2019年四川省巴中市中考数学试卷

第 1 页（共 24 页） 2019 年四川省巴中市中考数学试卷 一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一个选项是正确的，请使用 2B 铅笔将答題卡上对应题号的答案标号涂黑。） 1．（4 分）（2019•巴中）下列四个算式中，正确的是（　　） A．a+a＝2a B．a5÷a4＝2a C．（a5）4＝a9 D．a5﹣a4＝a 2．（4 分）（2019•巴中）在平面直角坐标系中，已知点 A（﹣4，3）与点 B 关于原点对称 ，则点 B 的坐标为（　　） A．（﹣4，﹣3） B．（4，3） C．（4，﹣3） D．（﹣4，3） 3．（4 分）（2019•巴中）企业家陈某，在家乡投资 9300 万元，建立产业园区 2 万余亩． 将 9300 万元用科学记数法表示为（　　） A．93×108 元 B．9.3×108 元 C．9.3×107 元 D．0.93×108 元 4．（4 分）（2019•巴中）如图是由一些小立方体与圆锥组合成的立体图形，它的主视图是 （　　） A． B． C． D． 5．（4 分）（2019•巴中）已知关于 x、y 的二元一次方程组 的解是 ，则 a+b 的值是（　　） A．1 B．2 C．﹣1 D．0 6．（4 分）（2019•巴中）下列命题是真命题的是（　　） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的矩形是正方形 D．四边相等的平行四边形是正方形第 2 页（共 24 页） 7．（4 分）（2019•巴中）如图所示，是巴中某校对学生到校方式的情况统计图．若该校骑 自行车到校的学生有 200 人，则步行到校的学生有（　　） A．120 人 B．160 人 C．125 人 D．180 人 8．（4 分）（2019•巴中）如图▱ABCD，F 为 BC 中点，延长 AD 至 E，使 DE：AD＝1：3， 连结 EF 交 DC 于点 G，则 S△DEG：S△CFG＝（　　） A．2：3 B．3：2 C．9：4 D．4：9 9．（4 分）（2019•巴中）如图，圆锥的底面半径 r＝6，高 h＝8，则圆锥的侧面积是（　　） A．15π B．30π C．45π D．60π 10．（4 分）（2019•巴中）二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论①b2 ＞4ac，②abc＜0，③2a+b﹣c＞0，④a+b+c＜0．其中正确的是（　　） A．①④ B．②④ C．②③ D．①②③④ 二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分，将正确答案直接写在答题卡相应 的位置上。）第 3 页（共 24 页） 11．（4 分）（2019•巴中）函数 y＝ 的自变量 x 的取值范围　 　． 12．（4 分）（2019•巴中）如果一组数据为 4、a、5、3、8，其平均数为 a，那么这组数据 的方差为　 　． 13．（4 分）（2019•巴中）如图，反比例函数 y＝ （x＞0）经过 A、B 两点，过点 A 作 AC ⊥y 轴于点 C，过点 B 作 BD⊥y 轴于点 D，过点 B 作 BE⊥x 轴于点 E，连结 AD，已知 AC ＝1、BE＝1、S 矩形 BDOE＝4．则 S△ACD＝　 　． 14．（4 分）（2019•巴中）若关于 x 的分式方程 + ＝2m 有增根，则 m 的值为　 　． 15．（4 分）（2019•巴中）如图，等边三角形 ABC 内有一点 P，分別连结 AP、BP、CP， 若 AP＝6，BP＝8，CP＝10．则 S△ABP+S△BPC＝　 　． 三、解答题（本大题共 11 个小题，共 90 分。请把解答过程写在答题卡相应的位置上） 16．