第 17 章 勾股定理
一．选择题（共 12 小题）
1．下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，23
2．已知 Rt△ABC 中，∠C＝90°，若 a+b＝14cm，c＝10cm，则 Rt△ABC 的面积是（ ）
A．24cm2 B．36cm2 C．48cm2 D．60cm2
3．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示
的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直
角三角形较长直角边长为 a，较短直角边长为 b．若 ab＝8，大正方形的面积为 25，则小
正方形的边长为（ ）
A．9 B．6 C．4 D．3
4．如图，在四边形 ABCD 中，∠B＝135°，∠C＝120°，AB＝ ，BC＝ ，CD＝
，则 AD 边的长为（ ）
A． B． C． D．
5．在△ABC 中，若 AC＝15，BC＝13，AB 边上的高 CD＝12，则△ABC 的周长为（ ）
A．32 B．42 C．32 或 42 D．以上都不对
6．如图，△ABC 的顶点 A，B，C 在边长为 1 的正方形网格的格点上，BD⊥AC 于点 D，则 BD
的长为（ ）A． B． C． D．
7．如图，长为 8cm 的橡皮筋放置在 x 轴上，固定两端 A 和 B，然后把中点 C 向上拉升 3cm
至 D 点，则橡皮筋被拉长了（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
8．如图，在 6 个边长为 1 的小正方形及其部分对角线构成的图形中，如图从 A 点到 B 点只
能沿图中的线段走，那么从 A 点到 B 点的最短距离的走法共有（ ）
A．1 种 B．2 种 C．3 种 D．4 种
9．如图，已知 1 号、4 号两个正方形的面积和为 7，2 号、3 号两个正方形的面积和为 4，
则 a ， b ， c 三 个 正 方 形 的 面 积 和 为 （ ）
A．11 B．15 C．10 D．22
10．如图：一个长、宽、高分别为 4cm、3cm、12cm 的长方体盒子能容下的最长木棒长为
（ ）
A．11cm B．12cm C．13cm D．14cm
11．如图，一艘轮船位于灯塔 P 的北偏东 60°方向，与灯塔 P 的距离为 30 海里的 A 处，轮
船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 30°方向上的 B 处，则此时轮
船所在位置 B 处与灯塔 P 之间的距离为（ ）A．60 海里 B．45 海里 C．20 海里 D．30 海里
12．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面 5m 处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部 12m
处，旗杆折断之前的高度是（ ）
A．5m B．12m C．13m D．18m
二．填空题（共 8 小题）
13．已知直角三角形的两边的长分别是 3 和 4，则第三边长为 ．
14．把两个同样大小的含 45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角
顶点与另一个的直角顶点重合于点 A，且另三个锐角顶点 B，C，D 在同一直线上．若 AB＝
，则 CD＝ ．
15．如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4 米，
AB＝8 米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高 CD 为 米（结果精确到 0.1
米，参考数据： ＝1.41， ＝1.73）．
16．等腰△ABC 的底边 BC＝8cm，腰长 AB＝5cm，一动点 P 在底边上从点 B 开始向点 C 以
0.25cm/秒的速度运动，当点 P 运动到 PA 与腰垂直的位置时，点 P 运动的时间应为 秒．
17 ． 如 图 ， △ABD 和 △CED 均 为 等 边 三 角 形 ，AC＝BC，AC⊥BC． 若 BE＝ ， 则 CD
