2019年山西省中考数学试卷

第 1 页（共 26 页） 2019 年山西省中考数学试卷 一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分，在每个小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑 1．（3 分）（2019•山西）﹣3 的绝对值是（　　） A．﹣3 B．3 C． D． 2．（3 分）（2019•山西）下列运算正确的是（　　） A．2a+3a＝5a2 B．（a+2b）2＝a2+4b2 C．a2•a3＝a6 D．（﹣ab2）3＝﹣a3b6 3．（3 分）（2019•山西）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那 么在原正方体中，与“点”字所在面相对面上的汉字是（　　） A．青 B．春 C．梦 D．想 4．（3 分）（2019•山西）下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 5．（3 分）（2019•山西）如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝30°，直线 a∥b，顶点 C 在直线 b 上，直线 a 交 AB 于点 D，交 AC 与点 E，若∠1＝145°，则∠2 的度数是（　　） A．30° B．35° C．40° D．45° 6．（3 分）（2019•山西）不等式组 的解集是（　　） A．x＞4 B．x＞﹣1 C．﹣1＜x＜4 D．x＜﹣1 7．（3 分）（2019•山西）五台山景区空气清爽，景色宜人．“五一”小长假期间购票进山第 2 页（共 26 页） 游客 12 万人次，再创历史新高．五台山景区门票价格旺季 168 元/人．以此计算，“五 一”小长假期间五台山景区进山门票总收入用科学记数法表示（　　） A．2.016×108 元 B．0.2016×107 元 C．2.016×107 元 D．2016×104 元 8．（3 分）（2019•山西）一元二次方程 x2﹣4x﹣1＝0 配方后可化为（　　） A．（x+2）2＝3 B．（ x+2）2＝5 C．（x﹣2）2＝3 D．（ x﹣2）2＝5 9．（3 分）（2019•山西）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥（如图 1），它由五个高 度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉索与主梁相连，最高的钢拱如图 2 所 示，此钢拱（近似看成二次函数的图象﹣抛物线）在同一竖直平面内，与拱脚所在的水 平面相交于 A，B 两点．拱高为 78 米（即最高点 O 到 AB 的距离为 78 米），跨径为 90 米（即 AB＝90 米），以最高点 O 为坐标原点，以平行于 AB 的直线为 x 轴建立平面直角 坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为（　　） A．y＝ x2 B．y＝﹣ x2 C．y＝ x2 D．y＝﹣ x2 10．（3 分）（2019•山西）如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝2 ，BC＝2，以 AB 的中点 O 为圆心，OA 的长为半径作半圆交 AC 于点 D，则图中阴影部分的面积为（　　 ） A． ﹣ B． + C．2 ﹣π D．4 ﹣ 二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 3 分，共 15 分） 11．（3 分）（2019•山西）化简 ﹣ 的结果是　 　． 12．（3 分）（2019•山西）要表示一个家庭一年用于“教育”，“服装”，“食品”，“ 其他”这四项的支出各占家庭本年总支出的百分比，从“扇形统计图”，“条形统计图”第 3 页（共 26 页） ，“折线统计图”中选择一种统计图，最适合的统计图是　 　． 13．（3 分）（2019•山西）如图，在一块长 12m，宽 8m 的矩形空地上，修建同样宽的两条 互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的 面积 77m2，设道路的宽为 xm，则根据题意，可列方程为　 　． 14．（3 分）（2019•山西）如图，在平面直角坐标中，点 O 为坐标原点，菱形 ABCD 的顶 点 B 在 x 轴的正半轴上，点 A 坐标为（﹣4，0），点 D 的坐标为（﹣1，4），反比例函 数 y＝ （x＞0）的图象恰好经过点 C，则 k 的值为　 　． 15．