（5 分）（2019•巴中）计算（﹣ ）2+（3﹣π）0+| ﹣2|+2sin60°﹣ ． 17．（5 分）（2019•巴中）已知实数 x、y 满足 +y 2﹣4y+4＝0，求代数式 • ÷ 的值． 18．（8 分）（2019•巴中）如图，等腰直角三角板如图放置．直角顶点 C 在直线 m 上，分 别过点 A、B 作 AE⊥直线 m 于点 E，BD⊥直线 m 于点 D． ①求证：EC＝BD； ②若设△AEC 三边分别为 a、b、c，利用此图证明勾股定理．第 4 页（共 24 页） 19．（8 分）（2019•巴中）△ABC 在边长为 l 的正方形网格中如图所示． ①以点 C 为位似中心，作出△ABC 的位似图形△A1B1C，使其位似比为 1：2．且△A1B1C 位于点 C 的异侧，并表示出 A1 的坐标． ②作出△ABC 绕点 C 顺时针旋转 90°后的图形△A2B2C． ③在②的条件下求出点 B 经过的路径长． 20．（8 分）（2019•巴中）在“扶贫攻坚”活动中，某单位计划选购甲、乙两种物品慰问 贫困户．已知甲物品的单价比乙物品的单价高 10 元，若用 500 元单独购买甲物品与 450 元单独购买乙物品的数量相同． ①请问甲、乙两种物品的单价各为多少？ ②如果该单位计划购买甲、乙两种物品共 55 件，总费用不少于 5000 元且不超过 5050 元 ，通过计算得出共有几种选购方案？ 21．（10 分）（2019•巴中）如图表示的是某班部分同学衣服上口袋的数目．第 5 页（共 24 页） ①从图中给出的信息得到学生衣服上口袋数目的中位数为　 　，众数为　 　． ②根据如图信息，在给出的图表中绘制频数条形统计图，由此估计该班学生衣服上口袋 数目为 5≤x＜7 的概率． 22．（8 分）（2019•巴中）已知关于 x 的一元二次方程 x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0 有两不相 等的实数根． ①求 m 的取值范围． ②设 x1，x2 是方程的两根且 x12+x22+x1x2﹣17＝0，求 m 的值． 23．（8 分）（2019•巴中）某区域平面示意图如图所示，点 D 在河的右侧，红军路 AB 与 某桥 BC 互相垂直．某校“数学兴趣小组”在“研学旅行”活动中，在 C 处测得点 D 位 于西北方向，又在 A 处测得点 D 位于南偏东 65°方向，另测得 BC＝414m，AB＝300m， 求出点 D 到 AB 的距离． （参考数据 sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14） 24．（8 分）（2019•巴中）如图，一次函数 y1＝k1x+b（k1、b 为常数，k1≠0）的图象与反 比例函数 y2＝ （k2≠0，x＞0）的图象交于点 A（m，8）与点 B（4，2）． ①求一次函数与反比例函数的解析式． ②根据图象说明，当 x 为何值时，k1x+b﹣ ＜0．第 6 页（共 24 页） 25．（10 分）（2019•巴中）如图，在菱形 ABCD 中，连结 BD、AC 交于点 O，过点 O 作 OH ⊥BC 于点 H，以点 O 为圆心，OH 为半径的半圆交 AC 于点 M． ①求证：DC 是⊙O 的切线． ②若 AC＝4MC 且 AC＝8，求图中阴影部分的面积． ③在②的条件下，P 是线段 BD 上的一动点，当 PD 为何值时，PH+PM 的值最小，并求 出最小值． 26．（12 分）（2019•巴中）如图，抛物线 y＝ax2+bx﹣5（a≠0）经过 x 轴上的点 A（1，0 ）和点 B 及 y 轴上的点 C，经过 B、C 两点的直线为 y＝x+n． ①求抛物线的解析式． ②点 P 从 A 出发，在线段 AB 上以每秒 1 个单位的速度向 B 运动，同时点 E 从 B 出发， 在线段 BC 上以每秒 2 个单位的速度向 C 运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停 止运动．