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2020 届高三模拟考试试卷
数 学
(满分 160 分，考试时间 120 分钟)
2020．1
参考公式：
锥体的体积公式：V 锥体＝1
3Sh，其中 S 为锥体的底面积，h 为高．
一、 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．
1. 已知集合 A＝{－1，0，2}，B＝{－1，1，2}，则 A∩B＝________．
2. 已知复数 z 满足(1＋i)z＝2i，其中 i 是虚数单位，则 z 的模为________．
a←1
i←1
While i≤4
a←a＋i
i←i＋1
End While
Print a
(第 4 题)
3. 某校高三数学组有 5 名党员教师，他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次
为 35，35，41，38，51，则这 5 名党员教师学习积分的平均值为________．
4. 根据如图所示的伪代码，输出 a 的值为________．
5. 已 知 等 差 数 列 {an} 的 公 差 d 不 为 0 ， 且 a1 ， a2 ， a4 成 等 比 数 列 ， 则 a1
d的 值 为
________．
6. 将 一 枚 质 地 均 匀 的 硬 币 先 后 抛 掷 3 次 ， 则 恰 好 出 现 2 次 正 面 向 上 的 概 率 为
________．
7. 在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，AA1＝AB＝2，则三棱锥 A1BB1C1 的体积为________．
8. 已知函数 f(x)＝sin(ωx－
π
3 )(ω>0)．若当 x＝
π
6 时，函数 f(x)取得最大值，则 ω 的最小
值为________．
9. 已知函数 f(x)＝(m－2)x2＋(m－8)x(m∈R)是奇函数．若对于任意的 x∈R，关于 x 的
不等式 f(x2＋1)b>0)的焦距为 4，两条准线间的
距离为 8，A，B 分别为椭圆 E 的左、右顶点．
(1) 求椭圆 E 的标准方程；
(2) 已知图中四边形 ABCD 是矩形，且 BC＝4，点 M，N 分别在边 BC，CD 上，AM 与
BN 相交于第一象限内的点 P.
①若 M，N 分别是 BC，CD 的中点，求证：点 P 在椭圆 E 上；
②若点 P 在椭圆 E 上，求证：BM
CN为定值，并求出该定值．4
18. (本小题满分 16 分)
在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转．如
图，小卢利用图形的旋转设计某次活动的徽标，他将边长为 a 的正三角形 ABC 绕其中心 O
逆时针旋转 θ 到三角形 A1B1C1，且 θ∈(0，2π
3 )．顺次连结 A，A1，B，B1，C，C1，A，得
到六边形徽标 AA1BB1CC1.
(1) 当 θ＝
π
6 时，求六边形徽标的面积；
(2) 求六边形徽标的周长的最大值．5
19. (本小题满分 16 分)
已知数列{an}满足：a1＝1，且当 n≥2 时，an＝λan－1＋1－（－1）n
2 (λ∈R)．
(1) 若 λ＝1，求证：数列{a2n－1}是等差数列；
(2) 若 λ＝2.
①设 bn＝a2n＋2
3，求数列{bn}的通项公式；
②设 Cn＝ 1
n·3n 求证：对于任意的 p，m∈N*，当 p>m 时，都有 Cp≥Cm.6
20. (本小题满分 16 分)
设函数 f(x)＝(ax－1
x－a)ex(a∈R)，其中 e 为自然对数的底数．
(1) 当 a＝0 时，求函数 f(x)的单调减区间；
(2) 已知函数 f(x)的导函数 f′(x)有三个零点 x1，x2，x3(x10)，令 x＝2 2，得 yM＝4 2k1.
设直线 BP 的方程为 y＝k2(x－2 2)(k20，y0>0)，则x
8＋y
4＝1，
所以 k1k2＝ y0－0
x0＋2 2
· y0－0
x0－2 2
＝ y
x－8＝
1
2（8－x）
x－8 ＝－1
2，
所以BM
CN＝ 2
2 .(14 分)
18. 解：连结 OA，OA1，OB，OB1，OC，OC1.在正三角形 ABC 中，∠AOB＝2π
3 ，OA
＝2
3× 3
2 a＝ 3
3 a，∠AOA1＝θ，∠A1OB＝2π
3 －θ.(2 分)11
当正三角形 ABC 绕中心 O 逆时针旋转到正三角形 A1B1C1 位置时，
有 OA＝OB＝OC＝OA1＝OB1＝OC1，∠AOA1＝∠BOB1＝∠COC1＝θ，
∠A1OB＝∠B1OC＝∠C1OA，
所以△AOA1≌△BOB1≌△COC1，△A1OB≌△B1OC≌△C1OA，
所以 AA1＝BB1＝CC1，A1B＝B1C＝C1A.(4 分)
(1) 当 θ＝
π
6 时，设六边形徽标的面积为 S，则
S＝3(S△AOA1＋S△A1OB)＝3×(1
2OA1·OAsin ∠AOA1＋1
2OA1·OBsin ∠A1OB)(6 分)
＝3×(1
2× 3
3 a× 3
3 a×sin
π
6 ＋1
2× 3
3 a× 3
3 asin
π
2 )＝3
4a2.