（3 分）（2019•山西）如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝10cm，点 D 为△ ABC 内一点，∠BAD＝15°，AD＝6cm，连接 BD，将△ABD 绕点 A 按逆时针方向旋转， 使 AB 与 AC 重合，点 D 的对应点为点 E，连接 DE，DE 交 AC 于点 F，则 CF 的长为　 　 cm． 三、解答题（本大题共 8 个小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（10 分）（2019•山西）（1）计算： +（﹣ ）﹣2﹣3tan60°+（π﹣ ）0． （2）解方程组： 17．（7 分）（2019•山西）已知：如图，点 B，D 在线段 AE 上，AD＝BE，AC∥EF，∠C＝∠ F．求证：BC＝DF．第 4 页（共 26 页） 18．（9 分）（2019•山西）中华人民共和国第二届青年运动会（简称二青会）将于 2019 年 8 月在山西举行．太原市作为主赛区，将承担多项赛事，现正从某高校的甲、乙两班分别 招募 10 人作为颁奖礼仪志愿者，同学们踊跃报名，甲、乙两班各报了 20 人，现已对他 们进行了基本素质测评，满分 10 分．各班按测评成绩从高分到低分的顺序各录用 10 人， 对这次基本素质测评中甲、乙两班学生的成绩绘制了如图所示的统计图．请解答下列问 题： （1）甲班的小华和乙班的小丽基本素质测评成绩都为 7 分，请你分别判断小华，小丽能 否被录用（只写判断结果，不必写理由）． （2）请你对甲、乙两班各被录用的 10 名志愿者的成绩作出评价（从“众数”，“中位 数”，或“平均数”中的一个方面评价即可）． （3）甲、乙两班被录用的每一位志愿者都将通过抽取卡片的方式决定去以下四个场馆中 的两个场馆进行颁奖礼仪服务，四个场馆分别为：太原学院足球场，太原市沙滩排球场， 山西省射击射箭训练基地，太原水上运动中心，这四个场馆分别用字母 A，B，C，D 表 示．现把分别印有 A，B，C，D 的四张卡片（除字母外，其余都相同）背面朝上，洗匀 放好．志愿者小玲从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，请你用列表或 画树状图的方法求小玲抽到的两张卡片恰好是“A”和“B”的概率． 19．（8 分）（2019•山西）某游泳馆推出了两种收费方式． 方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡 200 元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每 次游泳再付费 30 元． 方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费 40 元． 设小亮在一年内来此游泳馆的次数为 x 次，选择方式一的总费用为 y1（元），选择方式 二的总费用为 y2（元）．第 5 页（共 26 页） （1）请分别写出 y1，y2 与 x 之间的函数表达式． （2）小亮一年内在此游泳馆游泳的次数 x 在什么范围时，选择方式一比方式二省钱． 20．（9 分）（2019•山西）某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动． 他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们在该旗杆底部所在的平地 上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离．为 了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两 次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）． 课题 测量旗杆的高度 成员 组长：xxx 组员：xxx，xxx，xxx 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量示意图 说明：线段 GH 表示学校旗杆， 测量角度的仪 器的高度 AC ＝BD＝1.5m， 测点 A，B 与 H 在同一条水 平直线上，A， B 之间的距离 可以直接测得， 且点 G，H， A，B，C，D 都在同一竖直 平面内，点 C， D，E 在同一条 直线上，点 E 在 GH 上． 测量数据 测量项目 第 一 第 二 平 均第 6 页（共 26 页） 次 次 值 ∠GCE 的度数 25.6 ° 25.8 ° 25.7 ° ∠GDE 的度数 31.2 ° 30.8 ° 31 ° A，B 之间的距离 5.4m 5.6m … … 任务一：两次测量 A，B 之间的距离的平均值是　 　m． 