2020高考数学（文）二轮总复习专题限时训练1-3-3立体几何综合（Word版带解析）

专题限时训练　(小题提速练) (建议用时：30 分钟) 一、选择题 1．若平面 α，β 的法向量分别为 n1＝(2,3,5)，n2＝(－3,1，－4)，则(　　) A．α∥β B．α⊥β C．α，β 相交但不垂直 D．以上均有可能 解析：因为不存在实数 λ 使得 n1＝λn2，因此 n1 与 n2 不平行，又 n1·n2＝2×(－3)＋ 3×1＋5×(－4)＝－23≠0，所以 n1 与 n2 不垂直，从而平面 α，β 相交但不垂直．故 选 C. 答案：C 2．已知空间中两点 P1(x,3,2)和 P2(5,7,4)的距离为 6，则实数 x 的值为(　　) A．1 B.9 C．1 或 9 D.－1 或 9 解析：空间中两点 P1(x,3,2)和 P2(5,7,4)的距离为 6， 可得 (x－5)2＋(3－7)2＋(2－4)2＝6，解得 x＝1 或 x＝9. 答案：C 3．平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中，向量AB → ，AD → ，AA1→ 两两的夹角均为 60°，且|AB → |＝1，|AD → |＝2，|AA1→ |＝3，则|AC1→ |等于(　　) A．5 B.6 C．4 D.8 解析：设AB → ＝a，AD → ＝b，AA1→ ＝c，则AC1→ ＝a＋b＋c， AC1→ 2＝a2＋b2＋c2＋2a·c＋2b·c＋2c·a＝25，因此|AC1→ |＝5. 答案：A 4．设 O－ABC 是四面体，G1 是△ABC 的重心，G 是 OG1 上一点，且 OG＝3GG1， 若OG → ＝xOA → ＋yOB → ＋zOC → ，则(x，y，z)为(　　)A.( 1 4 ，1 4 ，1 4) B.( 3 4 ，3 4 ，3 4) C.( 1 3 ，1 3 ，1 3) D.( 2 3 ，2 3 ，2 3) 解析：OG1→ ＝OA → ＋AG1→ ＝OA → ＋2 3 ×1 2(AB → ＋AC → )＝OA → ＋1 3[(OB → －OA → )＋(OC → －OA → )]＝1 3 (OA → ＋OB → ＋OC → )，由 OG＝3GG1 知，OG → ＝3 4OG1→ ＝1 4(OA → ＋OB → ＋OC → )， ∴(x，y，z)＝ ( 1 4 ，1 4 ，1 4). 答案：A 5．已知直线 l 的方向向量为 l，直线 m 的方向向量为 m，若 l＝α b＋β c(α，β∈ R)，m∥a，a⊥b，a⊥c 且 a≠0，则直线 m 与直线 l(　　) A．共线 B.相交 C．垂直 D.不共面 解析：由 m∥a 且 a≠0，可设 m＝ta(t∈R)，所以 m·l＝m·(α b＋β c)＝α m·b＋β m·c ＝α ta·b＋β ta·c＝0，故 m 与 l 垂直，即直线 m 与直线 l 垂直． 答案：C 6．如图，在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中，M 为 AC 与 BD 的交点．若A1B1→ ＝ a，A1D1→ ＝b，A1A → ＝c，则下列向量中与B1M → 相等的向量是(　　) A．－1 2a＋1 2b＋c B.1 2a＋1 2b＋c C.1 2a－1 2b＋c D.－1 2a－1 2b＋c解析：由题意知，B1M → ＝B1A1→ ＋A1A → ＋AM → ＝B1A1→ ＋A1A → ＋1 2AC → ＝－a＋c＋1 2(a＋b)＝ －1 2a＋1 2b＋c.故应选 A. 答案：A 7．已知向量 a＝(2，－1,2)，b＝(2,2,1)，则以 a，b 为邻边的平行四边形的面积为(　　) A. 65 2 B. 65 C.4 D.8 解析：设向量 a 和 b 的夹角是 θ.