设运动时间为 t 秒，求 t 为何值时，△PBE 的面积最大并求出最大值． ③过点 A 作 AM⊥BC 于点 M，过抛物线上一动点 N（不与点 B、C 重合）作直线 AM 的 平行线交直线 BC 于点 Q．若点 A、M、N、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点 N 的 横坐标．第 7 页（共 24 页）第 8 页（共 24 页） 2019 年四川省巴中市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一个选项是正确的，请使用 2B 铅笔将答題卡上对应题号的答案标号涂黑。） 1．（4 分）（2019•巴中）下列四个算式中，正确的是（　　） A．a+a＝2a B．a5÷a4＝2a C．（a5）4＝a9 D．a5﹣a4＝a 【解答】解：A、a+a＝2a，故本选项正确； B、a5÷a4＝a，故本选项错误； C、（a5）4＝a20，故本选项错误； D、a5﹣a4，不能合并，故本选项错误． 故选：A． 2．（4 分）（2019•巴中）在平面直角坐标系中，已知点 A（﹣4，3）与点 B 关于原点对称 ，则点 B 的坐标为（　　） A．（﹣4，﹣3） B．（4，3） C．（4，﹣3） D．（﹣4，3） 【解答】解：∵点 A（﹣4，3），点 A 与点 B 关于原点对称， ∴点 B（4，﹣3）． 故选：C． 3．（4 分）（2019•巴中）企业家陈某，在家乡投资 9300 万元，建立产业园区 2 万余亩． 将 9300 万元用科学记数法表示为（　　） A．93×108 元 B．9.3×108 元 C．9.3×107 元 D．0.93×108 元 【解答】解：将 9300 万元用科学记数法表示为：9.3×107 元． 故选：C． 4．（4 分）（2019•巴中）如图是由一些小立方体与圆锥组合成的立体图形，它的主视图是 （　　）第 9 页（共 24 页） A． B． C． D． 【解答】解：如图所示，它的主视图是： ． 故选：C． 5．（4 分）（2019•巴中）已知关于 x、y 的二元一次方程组 的解是 ，则 a+b 的值是（　　） A．1 B．2 C．﹣1 D．0 【解答】解：将 代入 得： ， ∴a+b＝2； 故选：B． 6．（4 分）（2019•巴中）下列命题是真命题的是（　　） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的矩形是正方形 D．四边相等的平行四边形是正方形 【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，所以 A 选项错误； B、对角线相等的平行四边形是矩形，所以 B 选项错误； C、对角线互相垂直的矩形是正方形，所以 C 选项正确； D、四边相等的菱形是正方形，所以 D 选项错误． 故选：C． 7．（4 分）（2019•巴中）如图所示，是巴中某校对学生到校方式的情况统计图．若该校骑 自行车到校的学生有 200 人，则步行到校的学生有（　　）第 10 页（共 24 页） A．120 人 B．160 人 C．125 人 D．180 人 【解答】解：学生总数：200÷25%＝800（人）， 步行到校的学生：800×20%＝160（人）， 故选：B． 8．（4 分）（2019•巴中）如图▱ABCD，F 为 BC 中点，延长 AD 至 E，使 DE：AD＝1：3， 连结 EF 交 DC 于点 G，则 S△DEG：S△CFG＝（　　） A．2：3 B．3：2 C．9：4 D．