任务二：根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆 GH 的高度． （参考数据：sin25.7°≈0.43，cos25.7°≈0.90，tan25.7°≈0.48，sin31°≈0.52，cos31 °≈0.86，tan31°≈0.60） 任务三：该“综合与实践”小组在制定方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量 旗杆的高度”的方案，但未被采纳．你认为其原因可能是什么？（写出一条即可） 21．（8 分）（2019•山西）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 莱昂哈德•欧拉（LeonhardEuler）是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重 要常数，公式和定理，下面就是欧拉发现的一个定理：在△ABC 中，R 和 r 分别为外接 圆和内切圆的半径，O 和 I 分别为其中外心和内心，则 OI2＝R2﹣2Rr． 如图 1，⊙O 和⊙I 分别是△ABC 的外接圆和内切圆，⊙I 与 AB 相切分于点 F，设⊙O 的 半径为 R，⊙I 的半径为 r，外心 O（三角形三边垂直平分线的交点）与内心 I（三角形三第 7 页（共 26 页） 条角平分线的交点）之间的距离 OI＝d，则有 d2＝R2﹣2Rr． 下面是该定理的证明过程（部分）： 延长 AI 交⊙O 于点 D，过点 I 作⊙O 的直径 MN，连接 DM，AN． ∵∠D＝∠N，∠DMI＝∠NAI（同弧所对的圆周角相等）． ∴△MDI∽△ANI．∴ ＝ ，∴IA•ID＝IM•IN，① 如图 2，在图 1（隐去 MD，AN）的基础上作⊙O 的直径 DE，连接 BE，BD，BI，IF． ∵DE 是⊙O 的直径，所以∠DBE＝90°． ∵⊙I 与 AB 相切于点 F，所以∠AFI＝90°， ∴∠DBE＝∠IFA． ∵∠BAD＝∠E（同弧所对的圆周角相等）， ∴△AIF∽△EDB， ∴ ＝ ． ∴IA•BD＝DE•IF② 任务：（1）观察发现：IM＝R+d，IN＝　 　（用含 R，d 的代数式表示）； （2）请判断 BD 和 ID 的数量关系，并说明理由． （3）请观察式子①和式子②，并利用任务（1），（2）的结论，按照上面的证明思路， 完成该定理证明的剩余部分； （4）应用：若△ABC 的外接圆的半径为 5cm，内切圆的半径为 2cm，则△ABC 的外心与 内心之间的距离为　 　cm． 22．（11 分）（2019•山西）综合与实践 动手操作： 第一步：如图 1，正方形纸片 ABCD 沿对角线 AC 所在的直线折叠，展开铺平．在沿过点 C 的直线折叠，使点 B，点 D 都落在对角线 AC 上．此时，点 B 与点 D 重合，记为点 N， 且点 E，点 N，点 F 三点在同一条直线上，折痕分别为 CE，CF．如图 2． 第二步：再沿 AC 所在的直线折叠，△ACE 与△ACF 重合，得到图 3． 第三步：在图 3 的基础上继续折叠，使点 C 与点 F 重合，如图 4，展开铺平，连接 EF， FG，GM，ME．如图 5，图中的虚线为折痕． 问题解决：第 8 页（共 26 页） （1）在图 5 中，∠BEC 的度数是　 　， 的值是　 　． （2）在图 5 中，请判断四边形 EMGF 的形状，并说明理由； （3）在不增加字母的条件下，请你以图中 5 中的字母表示的点为顶点，动手画出一个菱 形（正方形除外），并写出这个菱形：　 　． 23．（13 分）（2019•山西）综合与探究 如图，抛物线 y＝ax2+bx+6 经过点 A（﹣2，0），B（4，0）两点，与 y 轴交于点 C，点 D 是抛物线上一个动点，设点 D 的横坐标为 m（1＜m＜4）．连接 AC，BC，DB，DC． （1）求抛物线的函数表达式； （2）△BCD 的面积等于△AOC 的面积的 时，求 m 的值； （3）在（2）的条件下，若点 M 是 x 轴上一动点，点 N 是抛物线上一动点，试判断是否 存在这样的点 M，使得以点 B，D，M，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直 接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．第 9 页（共 26 页） 2019 年山西省中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分，在每个小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑 1．（3 分）（2019•山西）﹣3 的绝对值是（　　） A．﹣3 B．3 C． D． 