答：当 θ＝
π
6 时，六边形徽标的面积为 3
4a2.(9 分)
(2) 设六边形徽标的周长为 l，则
l＝3(AA1＋A1B)＝3[2OAsin θ
2＋2OA1sin(
π
3 －θ
2)](11 分)
＝2 3a(1
2sin θ
2＋ 3
2 cos θ
2)＝2 3asin(θ
2＋
π
3 )，θ∈(0，2π
3 )．(13 分)
所以当θ
2＋
π
3 ＝
π
2 ，即 θ＝
π
3 时，l 取最大值 2 3a.
答：六边形徽标的周长的最大值为 2 3a.(16 分)
19. (1) 证明：λ＝1 时，由 a1＝1，an＝an－1＋1－（－1）n
2 (n≥2)，得{a2n＋1＝a2n＋1，
a2n＝a2n－1， (2
分)
所以 a2n＋1＝a2n－1＋1，即 a2n＋1－a2n－1＝1(常数)，
所以数列{a2n－1}是首项为 1，公差为 1 的等差数列．(4 分)
(2) ①解：λ＝2 时，a1＝1，n≥2 时，an＝2an－1＋1－（－1）n
2 .
n≥2 时，{a2n＝2a2n－1，
a2n－1＝2a2n－2＋1，所以 a2n＝4a2n－2＋2，(6 分)
所以 a2n＋2
3＝4(a2n－2＋2
3)．
又 bn＝a2n＋2
3，所以 bn＝4bn－1.(8 分)
又 b1＝a2＋2
3＝2a1＋2
3＝8
3≠0，所以 bn
bn－1＝4(常数)．
所以数列{bn}是首项为8
3，公比为 4 的等比数列，
所以数列{bn}的通项公式为 bn＝8
3·4n－1＝2
3·4n(n∈N*)．(10 分)
②证明：由①知，a2n＝bn－2
3＝2
3(4n－1)，a2n－1＝1
2a2n＝1
3(4n－1)．
所以12
所以 Cn＝ 1
n·3n[4（4n－1）
3 －n](n∈N*)．(12 分)
所 以 Cn ＋ 1 － Cn ＝
4
3（4n＋1－1）－（n＋1）
（n＋1）·3n＋1 －
4
3（4n－1）－n
n·3n ＝
（n－3）·4n＋1＋6n2＋14n＋12
n（n＋1）·3n＋2 .(14 分)
当 n＝1 时，C2－C1＝0，所以 C2＝C1；当 n＝2 时，C3－C2＝0，所以 C3＝C2；当 n≥3，
Cn＋1－Cn>0，所以 Cn＋1>Cn.
所以若 p>m(p，m∈N*)，则 Cp≥Cm.(16 分)
20. (1) 解 ： a ＝ 0 时 ， f(x) ＝ －
ex
x ， 其 定 义 域 为 ( － ∞ ， 0)∪(0 ， ＋ ∞) ， f ′ (x) ＝
（1－x）ex
x2 .
令 f′(x)1，所以函数 f(x)的单调减区间为(1，＋∞)．(3 分)
(2) ①解：f′(x)＝
（ax3－x＋1）ex
x2 ，设 g(x)＝ax3－x＋1，则导函数 f′(x)有三个零点，即函
数 g(x)有三个非零的零点．
又 g′(x)＝3ax2－1，若 a≤0，则 g′(x)＝3ax2－10.(5 分)
令 g′(x)＝0，x＝± 1
3a.列表如下：
x (－∞，－ 1
3a) － 1
3a (－ 1
3a， 1
3a) 1
3a ( 1
3a，＋∞)
g′(x) ＋ 0 － 0 ＋
g(x) 极大值 极小值
所以{g（ 1
3a） < 0，
g（－ 1
3a） > 0，
即{a（ 1
3a）3－ 1
3a＋1 < 0，
a（－ 1
3a）3＋ 1
3a＋1 > 0，
解得 00，所以 g(x)在(－ 1
3a， 1
3a)上有且只有 1 个非零的零点．
因为当 00)，且 p(m1)＝p(m2)＝0，所以 m1m2＝－1
a
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