4：9 【解答】解：设 DE＝x， ∵DE：AD＝1：3， ∴AD＝3x， ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC，BC＝AD＝3x， ∵点 F 是 BC 的中点， ∴CF＝ BC＝ x， ∵AD∥BC， ∴△DEG∽△CFG， ∴ ＝（ ）2＝（ ）2＝ ， 故选：D． 9．（4 分）（2019•巴中）如图，圆锥的底面半径 r＝6，高 h＝8，则圆锥的侧面积是（　　）第 11 页（共 24 页） A．15π B．30π C．45π D．60π 【解答】解：圆锥的母线 l＝ ＝ ＝10， ∴圆锥的侧面积＝π•10•6＝60π， 故选：D． 10．（4 分）（2019•巴中）二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论①b2 ＞4ac，②abc＜0，③2a+b﹣c＞0，④a+b+c＜0．其中正确的是（　　） A．①④ B．②④ C．②③ D．①②③④ 【解答】解：①∵抛物线与 x 轴由两个交点， ∴b2﹣4ac＞0， 即 b2＞4ac， 所以①正确； ②由二次函数图象可知， a＜0，b＜0，c＞0， ∴abc＞0， 故②错误； ③∵对称轴：直线 x＝﹣ ＝﹣1， ∴b＝2a， ∴2a+b﹣c＝4a﹣c， ∵a＜0，4a＜0， c＞0，﹣c＜0，第 12 页（共 24 页） ∴2a+b﹣c＝4a﹣c＜0， 故③错误； ④∵对称轴为直线 x＝﹣1，抛物线与 x 轴一个交点﹣3＜x1＜﹣2， ∴抛物线与 x 轴另一个交点 0＜x2＜1， 当 x＝1 时，y＝a+b+c＜0， 故④正确． 故选：A． 二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分，将正确答案直接写在答题卡相应 的位置上。） 11．（4 分）（2019•巴中）函数 y＝ 的自变量 x 的取值范围　x≥1，且 x≠3　． 【解答】解：根据题意得： 解得 x≥1，且 x≠3， 即：自变量 x 取值范围是 x≥1，且 x≠3． 12．（4 分）（2019•巴中）如果一组数据为 4、a、5、3、8，其平均数为 a，那么这组数据 的方差为　 　． 【解答】解：根据题意，得： ＝a， 解得：a＝5， 则这组数据为 4、5、5、3、8，其平均数是 5， 所以这组数据的方差为 ×[（4﹣5）2+（5﹣5）2+（5﹣5）2+（3﹣5）2+（8﹣5）2]＝ ， 故答案为： ． 13．（4 分）（2019•巴中）如图，反比例函数 y＝ （x＞0）经过 A、B 两点，过点 A 作 AC ⊥y 轴于点 C，过点 B 作 BD⊥y 轴于点 D，过点 B 作 BE⊥x 轴于点 E，连结 AD，已知 AC ＝1、BE＝1、S 矩形 BDOE＝4．则 S△ACD＝　 　．第 13 页（共 24 页） 【解答】解：过点 A 作 AH⊥x 轴于点 H，交 BD 于点 F，则四边形 ACOH 和四边形 ACDF 均为矩形，如图： ∵S 矩形 BDOE＝4，反比例函数 y＝ （x＞0）经过 B 点 ∴k＝4 ∴S 矩形 ACOH＝4， ∵AC＝1 ∴OC＝4÷1＝4 ∴CD＝OC﹣OD＝OC﹣BE＝4﹣1＝3 ∴S 矩形 ACDF＝1×3＝3 ∴S△ACD＝ 故答案为： ． 14．（4 分）（2019•巴中）若关于 x 的分式方程 + ＝2m 有增根，则 m 的值为　1　． 【解答】解：方程两边都乘 x﹣2，得 x﹣2m＝2m（x﹣2） ∵原方程有增根， ∴最简公分母 x﹣2＝0， 解得 x＝2， 当 x＝2 时，m＝1 故 m 的值是 1， 故答案为 1 15．（4 分）（2019•巴中）如图，等边三角形 ABC 内有一点 P，分別连结 AP、BP、CP，第 14 页（共 24 页） 若 AP＝6，BP＝8，CP＝10．则 S△ABP+S△BPC＝　24+16 　． 