【解答】解：|﹣3|＝3． 故﹣3 的绝对值是 3． 故选：B． 2．（3 分）（2019•山西）下列运算正确的是（　　） A．2a+3a＝5a2 B．（a+2b）2＝a2+4b2 C．a2•a3＝a6 D．（﹣ab2）3＝﹣a3b6 【解答】解：A、2a+3a＝5a，故此选项错误； B、（a+2b）2＝a2+4ab+4b2，故此选项错误； C、a2•a3＝a5，故此选项错误； D、（﹣ab2）3＝﹣a3b6，正确． 故选：D． 3．（3 分）（2019•山西）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那 么在原正方体中，与“点”字所在面相对面上的汉字是（　　） A．青 B．春 C．梦 D．想 【解答】解：展开图中“点”与“春”是对面，“亮”与“想”是对面，“青”与“梦” 是对面； 故选：B． 4．（3 分）（2019•山西）下列二次根式是最简二次根式的是（　　）第 10 页（共 26 页） A． B． C． D． 【解答】解：解：A、 ，故 A 不符合题意； B、 ，故 B 不符合题意； C、 ，故 C 不符合题意； D、 是最简二次根式，故 D 符合题意． 故选：D． 5．（3 分）（2019•山西）如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝30°，直线 a∥b，顶点 C 在直线 b 上，直线 a 交 AB 于点 D，交 AC 与点 E，若∠1＝145°，则∠2 的度数是（　　） A．30° B．35° C．40° D．45° 【解答】解：∵AB＝AC，且∠A＝30°， ∴∠ACB＝75°， 在△ADE 中，∵∠1＝∠A+∠AED＝145°， ∴∠AED＝145°﹣30°＝115°， ∵a∥b， ∴∠AED＝∠2+∠ACB， ∴∠2＝115°﹣75°＝40°， 故选：C． 6．（3 分）（2019•山西）不等式组 的解集是（　　） A．x＞4 B．x＞﹣1 C．﹣1＜x＜4 D．x＜﹣1 【解答】解： ， 由①得：x＞4， 由②得：x＞﹣1，第 11 页（共 26 页） 不等式组的解集为：x＞4， 故选：A． 7．（3 分）（2019•山西）五台山景区空气清爽，景色宜人．“五一”小长假期间购票进山 游客 12 万人次，再创历史新高．五台山景区门票价格旺季 168 元/人．以此计算，“五 一”小长假期间五台山景区进山门票总收入用科学记数法表示（　　） A．2.016×108 元 B．0.2016×107 元 C．2.016×107 元 D．2016×104 元 【解答】解：120000×168＝20160000＝2.016×107， 故选：C． 8．（3 分）（2019•山西）一元二次方程 x2﹣4x﹣1＝0 配方后可化为（　　） A．（x+2）2＝3 B．（ x+2）2＝5 C．（x﹣2）2＝3 D．（ x﹣2）2＝5 【解答】解：x2﹣4x﹣1＝0， x2﹣4x＝1， x2﹣4x+4＝1+4， （x﹣2）2＝5， 故选：D． 9．（3 分）（2019•山西）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥（如图 1），它由五个高 度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉索与主梁相连，最高的钢拱如图 2 所 示，此钢拱（近似看成二次函数的图象﹣抛物线）在同一竖直平面内，与拱脚所在的水 平面相交于 A，B 两点．拱高为 78 米（即最高点 O 到 AB 的距离为 78 米），跨径为 90 米（即 AB＝90 米），以最高点 O 为坐标原点，以平行于 AB 的直线为 x 轴建立平面直角 坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为（　　） A．y＝ x2 B．y＝﹣ x2 C．y＝ x2 D．y＝﹣ x2 【解答】解：设抛物线的解析式为：y＝ax2，第 12 页（共 26 页） 将 B（45，﹣78）代入得：﹣78＝a×452， 解得：a＝﹣ ， 故此抛物线钢拱的函数表达式为：y＝﹣ x2． 故选：B． 10．（3 分）（2019•山西）如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝2 ，BC＝2，以 AB 的中点 O 为圆心，OA 的长为半径作半圆交 AC 于点 D，则图中阴影部分的面积为（　　 ） A． ﹣ B． + C．2 ﹣π D．4 ﹣ 【解答】解：∵在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝2 ，BC＝2， ∴tanA＝ ， ∴∠A＝30°， ∴∠DOB＝60°， ∵OD＝ AB＝ ， ∴DE＝ ， ∴阴影部分的面积是： ＝ ， 故选：A． 