＝ ．
18．有一棵 9 米高的大树，树下有一个 1 米高的小孩，如果大树在距地面 4 米处折断（未
完全折断），则小孩至少离开大树 米之外才是安全的．
19．如图，正方形 ABDE、CDFI、EFGH 的面积分别为 25、9、16，△AEH、△BDC、△GFI 的
面积分别为 S1、S2、S3，则 S1+S2+S3＝ ．
20．勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955 年希腊发行了二枚以勾股图
为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验
证勾股定理．在右图的勾股图中，已知∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝4．作△PQR 使
得∠R＝90°，点 H 在边 QR 上，点 D，E 在边 PR 上，点 G，F 在边 PQ 上，那么△PQR 的
周长等于 ．
三．解答题（共 8 小题）
21．如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠CAB，DE⊥AB 于 E，若 AC＝6，BC＝8，CD＝
3．
（1）求 DE 的长；（2）求△ADB 的面积．
22．如图，已知 AB＝12；AB⊥BC 于 B，AB⊥AD 于 A，AD＝5，BC＝10．点 E 是 CD 的中点，
求 AE 的长．
23．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，CD 是高．
（1）求 AB 的长；
（2）求△ABC 的面积；
（3）求 CD 的长．
24．如图，△ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点 P 从点 A 出发，以每秒 2cm
的速度沿折线 A﹣C﹣B﹣A 运动，设运动时间为 t 秒（t＞0）．
（1）若点 P 在 AC 上，且满足 PA＝PB 时，求出此时 t 的值；
（2）若点 P 恰好在∠BAC 的角平分线上，求 t 的值；
（3）在运动过程中，直接写出当 t 为何值时，△BCP 为等腰三角形．
25．已知：如图，在四边形 ABCD 中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2+CD2＝2AB2．（1）求证：AB＝BC；
（2）当 BE⊥AD 于 E 时，试证明：BE＝AE+CD．
26．已知：如图，四边形 ABCD 中，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，求四边形 ABCD
的面积．
27．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是 1，每个小格的顶点叫做格点．
（1）在图 1 中以格点为顶点画一个面积为 10 的正方形；
（2）在图 2 中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为 2、 、 ；
（3）如图 3，点 A、B、C 是小正方形的顶点，求∠ABC 的度数．
28．已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点 P 从点 B 出发沿射
线 BC 以 1cm/s 的速度移动，设运动的时间为 t 秒．
（1）求 BC 边的长；
（2）当△ABP 为直角三角形时，求 t 的值；
（3）当△ABP 为等腰三角形时，求 t 的值．参考答案与试题解析
一．选择题（共 12 小题）
1．下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，23
【分析】根据勾股定理逆定理：a2+b2＝c2，将各个选项逐一代数计算即可得出答案．
【解答】解：A、∵42+52≠62，∴不能构成直角三角形，故 A 错误；
B、∵12+12＝ ，∴能构成直角三角形，故 B 正确；
C、∵62+82≠112，∴不能构成直角三角形，故 C 错误；
D、∵52+122≠232，∴不能构成直角三角形，故 D 错误．
故选：B．
2．已知 Rt△ABC 中，∠C＝90°，若 a+b＝14cm，c＝10cm，则 Rt△ABC 的面积是（ ）