【解答】解：如图，将△BPC 绕点 B 逆时针旋转 60°后得△AP'B，连接 PP′， 根据旋转的性质可知， 旋转角∠PBP′＝∠CAB＝60°，BP＝BP′， ∴△BPP′为等边三角形， ∴BP′＝BP＝8＝PP'； 由旋转的性质可知，AP′＝PC＝10， 在△BPP′中，PP′＝8，AP＝6， 由勾股定理的逆定理得，△APP′是直角三角形， ∴S△ABP+S△BPC＝S 四边形 AP'BP＝S△BP'B+S△AP'P＝ BP2+ ×PP'×AP＝24+16 故答案为：24+16 三、解答题（本大题共 11 个小题，共 90 分。请把解答过程写在答题卡相应的位置上） 16．（5 分）（2019•巴中）计算（﹣ ）2+（3﹣π）0+| ﹣2|+2sin60°﹣ ． 【解答】解：原式＝ ． 17．（5 分）（2019•巴中）已知实数 x、y 满足 +y 2﹣4y+4＝0，求代数式 • ÷ 的值． 【解答】解： • ÷ ＝ • •第 15 页（共 24 页） ＝ ， ∵ +y2﹣4y+4＝0， ∴ +（y﹣2）2＝0， ∴x＝3，y＝2， ∴原式＝ ＝ ． 18．（8 分）（2019•巴中）如图，等腰直角三角板如图放置．直角顶点 C 在直线 m 上，分 别过点 A、B 作 AE⊥直线 m 于点 E，BD⊥直线 m 于点 D． ①求证：EC＝BD； ②若设△AEC 三边分别为 a、b、c，利用此图证明勾股定理． 【解答】①证明：∵∠ACB＝90°， ∴∠ACE+∠BCD＝90°． ∵∠ACE+∠CAE＝90°， ∴∠CAE＝∠BCD． 在△AEC 与△BCD 中， ∴△CAE≌△BCD（AAS）． ∴EC＝BD； ②解：由①知：BD＝CE＝a CD＝AE＝b ∴S 梯形 AEDB＝ （a+b）（a+b） ＝ a2+ab+ b2． 又∵S 梯形 AEDB＝S△AEC+S△BCD+S△ABC第 16 页（共 24 页） ＝ ab+ ab+ c2 ＝ab+ c2． ∴ a2+ab+ b2＝ab+ c2． 整理，得 a2+b2＝c2． 19．（8 分）（2019•巴中）△ABC 在边长为 l 的正方形网格中如图所示． ①以点 C 为位似中心，作出△ABC 的位似图形△A1B1C，使其位似比为 1：2．且△A1B1C 位于点 C 的异侧，并表示出 A1 的坐标． ②作出△ABC 绕点 C 顺时针旋转 90°后的图形△A2B2C． ③在②的条件下求出点 B 经过的路径长． 【解答】解：①如图，△A1B1C 为所作，点 A1 的坐标为（3，﹣3）； ②如图，△A2B2C 为所作； ③CB＝ ＝ ， 点 B 经过的路径长＝ ＝ π． 20．（8 分）（2019•巴中）在“扶贫攻坚”活动中，某单位计划选购甲、乙两种物品慰问 贫困户．已知甲物品的单价比乙物品的单价高 10 元，若用 500 元单独购买甲物品与 450 元单独购买乙物品的数量相同． ①请问甲、乙两种物品的单价各为多少？第 17 页（共 24 页） ②如果该单位计划购买甲、乙两种物品共 55 件，总费用不少于 5000 元且不超过 5050 元 ，通过计算得出共有几种选购方案？ 【解答】解：①设乙种物品单价为 x 元，则甲种物品单价为（x+10）元，由题意得： ＝ 解得 x＝90 经检验，x＝90 符合题意 ∴甲种物品的单价为 100 元，乙种物品的单价为 90 元． ②设购买甲种物品 y 件，则乙种物品购进（55﹣y）件 由题意得：5000≤100y+90（55﹣y）≤5050 解得 5≤y≤10 ∴共有 6 种选购方案． 21．（10 分）（2019•巴中）如图表示的是某班部分同学衣服上口袋的数目． ①从图中给出的信息得到学生衣服上口袋数目的中位数为　4　，众数为　4　． ②根据如图信息，在给出的图表中绘制频数条形统计图，由此估计该班学生衣服上口袋 数目为 5≤x＜7 的概率．