二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 3 分，共 15 分） 11．（3 分）（2019•山西）化简 ﹣ 的结果是　 　． 【解答】解：原式＝ ． 故答案为：第 13 页（共 26 页） 12．（3 分）（2019•山西）要表示一个家庭一年用于“教育”，“服装”，“食品”，“ 其他”这四项的支出各占家庭本年总支出的百分比，从“扇形统计图”，“条形统计图”， “折线统计图”中选择一种统计图，最适合的统计图是　扇形统计图　． 【解答】解：要表示一个家庭一年用于“教育”，“服装”，“食品”，“其他”这四 项的支出各占家庭本年总支出的百分比，最适合的统计图是扇形统计图． 故答案为：扇形统计图 13．（3 分）（2019•山西）如图，在一块长 12m，宽 8m 的矩形空地上，修建同样宽的两条 互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的 面积 77m2，设道路的宽为 xm，则根据题意，可列方程为　（12﹣x）（8﹣x）＝77　． 【解答】解：∵道路的宽应为 x 米， ∴由题意得，（12﹣x）（8﹣x）＝77， 故答案为：（12﹣x）（8﹣x）＝77． 14．（3 分）（2019•山西）如图，在平面直角坐标中，点 O 为坐标原点，菱形 ABCD 的顶 点 B 在 x 轴的正半轴上，点 A 坐标为（﹣4，0），点 D 的坐标为（﹣1，4），反比例函 数 y＝ （x＞0）的图象恰好经过点 C，则 k 的值为　16　． 【解答】解：过点 C、D 作 CE⊥x 轴，DF⊥x 轴，垂足为 E、F， ∵ABCD 是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝DA， 易证△ADF≌△BCE， ∵点 A（﹣4，0），D（﹣1，4）， ∴DF＝CE＝4，OF＝1，AF＝OA﹣OF＝3，第 14 页（共 26 页） 在 Rt△ADF 中，AD＝ ， ∴OE＝EF﹣OF＝5﹣1＝4， ∴C（4，4） ∴k＝4×4＝16 故答案为：16． 15．（3 分）（2019•山西）如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝10cm，点 D 为△ ABC 内一点，∠BAD＝15°，AD＝6cm，连接 BD，将△ABD 绕点 A 按逆时针方向旋转， 使 AB 与 AC 重合，点 D 的对应点为点 E，连接 DE，DE 交 AC 于点 F，则 CF 的长为　（ 10﹣2 ）　cm． 【解答】解：过点 A 作 AG⊥DE 于点 G， 由旋转知：AD＝AE，∠DAE＝90°，∠CAE＝∠BAD＝15°， ∴∠AED＝∠ADG＝45°， 在△AEF 中，∠AFD＝∠AED+∠CAE＝60°， 在 Rt△ADG 中，AG＝DG＝ ＝3 ， 在 Rt△AFG 中，GF＝ ＝ ，AF＝2FG＝2 ， ∴CF＝AC﹣AF＝10﹣2 ， 故答案为：10﹣2 ．第 15 页（共 26 页） 三、解答题（本大题共 8 个小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（10 分）（2019•山西）（1）计算： +（﹣ ）﹣2﹣3tan60°+（π﹣ ）0． （2）解方程组： 【解答】解：（1）原式＝3 +4﹣3 +1 ＝5； （2）①+②得， 4x＝﹣8， ∴x＝﹣2， 把 x＝﹣2 代入①得， ﹣6﹣2y＝﹣8， ∴y＝1， ∴ ． 17．（7 分）（2019•山西）已知：如图，点 B，D 在线段 AE 上，AD＝BE，AC∥EF，∠C＝∠ F．求证：BC＝DF． 【解答】证明：∵AD＝BE， ∴AD﹣BD＝BE﹣BD， ∴AB＝ED， ∵AC∥EF， ∴∠A＝∠E，第 16 页（共 26 页） 在△ABC 和△EDF 中， ， ∴△ABC≌△EDF（AAS）， ∴BC＝DF． 18．（9 分）（2019•山西）中华人民共和国第二届青年运动会（简称二青会）将于 2019 年 8 月在山西举行．太原市作为主赛区，将承担多项赛事，现正从某高校的甲、乙两班分别 招募 10 人作为颁奖礼仪志愿者，同学们踊跃报名，甲、乙两班各报了 20 人，现已对他 们进行了基本素质测评，满分 10 分．各班按测评成绩从高分到低分的顺序各录用 10 人， 对这次基本素质测评中甲、乙两班学生的成绩绘制了如图所示的统计图．