则由空间向量的数量积公式得 cos θ＝ a·b |a||b| ＝ 4－2＋2 4＋4＋1 4＋1＋4 ＝4 9 ，∴sin θ＝ 1－16 81 ＝ 65 9 ，所以以 a 和 b 为邻边的平行四边 形的面积 S＝2×1 2 ×|a|×|b|× 65 9 ＝ 65.故选 B. 答案：B 8．平面 α 的一个法向量为 n＝(1，－ 3，0)，则 y 轴与平面 α 所成的角的大小为(　　) A.π 6 B.π 3 C.π 4 D.5π 6 解析：y 轴的方向向量为 m＝(0,1,0)，设 y 轴与平面 α 所成的角为 θ.则 sin θ＝|cos|＝ | m·n |m||n||＝ | － 3 2 × 1|＝ 3 2 ，∴θ＝π 3. 答案：B 9．在棱长为 1 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M，N 分别是 A1B1 和 BB1 的中点， 则直线 AM 与 CN 所成角 α 的余弦值为(　　) A.2 5 B.1 5C. 10 10 D.2 6 5 解析：以 D 点为坐标原点，分别以 DA，DC，DD1 所在的直线为 x 轴，y 轴，z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系． 则 A(1,0,0)，M(1，1 2 ，1)，C(0,1,0)，N(1，1，1 2)， ∴AM → ＝ (0，1 2 ，1)， CN → ＝ (1，0，1 2). 故AM → ·CN → ＝0×1＋1 2 ×0＋1×1 2 ＝1 2 ， |AM → |＝ 02＋( 1 2 )2＋12＝ 5 2 ， |CN → |＝ 12＋02＋( 1 2 )2＝ 5 2 . ∴cos α＝ |AM → ·CN → | |AM → ||CN → | ＝ 1 2 5 2 × 5 2 ＝2 5. 即直线 AM 与 CN 所成角 α 的余弦值为2 5.故选 A. 答案：A 10．如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E，F 分别是 AB，AD 的中点，GC⊥平 面 ABCD，且 GC＝2，则点 B 到平面 EFG 的距离为(　　)A.2 10 11 B.2 11 11 C. 6 11 D.1 解析：以 C 点为坐标原点，分别以 CD，CB，CG 所在的直线为 x 轴，y 轴，z 轴， 建立空间直角坐标系． ∴F(4,2,0)，E(2,4,0)，G(0,0,2)，B(0,4,0)，∴FE → ＝(－2,2,0)，EG → ＝(－2，－4,2)．所 以平面 EFG 的一个法向量为 m＝(1,1,3)∴d＝ |BE → ·m| |m| ＝2 11 11 . 答案：B 11．如图，平面 ABCD⊥平面 ABEF，四边形 ABCD 是正方形，四边形 ABEF 是矩 形，且 AF＝1 2AD＝a，G 是 EF 的中点，则 GB 与平面 AGC 所成角的正弦值为(　　) A. 6 6 B. 3 3 C. 6 3 D. 2 3 解析：如图，以 A 点为坐标原点建立空间直角坐标系． 则 A(0,0,0)，B(0,2a,0)，C(0,2a,2a)，G(a，a,0)，AG → ＝(a，a,0)，AC → ＝(0,2a,2a), BG → ＝(a，－a,0)． 设平面 AGC 的法向量为 n＝(x1，y1,1)． 由Error!⇒Error!⇒Error!⇒n＝(1，－1,1)． sin θ＝ |BG → ·n| |BG → ||n| ＝ 2a 2a × 3 ＝ 6 3 . 答案：C 12．过正方形 ABCD 的顶点 A 作线段 PA⊥平面 ABCD，若 AB＝PA，则 PB 与平面 CDP 所成的角为(　　) A．30° B.45° C．60° D.90° 解析：建立如图所示空间直角坐标系．