第 18 页（共 24 页） 【解答】解：①由图可知，学生衣服上口袋的数目分别为： 3，4，2，6，5，5，3，1，4，2，4，6，10，7，1，4，5，6，2，10，3． 按从小到大的顺序排列为： 1，1，2，2，2， 3，3，3，4，4， 4，4，5，5，5， 6，6，6，7，10，10． 故中位数为 4，众数为 4， 故答案为 4，4． （2）条形图如图所示： 估计该班学生衣服上口袋数目为 5≤x＜7 的概率＝ ＝ ． 22．（8 分）（2019•巴中）已知关于 x 的一元二次方程 x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0 有两不相 等的实数根． ①求 m 的取值范围． ②设 x1，x2 是方程的两根且 x12+x22+x1x2﹣17＝0，求 m 的值． 【解答】解：①根据题意得： △＝（2m+1）2﹣4（m2﹣1）＞0， 解得：m ， ②根据题意得： x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2﹣1， x12+x22+x1x2﹣17第 19 页（共 24 页） ＝ ﹣x1x2﹣17 ＝（2m+1）2﹣（m2﹣1）﹣17 ＝0， 解得：m1＝ ，m2＝﹣3（不合题意，舍去）， ∴m 的值为 ． 23．（8 分）（2019•巴中）某区域平面示意图如图所示，点 D 在河的右侧，红军路 AB 与 某桥 BC 互相垂直．某校“数学兴趣小组”在“研学旅行”活动中，在 C 处测得点 D 位 于西北方向，又在 A 处测得点 D 位于南偏东 65°方向，另测得 BC＝414m，AB＝300m， 求出点 D 到 AB 的距离． （参考数据 sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14） 【解答】解：如图，过点 D 作 DE⊥AB 于 E，过 D 作 DF⊥BC 于 F，则四边形 EBFD 是 矩形， 设 DE＝x， 在 Rt△ADE 中，∠AED＝90°， ∵tan∠DAE＝ ， ∴AE＝ ＝ ， ∴BE＝300﹣ ， 又 BF＝DE＝x， ∴CF＝414﹣x， 在 Rt△CDF 中，∠DFC＝90°，∠DCF＝45°，第 20 页（共 24 页） ∴DF＝CF＝414﹣x， 又 BE＝CF， 即：300﹣ ＝414﹣x， 解得：x＝214， 故：点 D 到 AB 的距离是 214m． 24．（8 分）（2019•巴中）如图，一次函数 y1＝k1x+b（k1、b 为常数，k1≠0）的图象与反 比例函数 y2＝ （k2≠0，x＞0）的图象交于点 A（m，8）与点 B（4，2）． ①求一次函数与反比例函数的解析式． ②根据图象说明，当 x 为何值时，k1x+b﹣ ＜0． 【解答】解：①把点 B（4，2）代入反比例函数 y2＝ （k2≠0，x＞0）得，k2＝4×2＝ 8， ∴反比例函数的解析式为 y2＝ ， 将点 A（m，8）代入 y2 得，8＝ ，解得 m＝1， ∴A（1，8）， 将 A、B 的坐标代入 y1＝k1x+b（k1、b 为常数，k1≠0）得 ， 解得 ， ∴一次函数的解析式为 y1＝﹣2x+10； ②由图象可知：当 0＜x＜1 或 x＞4 时，y1＜y2，即 k1x+b﹣ ＜0． 25．（10 分）（2019•巴中）如图，在菱形 ABCD 中，连结 BD、AC 交于点 O，过点 O 作 OH ⊥BC 于点 H，以点 O 为圆心，OH 为半径的半圆交 AC 于点 M．第 21 页（共 24 页） ①求证：DC 是⊙O 的切线． ②若 AC＝4MC 且 AC＝8，求图中阴影部分的面积． ③在②的条件下，P 是线段 BD 上的一动点，当 PD 为何值时，PH+PM 的值最小，并求 出最小值． 