A．24cm2 B．36cm2 C．48cm2 D．60cm2
【分析】要求 Rt△ABC 的面积，只需求出两条直角边的乘积．根据勾股定理，得 a2+b2＝
c2＝100．根据勾股定理就可以求出 ab 的值，进而得到三角形的面积．
【解答】解：∵a+b＝14
∴（a+b）2＝196
∴2ab＝196﹣（a2+b2）＝96
∴ ab＝24．
故选：A．
3．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示
的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直
角三角形较长直角边长为 a，较短直角边长为 b．若 ab＝8，大正方形的面积为 25，则小
正方形的边长为（ ）
A．9 B．6 C．4 D．3
【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．
【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，
∵每一个直角三角形的面积为： ab＝ ×8＝4，
∴4× ab+（a﹣b）2＝25，
∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，
∴a﹣b＝3，
故选：D．
4．如图，在四边形 ABCD 中，∠B＝135°，∠C＝120°，AB＝ ，BC＝ ，CD＝
，则 AD 边的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】作 AE⊥BC，DF⊥BC，构建直角△AEB 和直角△DFC，根据勾股定理计算 BE，CF，
DF，计算 EF 的值，并根据 EF 求 AD．
【解答】解：如图，过点 A，D 分别作 AE，DF 垂直于直线 BC，垂足分别为 E，F．
由已知可得
BE＝AE＝ ，CF＝ ，DF＝2 ，
于是 EF＝4+ ．
过点 A 作 AG⊥DF，垂足为 G．在 Rt△ADG 中，根据勾股定理得
AD ＝ ＝ ＝ ＝ ＝
．
故选：D．
5．在△ABC 中，若 AC＝15，BC＝13，AB 边上的高 CD＝12，则△ABC 的周长为（ ）A．32 B．42 C．32 或 42 D．以上都不对
【分析】作出图形，利用勾股定理列式求出 AD、BD，再分 CD 在△ABC 内部和外部两种情
况求出 AB，然后根据三角形的周长的定义解答即可．
【解答】解：∵AC＝15，BC＝13，AB 边上的高 CD＝12，
∴AD＝ ＝ ＝9，
BD＝ ＝ ＝5，
如图 1，CD 在△ABC 内部时，AB＝AD+BD＝9+5＝14，
此时，△ABC 的周长＝14+13+15＝42，
如图 2，CD 在△ABC 外部时，AB＝AD﹣BD＝9﹣5＝4，
此时，△ABC 的周长＝4+13+15＝32，
综上所述，△ABC 的周长为 32 或 42．
故选：C．
6．如图，△ABC 的顶点 A，B，C 在边长为 1 的正方形网格的格点上，BD⊥AC 于点 D，则 BD
的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据图形和三角形的面积公式求出△ABC 的面积，根据勾股定理求出 AC，根据
三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：如图所示：
S△ABC＝ ×BC×AE＝ ×BD×AC，∵AE＝4，AC＝ ＝5，BC＝4
即 ×4×4＝ ×5×BD，
解得：BD＝ ．
故选：C．
7．如图，长为 8cm 的橡皮筋放置在 x 轴上，固定两端 A 和 B，然后把中点 C 向上拉升 3cm
至 D 点，则橡皮筋被拉长了（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【分析】根据勾股定理，可求出 AD、BD 的长，则 AD+BD﹣AB 即为橡皮筋拉长的距离．
【解答】解：Rt△ACD 中，AC＝ AB＝4cm，CD＝3cm；
根据勾股定理，得：AD＝ ＝5cm；
∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2cm；
