 颗数，用列举法直接找出 a6 亦可） 【解答】解：设第 n 个“山”字中有 an 个棋子， 观察图形，可知：a1＝7，a2＝a1+5＝12，a3＝a1+5×2＝17，a4＝a1+5×3＝22，…，（可直接利 用列举法，找出第⑥个“山”字中棋子颗数） ∴an＝a1+5（n﹣1）＝5n+2（n 为正整数）， ∴a6＝5×6+2＝32．故选：A． 【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，根据图形中棋子数量的变化找出变化规律“an＝5n+2 （n 为正整数）”是解题的关键． 二．填空题（共 5 小题，满分 15 分，每小题 3 分） 11．【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而化简得出答案． 【解答】解：原式＝ + × + × ＝2． 故答案为：2． 【点评】此题主要考查了实数运算，正确记忆相关数据是解题关键． 12．【分析】根据关于x 的一元二次方程 x2﹣2x﹣k＝0 没有实数根，得出△＝4+4k＜0，再进行计算 即可． 【解答】解：∵一元二次方程 x2﹣2x﹣k＝0 没有实数根， ∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣k）＝4+4k＜0， ∴k 的取值范围是 k＜﹣1； 故答案为：k＜﹣1． 【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0， 方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 13．【分析】根据必然事件的定义求解可得． 【解答】解：因为班里共有 18 名男生，若要使女生被抽到是必然事件，则抽取的人数不少于 19 人， 又总人数为 33 人， 所以 18＜a＜33， 故答案为：18＜a≤33 的整数． 【点评】本题主要考查随机事件，解题的关键是掌握确定性事件和随机事件的定义． 14．【分析】过 D 作 DM⊥x 轴于 M，根据相似三角形的性质和判定求出 DM＝2AM．设 AM＝x， 则 DM＝2x．根据三角形的面积求出 x，即可求出 DM 和 OM，得出答案即可． 【解答】解：∵点 A（﹣2，0），B（0，1）， ∴OA＝2，OB＝1， 过 D 作 DM⊥x 轴于 M，则∠DMA＝90°． ∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠DAB＝90°， ∴∠DMA＝∠DAB＝∠AOB＝90°， ∴∠DAM+∠BAO＝90°，∠DAM+∠ADM＝90°， ∴∠ADM＝∠BAO， ∴△DMA∽△AOB， ∴ ＝ ＝ ＝2， 即 DM＝2MA， 设 AM＝x，则 DM＝2x， ∵四边形 OADB 的面积为 6， ∴S 梯形 DMOB﹣S△DMA＝6， ∴ （1+2x）（x+2）﹣ •2x•x＝6， 解得：x＝2， 则 AM＝2，OM＝4，DM＝4， 即 D 点的坐标为（﹣4，4）， ∴k＝﹣4×4＝﹣16， 故答案为﹣16． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数 k 的几何意义、三角形的 面积、相似三角形的性质和判定等知识点，能求出 DM＝2AM 是解此题的关键． 15．【分析】依据点 B 的对应点 F 落在矩形 ABCD 的对称轴上，分两种情况讨论：F 在横对称轴上 与 F 在竖对称轴上，分别求出 BF 的长即可． 【解答】解：分两种情况： ①当 F 在横对称轴 MN 上，如图所示， 此时 CN＝ CD＝4，CF＝BC＝12，∴FN＝ ＝8 ， ∴MF＝12﹣8 ， 由折叠得，EF＝BE，EM＝4﹣BE， ∵EM2+MF2＝EF2， 即（4﹣BE）2+（12﹣8 ）2＝BE2， ∴BE＝36﹣24 ， ∴AE＝24 ﹣28； ②当 F 在竖对称轴 MN 上时，如图所示， 此时 AB∥MN∥CD， ∴∠BEC＝∠FOE， ∵∠BEC＝∠FEC， ∴∠FEC＝∠FOE， ∴EF＝OF， 由折叠的性质得，BE＝EF，∠EFC＝∠B＝90°， ∵BN＝CN， ∴OC＝OE， ∴FO＝OE， ∴△EFO 是等边三角形， ∴∠FEC＝60°， ∴∠BEC＝60°， ∴BE＝ BC＝4 ， ∴AE＝8﹣4 ． 