请解答下列问 题： （1）甲班的小华和乙班的小丽基本素质测评成绩都为 7 分，请你分别判断小华，小丽能 否被录用（只写判断结果，不必写理由）． （2）请你对甲、乙两班各被录用的 10 名志愿者的成绩作出评价（从“众数”，“中位 数”，或“平均数”中的一个方面评价即可）． （3）甲、乙两班被录用的每一位志愿者都将通过抽取卡片的方式决定去以下四个场馆中 的两个场馆进行颁奖礼仪服务，四个场馆分别为：太原学院足球场，太原市沙滩排球场， 山西省射击射箭训练基地，太原水上运动中心，这四个场馆分别用字母 A，B，C，D 表 示．现把分别印有 A，B，C，D 的四张卡片（除字母外，其余都相同）背面朝上，洗匀 放好．志愿者小玲从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，请你用列表或 画树状图的方法求小玲抽到的两张卡片恰好是“A”和“B”的概率． 【解答】解：（1）小华在甲班是第 11 名，不能录用；小丽在乙班是第 10 名，可以录用 ； （2）从众数来看，甲乙两班各被录用的 10 名志愿者的众数分别为 8 分、10 分，说明甲 班被录用的 10 名志愿者中 8 分最多，乙班被录用的 10 名志愿者中 10 分最多； 从中位数来看，甲乙两班被录用的 10 名志愿者成绩的中位数分别为 9 分、8.5 分，说明 甲班被录用的 10 名志愿者成绩的中位数大于乙班被录用的 10 名志愿者成绩的中位数；第 17 页（共 26 页） 从平均数看，甲乙两班被录用的 10 名志愿者成绩的平均数分别为 8.9 分、8.7 分，说明甲 班被录用的 10 名志愿者成绩的平均数大于乙班被录用的 10 名志愿者成绩的平均数． （3）画树状图如下： 由树状图知，共有 12 种等可能结果，其中抽到的两张卡片恰好是“A”和“B”的有 2 种 结果， 所以抽到的两张卡片恰好是“A”和“B”的概率为 ＝ ． 19．（8 分）（2019•山西）某游泳馆推出了两种收费方式． 方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡 200 元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每 次游泳再付费 30 元． 方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费 40 元． 设小亮在一年内来此游泳馆的次数为 x 次，选择方式一的总费用为 y1（元），选择方式 二的总费用为 y2（元）． （1）请分别写出 y1，y2 与 x 之间的函数表达式． （2）小亮一年内在此游泳馆游泳的次数 x 在什么范围时，选择方式一比方式二省钱． 【解答】解：（1）当游泳次数为 x 时，方式一费用为：y1＝30x+200，方式二的费用为： y2＝40x； （2）由 y1＜y2 得：30x+200＜40x， 解得 x＞20 时， 当 x＞20 时，选择方式一比方式二省钱． 20．（9 分）（2019•山西）某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动． 他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们在该旗杆底部所在的平地 上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离．为 了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两 次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）． 课题 测量旗杆的高度 成员 组长：xxx 组员：xxx，xxx，xxx第 18 页（共 26 页） 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量示意图 说明：线段 GH 表示学校旗杆， 测量角度的仪 器的高度 AC ＝BD＝1.5m， 测点 A，B 与 H 在同一条水 平直线上，A， B 之间的距离 可以直接测得， 且点 G，H， A，B，C，D 都在同一竖直 平面内，点 C， D，E 在同一条 直线上，点 E 在 GH 上． 测量项目 第 一 次 第 二 次 平 均 值 ∠GCE 的度数 25.6 ° 25.8 ° 25.7 ° ∠GDE 的度数 31.2 ° 30.8 ° 31 ° 测量数据 A，B 之间的距离 5.4m 5.6m … … 任务一：两次测量 A，B 之间的距离的平均值是　5.5　m． 任务二：根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆 GH 的高度．第 19 页（共 26 页） （参考数据：sin25.7°≈0.43，cos25.7°≈0.90，tan25.7°≈0.48，sin31°≈0.52，cos31° ≈0.86，tan31°≈0.60） 任务三：该“综合与实践”小组在制定方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量 旗杆的高度”的方案，但未被采纳．