故橡皮筋被拉长了 2cm．
故选：A．
8．如图，在 6 个边长为 1 的小正方形及其部分对角线构成的图形中，如图从 A 点到 B 点只
能沿图中的线段走，那么从 A 点到 B 点的最短距离的走法共有（ ）
A．1 种 B．2 种 C．3 种 D．4 种
【分析】如图所示，找出从 A 点到 B 点的最短距离的走法即可．【解答】解：根据题意得出最短路程如图所示，
最短路程长为 +1＝2 +1，
则从 A 点到 B 点的最短距离的走法共有 3 种，
故选：C．
9．如图，已知 1 号、4 号两个正方形的面积和为 7，2 号、3 号两个正方形的面积和为 4，
则 a ， b ， c 三 个 正 方 形 的 面 积 和 为 （ ）
A．11 B．15 C．10 D．22
【分析】由直角三角形的勾股定理以及正方形的面积公式，不难发现：a 的面积等于 1
的面积加上 2 的面积，b 的面积等于 2 加上 3，据此可以求出三个的面积的和．
【解答】解：利用勾股定理可得 Sa＝S1+S2，Sb＝S2+S3，Sc＝S3+S4，
∴Sa+Sb+Sc＝Sa＝S1+S2+S2+S3+S3+S4＝7+4+4＝15．
故选：B．
10．如图：一个长、宽、高分别为 4cm、3cm、12cm 的长方体盒子能容下的最长木棒长为
（ ）
A．11cm B．12cm C．13cm D．14cm
【分析】首先利用勾股定理计算出 BC 的长，再利用勾股定理计算出 AB 的长即可．
【解答】解：∵侧面对角线 BC2＝32+42＝52，
∴CB＝5m，
∵AC＝12m，∴AB＝ ＝13（m），
∴空木箱能放的最大长度为 13m，
故选：C．
11．如图，一艘轮船位于灯塔 P 的北偏东 60°方向，与灯塔 P 的距离为 30 海里的 A 处，轮
船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 30°方向上的 B 处，则此时轮
船所在位置 B 处与灯塔 P 之间的距离为（ ）
A．60 海里 B．45 海里 C．20 海里 D．30 海里
【分析】根据题意得出：∠B＝30°，AP＝30 海里，∠APB＝90°，再利用勾股定理得出
BP 的长，求出答案．
【解答】解：由题意可得：∠B＝30°，AP＝30 海里，∠APB＝90°，
故 AB＝2AP＝60（海里），
则此时轮船所在位置 B 处与灯塔 P 之间的距离为：BP＝ ＝30 （海里）
故选：D．
12．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面 5m 处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部 12m
处，旗杆折断之前的高度是（ ）
A．5m B．12m C．13m D．18m【分析】图中为一个直角三角形，根据勾股定理两个直角边的平方和等于斜边的平方．此
题要求斜边和直角边的长度，解直角三角形即可．
【解答】解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为 12m，旗杆离地面 5m 折断，且旗
杆与地面是垂直的，
所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形．
根据勾股定理，折断的旗杆为 ＝13m，
所以旗杆折断之前高度为 13m+5m＝18m．
故选：D．
二．填空题（共 8 小题）
13．已知直角三角形的两边的长分别是 3 和 4，则第三边长为 5 或 ．
【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨
论：①3 是直角边，4 是斜边；②3、4 均为直角边；可根据勾股定理求出上述两种情况
下，第三边的长．
【解答】解：①长为 3 的边是直角边，长为 4 的边是斜边时：
第三边的长为： ＝ ；
②长为 3、4 的边都是直角边时：
第三边的长为： ＝5；
综上，第三边的长为：5 或 ．
故答案为：5 或 ．
14．把两个同样大小的含 45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角
顶点与另一个的直角顶点重合于点 A，且另三个锐角顶点 B，C，D 在同一直线上．若 AB＝