【解答】解：①过点 O 作 OG⊥CD，垂足为 G， 在菱形 ABCD 中，AC 是对角线，则 AC 平分∠BCD， ∵OH⊥BC，OG⊥CD， ∴OH＝OG， ∴OH、OG 都为圆的半径，即 DC 是⊙O 的切线； ②∵AC＝4MC 且 AC＝8， ∴OC＝2MC＝4， MC＝OM＝2， ∴OH＝2， 在直角三角形 OHC 中，HO＝ CO， ∴∠OCH＝30°，∠COH＝60°， ∴HC＝ ，OB＝ S 阴影＝S△OCB﹣S 扇形 OHM＝ CO•OB﹣ OH2＝ ﹣ ； ③作 M 关于 BD 的对称点 N，连接 HN 交 BD 于点 P， ∵PM＝NP，第 22 页（共 24 页） ∴PH+PM＝PH+PN＝HN，此时 PH+PM 最小， ∵ON＝OM＝OH， ∠MOH＝60°， ∴∠MNH＝30°， ∴∠MNH＝∠HCM， ∴HN＝HC＝2 ， 即：PH+PM 的最小值为 2 ， 在 Rt△NPO 中， OP＝ONtan30°＝ ， 在 Rt△COD 中， OD＝OCtan30°＝ ， 则 PD＝OP+OD＝2 ． 26．（12 分）（2019•巴中）如图，抛物线 y＝ax2+bx﹣5（a≠0）经过 x 轴上的点 A（1，0 ）和点 B 及 y 轴上的点 C，经过 B、C 两点的直线为 y＝x+n． ①求抛物线的解析式． ②点 P 从 A 出发，在线段 AB 上以每秒 1 个单位的速度向 B 运动，同时点 E 从 B 出发， 在线段 BC 上以每秒 2 个单位的速度向 C 运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停 止运动．设运动时间为 t 秒，求 t 为何值时，△PBE 的面积最大并求出最大值． ③过点 A 作 AM⊥BC 于点 M，过抛物线上一动点 N（不与点 B、C 重合）作直线 AM 的 平行线交直线 BC 于点 Q．若点 A、M、N、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点 N 的 横坐标． 【解答】解：①∵点 B、C 在直线为 y＝x+n 上，第 23 页（共 24 页） ∴B（﹣n，0）、C（0，n）， ∵点 A（1，0）在抛物线上， ∴ ， ∴a＝﹣1，b＝6， ∴抛物线解析式：y＝﹣x2+6x﹣5； ②由题意，得， PB＝4﹣t，BE＝2t， 由①知，∠OBC＝45°， ∴点 P 到 BC 的高 h 为 BPsin45°＝ （4﹣t）， ∴S△PBE＝ BE•h＝ ＝ ， 当 t＝2 时，△PBE 的面积最大，最大值为 2 ； ③由①知，BC 所在直线为：y＝x﹣5， ∴点 A 到直线 BC 的距离 d＝2 ， 过点 N 作 x 轴的垂线交直线 BC 于点 P，交 x 轴于点 H． 设 N（m，﹣m2+6m﹣5），则 H（m，0）、P（m，m﹣5）， 易证△PQN 为等腰直角三角形，即 NQ＝PQ＝2 ， ∴PN＝4， Ⅰ．NH+HP＝4， ∴﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）＝4 解得 m1＝1，m2＝4， ∵点 A、M、N、Q 为顶点的四边形是平行四边形， ∴m＝4； Ⅱ．NH+HP＝4， ∴m﹣5﹣（﹣m2+6m﹣5）＝4 解得 m1＝ ，m2＝ ， ∵点 A、M、N、Q 为顶点的四边形是平行四边形， m＞5，第 24 页（共 24 页） ∴m＝ ， Ⅲ．NH﹣HP＝4， ∴﹣（﹣m2+6m﹣5）﹣[﹣（m﹣5）]＝4， 解得 m1＝ ，m2＝ ， ∵点 A、M、N、Q 为顶点的四边形是平行四边形， m＜0， ∴m＝ ， 综上所述，若点 A、M、N、Q 为顶点的四边形是平行四边形，点 N 的横坐标为：4 或 或 ． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/7/29 8:36:54；用户：数学 01；邮箱：lb01@xyh.com；学号：21821723