综上所述，点 B 的对应 F 落在矩形 ABCD 的对称轴上，此时 AE 的长是 24 ﹣28 或 8﹣4 ． 故答案为：24 ﹣28 或 8﹣4 ．【点评】本题考查了折叠问题，解题时常常设要求的线段长为 x，然后根据折叠和轴对称的性质 用含 x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案 ． 三．解答题（共 8 小题，满分 75 分） 16．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由特殊锐角的三角函数值求得 a 的值，代入计算可得． 【解答】解：原式＝ ÷ ＝ ＝ ， ∵a＝ ， ∴原式＝ ﹣ ． 【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则及特殊 锐角的三角函数值． 17．【分析】（Ⅰ）根据统计图中的数据可以求得 m 的值； （Ⅱ）根据条形统计图中的数据可以计算出平均数，得到众数和中位数； （Ⅲ）根据统计图中的数据可以求得该中学九年级 2000 名学生中，体育测试成绩得满分的大约 有多少名学生． 【解答】解：（Ⅰ）m%＝10÷40×100%＝25%， 故答案为：25； （Ⅱ） ＝28.15， 众数是 28，中位数是 28； （Ⅲ）2000× ＝300（名）， 答：该中学九年级 2000 名学生中，体育测试成绩得满分的大约有 300 名学生． 【点评】本题考查条形统计图、用样本估计总体、加权平均数、中位数、众数，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法，利用数形结合的思想解答． 18．【分析】（1）求出 A 的坐标，代入两函数的解析式，求出即可； （2）求出两函数的解析式组成的方程组，求出方程组的解，即可得出 D 的坐标，求出 C 的坐标， 根据三角形的面积公式求出即可； （3）由图象直接可得． 【解答】解：（1）∵tan∠AOB＝ ＝ ， ∴设 AB＝3a，BO＝2a， ∵△ABO 的面积为 3， ∴ •3a•2a＝3， 解得 a＝1， ∴AB＝3，OB＝2， ∴A 的坐标是（2，3）， 把 A 的坐标代入 y＝ 得：k＝6， ∴反比例函数的解析式是：y＝ ， 把 A 的坐标代入 y＝ax+1 得：3＝2a+1 得：a＝1， ∴一次函数的解析式是：y＝x+1； （2）解方程组 ， 得： ， ， ∵A（2，3）， ∴D（﹣3，﹣2）． 把 y＝0 代入 y＝x+1 得：0＝x+1，解得 x＝﹣1， 设 AD 与 x 轴交于点 C，则 OC＝1， ∴S△AOD＝S△AOD+S△DOC＝ ×1×3+ ×1×2＝ （3）由图象可得：当﹣3≤x＜0 或 x≥2 时，一次函数值不小于反比例函数值． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题的应用，主要考查学生的计算能力，用了 数形结合思想．19．【分析】（1）由圆周角相等推出圆心角相等，再由圆心角相等推出弦相等． （2）将线段 AD 和 AB 转换为共线线段，把△ADC 绕点 C 旋转至使 CD 与 BC 重合，利用勾股定 理的逆定理证明夹角为 90°． （3）延长 CE、AD 交于点 G，根据翻折和平行推出△DEG 为等腰三角形，再根据△CDG∽△ACG ，解出 CG，也能得到线段 DC 和 AC 的比值，再根据△BFD∽△ACD，解出 BD 的长度，设 BD 和 AC 的交点为 H，最后根据△BCH∽△ADH，解出 BC 的长度． 