，则 CD＝ ﹣1 ．
【分析】先利用等腰直角三角形的性质求出 BC＝2，BF＝AF＝1，再利用勾股定理求出
DF，即可得出结论．
【解答】解：如图，过点 A 作 AF⊥BC 于 F，在 Rt△ABC 中，∠B＝45°，
∴BC＝ AB＝2，BF＝AF＝ AB＝1，
∵两个同样大小的含 45°角的三角尺，
∴AD＝BC＝2，
在 Rt△ADF 中，根据勾股定理得，DF＝ ＝
∴CD＝BF+DF﹣BC＝1+ ﹣2＝ ﹣1，
故答案为： ﹣1．
15．如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4 米，
AB＝8 米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高 CD 为 2.9 米（结果精确到 0.1
米，参考数据： ＝1.41， ＝1.73）．
【分析】首先根据等腰直角三角形的性质可得 DM＝AM＝4m，再根据勾股定理可得 MC2+MB2
＝（2MC）2，代入数可得答案．
【解答】解：由题意可得：∵AM＝4 米，∠MAD＝45°，
∴DM＝4m，
∵AM＝4 米，AB＝8 米，
∴MB＝12 米，
∵∠MBC＝30°，
∴BC＝2MC，
∴MC2+MB2＝（2MC）2，
MC2+122＝（2MC）2，
∴MC＝4 ，
则 DC＝4 ﹣4≈2.9（米），故答案为：2.9．
16．等腰△ABC 的底边 BC＝8cm，腰长 AB＝5cm，一动点 P 在底边上从点 B 开始向点 C 以
0.25cm/秒的速度运动，当点 P 运动到 PA 与腰垂直的位置时，点 P 运动的时间应为 7
或 25 秒．
【分析】根据等腰三角形三线合一性质可得到 BD 的长，由勾股定理可求得 AD 的长，再
分两种情况进行分析：①PA⊥AC②PA⊥AB，从而可得到运动的时间．
【解答】解：如图，作 AD⊥BC，交 BC 于点 D，
∵BC＝8cm，
∴BD＝CD＝ BC＝4cm，
∴AD＝ ＝3，
分两种情况：当点 P 运动 t 秒后有 PA⊥AC 时，
∵AP2＝PD2+AD2＝PC2﹣AC2，∴PD2+AD2＝PC2﹣AC2，
∴PD2+32＝（PD+4）2﹣52∴PD＝2.25，
∴BP＝4﹣2.25＝1.75＝0.25t，
∴t＝7 秒，
当点 P 运动 t 秒后有 PA⊥AB 时，同理可证得 PD＝2.25，
∴BP＝4+2.25＝6.25＝0.25t，
∴t＝25 秒，
∴点 P 运动的时间为 7 秒或 25 秒．
17．如图，△ ABD 和△CED 均为等边三角形，AC＝BC，AC⊥BC．若 BE＝ ，则 CD＝
．【分析】延长 DC 交 AB 于 F，易证△BCD≌△BED，得 BC＝BE，易证 DC⊥AB，得 DF 为 BA
边上的高，则根据 CD＝DF﹣CF 即可求解．
【解答】解：延长 DC 交 AB 于 F．
∵CA＝CB，DA＝DB
∴CD 均在线段 AB 的垂直平分线上，即 DF⊥AB，且∠CDB＝30°
∴BD 为等边△CDE 中∠CDE 的角平分线，∠CDB＝∠EDB
在△CDB 和△EDB 中，
∴△CDB≌△EDB（SAS），
∴BE＝BC．
∵AC＝BC＝ ，
∴AB＝ ＝2，且 DF＝ ＝ ，
且 CF＝BF＝1，
∴CD 的长为 DF﹣CF＝ ﹣1．
故答案为 ﹣1．
18．有一棵 9 米高的大树，树下有一个 1 米高的小孩，如果大树在距地面 4 米处折断（未
完全折断），则小孩至少离开大树 4 米之外才是安全的．
【分析】根据题意构建直角三角形 ABC，利用勾股定理解答．
【解答】解：如图，
BC 即为大树折断处 4m 减去小孩的高 1m，则 BC＝4﹣1＝3m，AB＝9﹣4＝5m，在 Rt△ABC 中，AC＝ ＝ ＝4．
19．如图，正方形 ABDE、CDFI、EFGH 的面积分别为 25、9、16，△AEH、△BDC、△GFI 的
面积分别为 S1、S2、S3，则 S1+S2+S3＝ 18 ．
【分析】正方形 ABDE、CDFI、EFGH 的面积分别为 25、9、16，故直角三角形的三边分别
为 5、4、3，通过求△DEF 的面积求出△BDC，△GFI，△AEH 的面积即可．
【解答】解：∵DF＝DC，DE＝DB，且∠EDF+∠BDC＝180°，
过点 A 作 AI⊥EH，交 HE 的延长线于点 I，