你认为其原因可能是什么？（写出一条即可） 【解答】解：任务一：由题意可得，四边形 ACDB，四边形 ADEH 是矩形， ∴EH＝AC＝1.5，CD＝AB＝5.5， 故答案为：5.5； 任务二：设 EC＝xm， 在 Rt△DEG 中，∠DEC＝90°，∠GDE＝31°， ∵tan31°＝ ， ∴DE＝ ， 在 Rt△CEG 中，∠CEG＝90°，∠GCE＝25.7°， ∵tan25.7°＝ ，CE＝ ， ∵CD＝CE﹣DE， ∴ ﹣ ＝5.5， ∴x＝13.2， ∴GH＝CE+EH＝13.2+1.5＝14.7， 答：旗杆 GH 的高度为 14.7 米； 任务三：没有太阳光，或旗杆底部不可能达到． 21．（8 分）（2019•山西）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 莱昂哈德•欧拉（LeonhardEuler）是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重 要常数，公式和定理，下面就是欧拉发现的一个定理：在△ABC 中，R 和 r 分别为外接 圆和内切圆的半径，O 和 I 分别为其中外心和内心，则 OI2＝R2﹣2Rr．第 20 页（共 26 页） 如图 1，⊙O 和⊙I 分别是△ABC 的外接圆和内切圆，⊙I 与 AB 相切分于点 F，设⊙O 的 半径为 R，⊙I 的半径为 r，外心 O（三角形三边垂直平分线的交点）与内心 I（三角形三 条角平分线的交点）之间的距离 OI＝d，则有 d2＝R2﹣2Rr． 下面是该定理的证明过程（部分）： 延长 AI 交⊙O 于点 D，过点 I 作⊙O 的直径 MN，连接 DM，AN． ∵∠D＝∠N，∠DMI＝∠NAI（同弧所对的圆周角相等）． ∴△MDI∽△ANI．∴ ＝ ，∴IA•ID＝IM•IN，① 如图 2，在图 1（隐去 MD，AN）的基础上作⊙O 的直径 DE，连接 BE，BD，BI，IF． ∵DE 是⊙O 的直径，所以∠DBE＝90°． ∵⊙I 与 AB 相切于点 F，所以∠AFI＝90°， ∴∠DBE＝∠IFA． ∵∠BAD＝∠E（同弧所对的圆周角相等）， ∴△AIF∽△EDB， ∴ ＝ ． ∴IA•BD＝DE•IF② 任务：（1）观察发现：IM＝R+d，IN＝　R﹣d　（用含 R，d 的代数式表示）； （2）请判断 BD 和 ID 的数量关系，并说明理由． （3）请观察式子①和式子②，并利用任务（1），（2）的结论，按照上面的证明思路， 完成该定理证明的剩余部分； （4）应用：若△ABC 的外接圆的半径为 5cm，内切圆的半径为 2cm，则△ABC 的外心与 内心之间的距离为　 　cm． 【解答】解：（1）∵O、I、N 三点共线， ∴OI+IN＝ON第 21 页（共 26 页） ∴IN＝ON﹣OI＝R﹣d 故答案为：R﹣d； （2）BD＝ID 理由如下： 如图 3，过点 I 作⊙O 直径 MN，连接 AI 交⊙O 于 D，连接 MD，BI，BD， ∵点 I 是△ABC 的内心 ∴∠BAD＝∠CAD，∠CBI＝∠ABI ∵∠DBC＝∠CAD，∠BID＝∠BAD+∠ABI，∠DBI＝∠DBC+∠CBI ∴∠BID＝∠DBI ∴BD＝ID （3）由（2）知：BD＝ID ∴IA•ID＝DE•IF ∵DE•IF＝IM•IN ∴2R•r＝（R+d）（R﹣d） ∴R2﹣d2＝2Rr ∴d2＝R2﹣2Rr （4）由（3）知：d2＝R2﹣2Rr；将 R＝5，r＝2 代入得： d2＝52﹣2×5×2＝5， ∵d＞0 ∴d＝ 故答案为： ． 22．（11 分）（2019•山西）综合与实践 动手操作：第 22 页（共 26 页） 第一步：如图 1，正方形纸片 ABCD 沿对角线 AC 所在的直线折叠，展开铺平．在沿过点 C 的直线折叠，使点 B，点 D 都落在对角线 AC 上．此时，点 B 与点 D 重合，记为点 N，且 点 E，点 N，点 F 三点在同一条直线上，折痕分别为 CE，CF．如图 2． 第二步：再沿 AC 所在的直线折叠，△ACE 与△ACF 重合，得到图 3． 第三步：在图 3 的基础上继续折叠，使点 C 与点 F 重合，如图 4，展开铺平，连接 EF， FG，GM，ME．如图 5，图中的虚线为折痕． 问题解决： （1）在图 5 中，∠BEC 的度数是　67.5°　， 的值是　 　． （2）在图 5 中，请判断四边形 EMGF 的形状，并说明理由； （3）在不增加字母的条件下，请你以图中 5 中的字母表示的点为顶点，动手画出一个菱 形（正方形除外），并写出这个菱形：　菱形 EMCH 或菱形 FGCH　． 