【解答】解：（1）连接 BO、CO、DO， ∵AC 平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠DAC， ∴∠BOC＝∠COD， ∴BC＝CD． （2）如图所示，延长 AB 至点 E，使 BE＝AD，连接 EC， ∵四边形 BACD 为圆的内接四边形， ∴∠ABC+∠ADC＝180°， ∴∠EBC＝∠ADC， ∵BC＝CD， ∴△ACD≌△ECB（SAS）， ∴EC＝AC，∵AD+AB＝ AC， ∴AE＝ AC＝ EC， ∴AC2+EC2＝AE2， ∴∠ECA＝90°， ∴∠BCD＝90°． （3）如图所示，延长 AD、CE 交于点 G， ∵∠ADB＝∠EDB，CE∥BD， ∴∠DEG＝∠BDE，∠G＝∠BDA， ∴∠DEG＝∠G， ∴DE＝DG， ∵AD＝4， ∴DE＝DG＝4， ∴D 为 AG 的中点， ∵ ，即 AH＝HC， ∵∠DCG＝∠BDC，∠BDC＝∠BAC＝∠CAG， ∴∠DCG＝∠CAG， ∵∠G＝∠CGA， ∴△DCG∽△ACG， ∴ ，即 ， 解得 CG＝4 ，HD＝ CG＝2 ， ， ∵∠ACD＝∠ABD，∠ABD＝∠DBE， ∴∠ACD＝∠DBF， ∴△BDF∽△CAD，∴ ，即 ， ∴ ＝ ， ∴BD＝6 ， ∵∠BCA＝∠BDA， ∴∠BCA＝∠G， ∴△BCA∽△CAG， ∴ ，即 ， 设 BC＝ x，则 AC＝2x， 则 AH＝CH＝x， ∵△BCH∽△AHD， ∴ ，即 ， 解得 HD＝2 ，∴BH＝BD﹣DH＝4 ， ∴x＝4， ∴BC＝ x＝4 ． 【点评】此题考查了圆周角和圆心角的转化，圆心角和弦之间的转化，全等三角形的判定及性质 ，勾股定理逆定理的应用，及相似三角形的性质和判定． 20．【分析】人字梯可简化为一个等腰三角形如右图，先作 OE⊥AB 于 E，由等腰三解形三线合一 的性质可知 OE 是∠AOB 的平分线，再根据题意判断出∠AOD 的取值范围，利用锐角三角函数的 定义即可求出钢丝 AB 的取值范围．从而求出所需的钢丝的长度． 【解答】解： 如图作辅助线 OE⊥AB 于， ∵△OAB 中，OA＝OB，且 OE⊥AB， ∴∠AOE＝∠BOE＝ ∠AOB，AE＝EB＝ AB 在 Rt△OAE 中，sin∠AOE＝ ∴AE＝OA•sin∠AOE 由题意知：35°≤∠AOB≤45° 当∠AOE＝17.5°时，AE＝OA•sin∠AOE＝2×sin17.5°＝0.6 米 此时，AB＝1.2 米，所需要的钢丝为 2.4 米当∠AOE＝22.5°时，AE＝OA•sin∠AOE＝2×sin22.5°＝0.76 米 此时，AB＝1.52 米，所需要的钢丝为 3.1 米 故所需钢丝的长度应该在 2.4 米到 3.1 米之间 【点评】此题主要考查利用锐角三角函数解直角三角形．利用锐角三角函数时要分清所求的锐角 在直角三角形中的对边、斜边及邻边的位置． 21．【分析】（1）设 A 种品牌足球的单价为 x 元，B 种品牌足球的单价为 y 元，根据“购买了 A 品 牌足球 1 个、B 品牌足球 2 个，共花费 210 元，购买了 A 品牌足球 3 个、B 品牌足球 1 个，共花 费 230 元”可得出关于 x、y 的二元一次方程组，解方程组即可得出结论； （2）设第二次购买 A 种足球 a 个，则购买 B 种足球 b 个，根据“使用专项经费 1500 元全部购买 A、B 两种品牌的足球供学生使用”可得出关于 a，b 的二元一次方程，由此即可得出结论． 【解答】解：（1）设 A 品牌需要要 x 元，B 品牌 y 元， ， 解得 ， 答：购买一个 A 种品牌、一个 B 种品牌的足球各需 50 元，80 元； （2）设购买 A 种产品 a 个，B 种 b 个 50a+80b＝1500，其中 a≥0，b≥0 ①b＝0，a＝30 ②b＝5，a＝22 ③b＝10，a＝14 ④b＝15，a＝6 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1） 根据数量关系找出关于 x、y 的二元一次方程组；（2）根据数量关系找出关于 a，b 的二元一次方 程． 22．【分析】（1）①由等腰直角三角形的性质得出∠A＝∠ABC＝45°，由旋转的性质得：∠ACD＝∠BCE，CD＝CE，证明△BCE≌△ACD，即可得出结果； ②由①得∠CBE＝45°，求出∠DBE＝∠ABC+∠CBE＝90°，作 EM⊥BC 于 M，则△BEM 是等 腰直角三角形，证出△CME 是等腰直角三角形，求出∠BEC＝90°，证出四边形 CDBE 是矩形， 再由垂直平分线的性质得出 BE＝CE，即可得出结论； （2）①证明△BCE∽△ACD，即可得出∠CBE＝∠A； ②由垂直的定义得出∠ADC＝∠BDC＝90°，由相似三角形的性质得出∠BEC＝∠ADC＝90°， 即可得出结论； （3）存在两种情况：①当 CD＝BD 时，证出 CD＝BD＝AD，由勾股定理求出 AB，即可得出结 果； ②当 BD＝BC＝4 时，得出 AD＝AB＝BD＝2 ﹣4 即可． 