∴∠I＝∠DFE＝90°，
∵∠AEI+∠DEI＝∠DEI+∠DEF＝90°，
∴∠AEI＝∠DEF，
∵AE＝DE，
∴△AEI≌△DEF（AAS），
∴AI＝DF，
∵EH＝EF，
∴S△AHE＝S△DEF，
同理：S△BDC＝S△GFI＝S△DEF，
S△AHE+S△BDC+S△GFI＝S1+S2+S3＝3×S△DEF，
S△DEF＝ ×3×4＝6，
∴S1+S2+S3＝18．
故答案为：18．20．勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955 年希腊发行了二枚以勾股图
为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验
证勾股定理．在右图的勾股图中，已知∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝4．作△PQR 使
得∠R＝90°，点 H 在边 QR 上，点 D，E 在边 PR 上，点 G，F 在边 PQ 上，那么△PQR 的
周长等于 27+13 ．
【分析】在直角△ABC 中，根据三角函数即可求得 AC，进而由等边三角形的性质和正方
形的性质及三角函数就可求得 QR 的长，在直角△QRP 中运用三角函数即可得到 RP、QP
的长，就可求出△PQR 的周长．
【解答】解：延长 BA 交 QR 于点 M，连接 AR，AP．
∵AC＝GC，BC＝FC，∠ACB＝∠GCF，
∴△ABC≌△GFC，
∴∠CGF＝∠BAC＝30°，
∴∠HGQ＝60°，
∵∠HAC＝∠BAD＝90°，
∴∠BAC+∠DAH＝180°，
又 AD∥QR，
∴∠RHA+∠DAH＝180°，
∴∠RHA＝∠BAC＝30°，
∴∠QHG＝60°，
∴∠Q＝∠QHG＝∠QGH＝60°，∴△QHG 是等边三角形．
AC＝AB•cos30°＝4× ＝2 ．
则 QH＝HA＝HG＝AC＝2 ．
在直角△HMA 中，HM＝AH•sin60°＝2 × ＝3．AM＝HA•cos60°＝ ．
在直角△AMR 中，MR＝AD＝AB＝4．
∴QR＝2 +3+4＝7+2 ．
∴QP＝2QR＝14+4 ．
PR＝QR• ＝7 +6．
∴△PQR 的周长等于 RP+QP+QR＝27+13 ．
故答案为：27+13 ．
三．解答题（共 8 小题）
21．如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠CAB，DE⊥AB 于 E，若 AC＝6，BC＝8，CD＝
3．
（1）求 DE 的长；
（2）求△ADB 的面积．
【分析】（1）根据角平分线的性质得到 CD＝DE；
（2）根据勾股定理求出 AB，根据三角形的面积公式计算．
【解答】解：（1）∵AD 平分∠CAB，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴CD＝DE，
∵CD＝3，∴DE＝3；
（2）在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
由勾股定理，得 AB═10，
∴△ADB 的面积为 S＝ AB•DE＝ ×10×3＝15．
22．如图，已知 AB＝12；AB⊥BC 于 B，AB⊥AD 于 A，AD＝5，BC＝10．点 E 是 CD 的中点，
求 AE 的长．
【分析】如图，延长 AE 交 BC 于 F，构造全等三角形△AED≌△FEC（AAS），则对应边 AE＝
FE，AD＝FC．在 Rt△ABF 中，利用勾股定理即可求得线段 AF 的长度．
【解答】解：如图，延长 AE 交 BC 于 F．
∵AB⊥BC，AB⊥AD，
∴AD∥BC
∴∠D＝∠C，∠DAE＝∠CFE，
又∵点 E 是 CD 的中点，
∴DE＝CE．
∵在△AED 与△FEC 中，
，
∴△AED≌△FEC（AAS），
∴AE＝FE，AD＝FC．
∵AD＝5，BC＝10．
∴BF＝5
在 Rt△ABF 中， ，
∴AE＝ AF＝6.5．23．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，CD 是高．
（1）求 AB 的长；
（2）求△ABC 的面积；
（3）求 CD 的长．