设 AB＝PA＝1，知 A(0,0,0)，B(1,0,0)， D(0,1,0)，C(1,1,0)，P(0,0,1)，PB → ＝(1,0，－1)． 由题意知，AD⊥平面 ABP，设 E 为 PD 的中点，则 E(0，1 2 ，1 2). 连接 AE，则 AE⊥PD. 又∵CD⊥平面 PAD，∴AE⊥CD，又 PD∩CD＝D，∴AE⊥平面 CDP.∴ AE → ＝ (0，1 2 ，1 2)为平面 CDP 的法向量． 则 PB 与平面 CDP 所成角的正弦值 sin α＝|cos θ|＝ | －1 2 2 2 × 2|＝1 2 ，所以为 30°. 答案：A 二、填空题 13．已知向量 a，b，c 是空间的一个单位正交基底，向量 a＋b，a－b，c 是空间的 另一个基底，若向量 m 在基底 a，b，c 下的坐标为(3,5,9)，则 m 在基底 a＋b，a－ b,3c 下的坐标为________． 解析：由题意得 m＝3a＋5b＋9c. 设 m＝x(a＋b)＋y(a－b)＋3zc. 则有Error!得Error! 所以 m 在基底 a＋b，a－b,3c 下的坐标为(4，－1,3)． 答案：(4，－1,3)14．如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2.若二面 角 B1－DC－C1 的大小为 60°，则 AD 的长为______． 解析：如图，以 C 为坐标原点，CA，CB，CC1 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建 立空间直角坐标系．则 C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,2,2)，C1(0,0,2)． 设 AD＝a，则 D(1,0，a)，CD → ＝(1,0，a)，CB1→ ＝(0,2,2)． 设平面 B1CD 的一个法向量为 m＝(x，y，z)． 则Error!⇒Error!令 z＝－1， 得 m＝(a,1，－1)，又平面 C1DC 的一个法向量为 n＝(0,1,0)． 则由 cos 60°＝ m·n |m||n| 得， 1 a2＋2 ＝1 2 ，即 a＝ 2. 故 AD＝ 2. 答案： 2 15．在三棱锥 O－ABC 中，三条棱 OA，OB，OC 两两垂直，且 OA＝OB＝OC，M 是 AB 边的中点，则 OM 与平面 ABC 所成角的正切值是________． 解析：如图所示建立空间直角坐标系，设 OA＝OB＝OC＝1，则 A(1,0,0)， B(0,1,0)，C(0,0,1)，M( 1 2 ，1 2 ，0).故AB → ＝(－1,1,0)，AC → ＝(－1,0,1)， OM → ＝ ( 1 2 ，1 2 ，0). 设平面 ABC 的法向量为 n＝(x，y，z)． 则Error!得Error! 令 x＝1，得 n＝(1,1,1)． 故 cos〈n，OM → 〉＝ 1 3 × 2 2 ＝ 6 3 ， 所以 OM 与平面 ABC 所成角的正弦值为 6 3 ，其正切值为 2. 答案： 2 16．如图所示，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，底面是以∠ABC 为直角的等腰直角 三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D 是 A1C1 的中点，点 F 在线段 AA1 上，当 AF＝________ 时，CF⊥平面 B1DF. 解析：方法一　由已知得 B1D⊥平面 AC1， 又 CF⊂平面 AC1，∴B1D⊥CF， 故若 CF⊥平面 B1DF，则必有 CF⊥DF. 设 AF＝x(0＜x＜3a)，则 CF2＝x2＋4a2， DF2＝a2＋(3a－x)2.又 CD2＝a2＋9a2＝10a2， ∴10a2＝x2＋4a2＋a2＋(3a－x)2， 解得 x＝a 或 x＝2a. ∴当 AF＝a 或 AF＝2a 时，CF⊥平面 B1DF.