【解答】解：（1）①∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠A＝∠ABC＝45°， 由旋转的性质得：∠ACD＝∠BCE，CD＝CE， 在△BCE 和△ACD 中， ， ∴△BCE≌△ACD（SAS）， ∴∠CBE＝∠A＝45°； 故答案为：45°； ②当 BE＝2 时，四边形 CDBE 是正方形；理由如下： 由①得：∠CBE＝45°， ∴∠DBE＝∠ABC+∠CBE＝90°， 作 EM⊥BC 于 M，如图所示： 则△BEM 是等腰直角三角形， ∵BE＝2 ， ∴BM＝EM＝2， ∴CM＝BC﹣BM＝2， ∴BM＝CM＝EM， ∴△CME 是等腰直角三角形， ∴∠CEM＝45°， ∴∠BEC＝45°+45°＝90°，又∵∠ACB＝90°， ∴四边形 CDBE 是矩形， 又∵EM 垂直平分 BC， ∴BE＝CE， ∴四边形 CDBE 是正方形； 故答案为：2 ； （2）①∠CBE＝∠A，理由如下： 由旋转的性质得：∠BCE＝∠ACD， ∵BC＝2AC，CE＝2CD， ∴ ＝ ＝2， ∴△BCE∽△ACD， ∴∠CBE＝∠A； ②∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝∠BDC＝90°， 由①得：△BCE∽△ACD， ∴∠BEC＝∠ADC＝90°， 又∵∠DCE＝90°， ∴四边形 CDBE 是矩形； （3）在点 D 的运动过程中，若△BCD 恰好为等腰三角形，存在两种情况： ①当 CD＝BD 时，则∠DCB＝∠DBC， ∵∠DBC+∠A＝90°，∠ACD+∠DCB＝90°， ∴∠A＝∠ACD， ∴CD＝AD， ∴CD＝BD＝AD， ∴AD＝ AB， ∵AB＝ ＝ ＝2 ， ∴AD＝ ； ②当 BD＝BC＝4 时，AD＝AB＝BD＝2 ﹣4； 综上所述：若△BCD 恰好为等腰三角形，此时 AD 的长为 或 2 ﹣4．【点评】本题是四边形综合题目，考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角 形的判定与性质、矩形的判定、正方形的判定、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及分类讨 论等知识；本题综合性强，熟练掌握旋转的性质，证明三角形相似是解决问题的关键，注意分类 讨论． 23．【分析】（1）代入点 A、B 坐标可求出抛物线解析式． （2）①△OCD 与△CDE 的面积相等，可推出 OC＝ED，点坐标转换为线段长度，可求出 t 的值 ． ②四边形 DOCE 为平行四边形，可推出 OC＝ED，点坐标转换为线段长度，可求出 t 的值． 【解答】解：（1）∵A（﹣2，0），B（8，0）， 则有 解得 ∴抛物线的解析式为 y＝﹣ x2+ x+4． （2）①当△OCD 与△CDE 的面积相等时， ∵CO∥ED， ∴点 C 到 ED 的距离等于点 D 到 CO 的距离， ∴OC＝ED， 令 x＝0，y＝4， ∴OC＝4，C（0，4）， 设直线 BC 的解析式为 y＝kx+b， 则有 解得∴直线 BC 的解析式为 y＝﹣ x+4，∵CD＝ t， ∴D（2t，4﹣t）， ∴E（2t，﹣t2+3t+4）， ∴DE＝|﹣t2+4t|， ∵0＜t＜4， ∴4＝﹣t2+4t， 解得 t＝2， 故答案为：2． ②存在． ∵四边形 DOCE 为平行四边形， ∴DE＝OC， ∵DE＝﹣t2+4t，OC＝4， ∴4＝﹣t2+4t， 解得 t＝2， ∴当 t 的值为 2 时，四边形 DOCE 为平行四边形． 【点评】此题考查了待定系数法求函数解析式，点坐标转化为线段长度，平行四边形与二次函数 结合的问题．关键在于把面积相等和平行四边形转换为 DE 和 OC 相等．