【分析】（1）根据勾股定理可求得 AB 的长；
（2）根据三角形的面积公式计算即可求解；
（3）根据三角形的面积相等即可求得 CD 的长．
【解答】解：（1）∵在△ABC 中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，
∴AB2＝AC2+BC2，
解得 AB＝25．
答：AB 的长是 25；
（2） AC•BC＝ ×20×15＝150．
答：△ABC 的面积是 150；
（3）∵CD 是边 AB 上的高，
∴ AC•BC＝ AB•CD，
解得：CD＝12．
答：CD 的长是 12．
24．如图，△ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点 P 从点 A 出发，以每秒 2cm
的速度沿折线 A﹣C﹣B﹣A 运动，设运动时间为 t 秒（t＞0）．
（1）若点 P 在 AC 上，且满足 PA＝PB 时，求出此时 t 的值；（2）若点 P 恰好在∠BAC 的角平分线上，求 t 的值；
（3）在运动过程中，直接写出当 t 为何值时，△BCP 为等腰三角形．
【分析】（1）设存在点 P，使得 PA＝PB，此时 PA＝PB＝2t，PC＝4﹣2t，根据勾股定理
列方程即可得到结论；
（2）当点 P 在∠CAB 的平分线上时，如图 1，过点 P 作 PE⊥AB 于点 E，此时 BP＝7﹣2t，
PE＝PC＝2t﹣4，BE＝5﹣4＝1，根据勾股定理列方程即可得到结论；
（3）在 Rt△ABC 中，根据勾股定理得到 AC＝4cm，根据题意得：AP＝2t，当 P 在 AC 上
时，△BCP 为等腰三角形，得到 PC＝BC，即 4﹣2t＝3，求得 t＝ ，当 P 在 AB 上时，△
BCP 为等腰三角形，若 CP＝PB，点 P 在 BC 的垂直平分线上，如图 2，过 P 作 PE⊥BC 于
E，求得 t＝ ，若 PB＝BC，即 2t﹣3﹣4＝3，解得 t＝5，③PC＝BC，如图 3，过 C 作 CF
⊥AB 于 F，由射影定理得；BC2＝BF•AB，列方程 32＝ ×5，即可得到结论．
【解答】解：（1）设存在点 P，使得 PA＝PB，
此时 PA＝PB＝2t，PC＝4﹣2t，
在 Rt△PCB 中，PC2+CB2＝PB2，
即：（4﹣2t）2+32＝（2t）2，
解得：t＝ ，
∴当 t＝ 时，PA＝PB；
（2）当点 P 在∠BAC 的平分线上时，如图 1，过点 P 作 PE⊥AB 于点 E，
此时 BP＝7﹣2t，PE＝PC＝2t﹣4，BE＝5﹣4＝1，
在 Rt△BEP 中，PE2+BE2＝BP2，
即：（2t﹣4）2+12＝（7﹣2t）2，
解得：t＝ ，当 t＝6 时，点 P 与 A 重合，也符合条件，
∴当 或 6 时，P 在△ABC 的角平分线上；
（3）在 Rt△ABC 中，∵AB＝5cm，BC＝3cm，
∴AC＝4cm，
根据题意得：AP＝2t，
当 P 在 AC 上时，△BCP 为等腰三角形，
∴PC＝BC，即 4﹣2t＝3，
∴t＝ ，
当 P 在 AB 上时，△BCP 为等腰三角形，
①CP＝PB，点 P 在 BC 的垂直平分线上，
如图 2，过 P 作 PE⊥BC 于 E，
∴BE＝ BC＝ ，
∴PB＝ AB，即 2t﹣3﹣4＝ ，解得：t＝ ，
②PB＝BC，即 2t﹣3﹣4＝3，
解得：t＝5，
③PC＝BC，如图 3，过 C 作 CF⊥AB 于 F，
∴BF＝ BP，
∵∠ACB＝90°，
由射影定理得；BC2＝BF•AB，
即 32＝ ×5，
解得：t＝ ，
∴当 时，△BCP 为等腰三角形．25．已知：如图，在四边形 ABCD 中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2+CD2＝2AB2．
（1）求证：AB＝BC；
（2）当 BE⊥AD 于 E 时，试证明：BE＝AE+CD．
【分析】（1）根据勾股定理 AB2+BC2＝AC2，得出 AB2+BC2＝2AB2，进而得出 AB＝BC；
（2）首先证明 CDEF 是矩形，再根据△BAE≌△CBF，得出 AE＝BF，进而证明结论．
【解答】证明：（1）连接 AC．
∵∠ABC＝90°，
∴AB2+BC2＝AC2．
∵CD⊥AD，∴AD2+CD2＝AC2．
∵AD2+CD2＝2AB2，