方法二　分别以 BA，BC，BB1 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系 B －xyz. 则 B(0,0,0)，B1(0,0,3a)， 设 F( 2a,0，m)，D( 2 2 a， 2 2 a，3a)，C(0， 2a,0)， CF → ＝( 2a，－ 2a，m)，B1D → ＝ ( 2 2 a， 2 2 a，0)， B1F → ＝( 2a,0，m－3a)， ∵CF⊥面 B1DF，∴CF⊥B1F，CF → ⊥B1D → ， 即CF → ·B1D → ＝0，CF → ·B1F → ＝0， 可得 2a2＋m(m－3a)＝0，解得 m＝a 或 m＝2a. ∴当 AF＝a 或 AF＝2a 时，CF⊥平面 B1DF. 答案：a 或 2a 专题限时训练　(大题规范练) (建议用时：60 分钟) 1．如图所示，△BCD 与△MCD 都是边长为 2 的正三角形，平面 MCD⊥平面 BCD，AB⊥平面 BCD，AB＝2 3. (1)求证：AB∥平面 MCD； (2)求平面 ACM 与 MD 所成角的正弦值． 解析：(1)证明：取 CD 中点 O，连接 MO. 因为△MCD 为正三角形，所以 MO⊥CD. 由于平面 MCD⊥平面 BCD，所以 MO⊥平面 BCD. 又因为 AB⊥平面 BCD，所以 AB∥MO. 又 AB⊄平面 MCD，MO⊂平面 MCD， 所以 AB∥平面 MCD.(2)连接 OB，则 OB⊥CD，又 MO⊥平面 BCD， 取 O 为原点，直线 OC，BO，OM 为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如 图所示． OB＝OM＝ 3，则各点坐标分别为 C(1,0,0)，M(0,0， 3)，B(0，－ 3，0)， A(0，－ 3，2 3)，D(－1,0,0)． CM → ＝(－1,0， 3)，CA → ＝(－1，－ 3，2 3)， MD → ＝(－1,0，－ 3)． 设平面 ACM 的法向量为 n＝(x，y，z)， 由Error!得Error! 取 z＝1，得 n＝( 3，1,1)． 则 MD 与平面 BCD 所成角的正弦值 sin α＝|cos θ|＝ | MD → ·n MO → ·n|＝ | － 3－ 3 5 × 2|＝ 15 5 . 2．如图所示的多面体是由一个直平行六面体被平面 AEFG 所截后得到的，其中∠ BAE＝∠GAD＝45°，AB＝2AD＝2，∠BAD＝60°. (1)求证：平面 BDG⊥平面 ADG； (2)求直线 GB 与平面 AEFG 所成角的正弦值． 解析：(1)证明：在△BAD 中，因为 AB＝2AD＝2，∠BAD＝60°，由余弦定理得，BD2＝AD2＋AB2－2AB·ADcos 60°， 解得 BD＝ 3. ∵AB2＝AD2＋DB2，∴AD⊥DB， 在直平行六面体中，GD⊥平面 ABCD， DB⊂平面 ABCD， ∴GD⊥DB， 又 AD∩GD＝D，∴BD⊥平面 ADG， ∴平面 BDG⊥平面 ADG. (2)如图以 D 为原点建立空间直角坐标系 D－xyz， 因为∠BAE＝∠GAD＝45°， AB＝2AD＝2， 所以 A(1,0,0)，B(0，3，0)，E(0，3，2)，G(0,0,1)，AE → ＝(－1，3，2)， AG → ＝(－1,0,1)，GB → ＝(0，3，－1)． 设平面 AEFG 的法向量 n＝(x，y，z)， 则Error! 令 x＝1，得 y＝－ 3 3 ，z＝1， ∴n＝ (1，－ 3 3 ，1). 设直线 GB 和平面 AEFG 的夹角为 θ， 所以 sin θ＝|cos〈GB → ，n〉|＝ | GB → ·n |GB → ||n||＝ 21 7 ， 所以直线 GB 与平面 AEFG 所成角的正弦值为 21 7 .