【解答】解：（1）由折叠的性质得：BE＝EN，AE＝AF，∠CEB＝∠CEN，∠BAC＝∠CAD ， ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠EAF＝90°， ∴∠AEF＝∠AFE＝45°， ∴∠BEN＝135°， ∴∠BEC＝67.5°， ∴∠BAC＝∠CAD＝45°， ∵∠AEF＝45°， ∴△AEN 是等腰直角三角形， ∴AE＝ EN， ∴ ＝ ＝ ； 故答案为：67.5°， ；第 23 页（共 26 页） （2）四边形 EMGF 是矩形；理由如下： ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠B＝∠BCD＝∠D＝90°， 由折叠的性质得：∠BCE＝∠ECA＝∠ACF＝∠FCD，CM＝CG，∠BEC＝∠NEC＝∠NFC ＝∠DFC， ∴∠BCE＝∠ECA＝∠ACF＝∠FCD＝ ＝22.5°，∠BEC＝∠NEC＝∠NFC＝∠ DFC＝67.5°， 由折叠可知：MH、GH 分别垂直平分 EC、FC， ∴MC＝ME＝CG＝GF， ∴∠MEC＝∠BCE＝22.5°，∠GFC＝∠FCD＝22.5°， ∴∠MEF＝90°，∠GFE＝90°， ∵∠MCG＝90°，CM＝CG， ∴∠CMG＝45°， ∵∠BME＝∠BCE+∠MEC＝22.5°+22.5°＝45°， ∴∠EMG＝180°﹣∠CMG﹣∠BME＝90°， ∴四边形 EMGF 是矩形； （3）连接 EH、FH，如图所示： ∵由折叠可知：MH、GH 分别垂直平分 EC、FC，同时 EC、FC 也分别垂直平分 MH、GH ， ∴四边形 EMCH 与四边形 FGCH 是菱形， 故答案为：菱形 EMCH 或菱形 FGCH． 23．（13 分）（2019•山西）综合与探究 如图，抛物线 y＝ax2+bx+6 经过点 A（﹣2，0），B（4，0）两点，与 y 轴交于点 C，点 D 是抛物线上一个动点，设点 D 的横坐标为 m（1＜m＜4）．连接 AC，BC，DB，DC． （1）求抛物线的函数表达式；第 24 页（共 26 页） （2）△BCD 的面积等于△AOC 的面积的 时，求 m 的值； （3）在（2）的条件下，若点 M 是 x 轴上一动点，点 N 是抛物线上一动点，试判断是否 存在这样的点 M，使得以点 B，D，M，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直 接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）由抛物线交点式表达式得：y＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8）＝ ax2﹣2ax﹣8a， 即﹣8a＝6，解得：a＝﹣ ， 故抛物线的表达式为：y＝﹣ x2+ x+6； （2）点 C（0，6），将点 B、C 的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线 BC 的表达式为：y＝﹣ x+6， 如图所示，过点 D 作 y 轴的平行线交直线 BC 与点 H， 设点 D（m，﹣ m2+ m+6），则点 H（m，﹣ m+6） S△BDC＝ HB×OB＝2（﹣ m2+ m+6+ m﹣6）＝﹣ m2+3m， S△ACO＝ × ×6×2＝ ， 即：﹣ m2+3m＝ ， 解得：m＝1 或 3（舍去 1）， 故 m＝3；第 25 页（共 26 页） （3）当 m＝3 时，点 D（3， ）， ①当 BD 是平行四边形的一条边时， 如图所示：M、N 分别有三个点， 设点 N（n，﹣ n2+ n+6） 则点 N 的纵坐标为绝对值为 ， 即|﹣ n2+ n+6|＝ ， 解得：n＝﹣1 或 3（舍去）或 1 ， 故点 N（N′、N″）的坐标为（﹣1， ）或（1 ，﹣ ）或（1﹣ ，﹣ ） ， 当点 N（﹣1， ）时，由图象可得：点 M（0，0）， 当 N′的坐标为（1 ，﹣ ），由中点坐标公式得：点 M′（ ，0）， 同理可得：点 M″坐标为（﹣ ，0）， 故点 M 坐标为：（0，0）或（ ，0）或（﹣ ，0）； ②当 BD 是平行四边形的对角线时， 点 B、D 的坐标分别为（4，0）、（3， ） 设点 M（m，0），点 N（s，t）， 由中点坐标公式得： ，而 t＝﹣ s2+ s+6， 解得：t＝ ，s＝﹣1，m＝8， 故点 M 坐标为（8，0）； 故点 M 的坐标为：（0，0）或（ ，0）或（﹣ ，0）或（8，0）．第 26 页（共 26 页） 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/7/28 9:58:50；用户：数学 01；邮箱：lb01@xyh.com；学号：21821723