∴AB2+BC2＝2AB2，
∴BC2＝AB2，
∵AB＞0，BC＞0，
∴AB＝BC．
（2）过 C 作 CF⊥BE 于 F．
∵BE⊥AD，CF⊥BE，CD⊥AD，
∴∠FED＝∠CFE＝∠D＝90°，
∴四边形 CDEF 是矩形．
∴CD＝EF．
∵∠ABE+∠BAE＝90°，∠ABE+∠CBF＝90°，
∴∠BAE＝∠CBF，
∴在△BAE 与△CBF 中
∴ ，
∴△BAE≌△CBF．（AAS）
∴AE＝BF．
∴BE＝BF+EF＝AE+CD．
26．已知：如图，四边形 ABCD 中，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，求四边形 ABCD
的面积．【分析】先根据勾股定理求出 AC 的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD 的形状，
再利用三角形的面积公式求解即可．
【解答】解：连接 AC．
∵∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2，
∴AC＝ ＝ ，
在△ACD 中，AC2+CD2＝5+4＝9＝AD2，
∴△ACD 是直角三角形，
∴S 四边形 ABCD＝ AB•BC+ AC•CD，
＝ ×1×2+ × ×2，
＝1+ ．
故四边形 ABCD 的面积为 1+ ．
27．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是 1，每个小格的顶点叫做格点．
（1）在图 1 中以格点为顶点画一个面积为 10 的正方形；
（2）在图 2 中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为 2、 、 ；
（3）如图 3，点 A、B、C 是小正方形的顶点，求∠ABC 的度数．
【分析】（1）根据勾股定理画出边长为 的正方形即可；
（2）根据勾股定理和已知画出符合条件的三角形即可；
（3）连接 AC、CD，求出△ACB 是等腰直角三角形即可．【解答】
解：（1）如图 1 的正方形的边长是 ，面积是 10；
（2）如图 2 的三角形的边长分别为 2， ， ；
（3）如图 3，连接 AC，CD，
则 AD＝BD＝CD＝ ＝ ，
∴∠ACB＝90°，
由勾股定理得：AC＝BC＝ ＝ ，
∴∠ABC＝∠BAC＝45°．
28．已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点 P 从点 B 出发沿射
线 BC 以 1cm/s 的速度移动，设运动的时间为 t 秒．
（1）求 BC 边的长；
（2）当△ABP 为直角三角形时，求 t 的值；
（3）当△ABP 为等腰三角形时，求 t 的值．
【分析】（1）直接根据勾股定理求出 BC 的长度；
（2）当△ABP 为直角三角形时，分两种情况：①当∠APB 为直角时，②当∠BAP 为直角
时，分别求出此时的 t 值即可；
（3）当△ABP 为等腰三角形时，分三种情况：①当 AB＝BP 时；②当 AB＝AP 时；③当 BP
＝AP 时，分别求出 BP 的长度，继而可求得 t 值．
【解答】解：（1）在 Rt△ABC 中，BC2＝AB2﹣AC2＝52﹣32＝16，
∴BC＝4（cm）；（2）由题意知 BP＝tcm，
①当∠APB 为直角时，点 P 与点 C 重合，BP＝BC＝4cm，即 t＝4；
②当∠BAP 为直角时，BP＝tcm，CP＝（t﹣4）cm，AC＝3cm，
在 Rt△ACP 中，
AP2＝32+（t﹣4）2，
在 Rt△BAP 中，AB2+AP2＝BP2，
即：52+[32+（t﹣4）2]＝t2，
解得：t＝ ，
故当△ABP 为直角三角形时，t＝4 或 t＝ ；
（3）①当 AB＝BP 时，t＝5；
②当 AB＝AP 时，BP＝2BC＝8cm，t＝8；
③当 BP＝AP 时，AP＝BP＝tcm，CP＝（4﹣t）cm，AC＝3cm，
在 Rt△ACP 中，AP2＝AC2+CP2，
所以 t2＝32+（4﹣t）2，
解得：t＝ ，
综上所述：当△ABP 为等腰三角形时，t＝5 或 t＝8 或 t＝ ．
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