人教版九年级数学下册第27章：《相似》单元练习卷（含答案）.doc

2020 年春人教版数学九年级下册 《相似》单元练习卷 姓名：___________班级：___________考号：___________ 第Ⅰ卷（选择题） 一．选择题 1．若 a、b、c、d 是成比例线段，其中 a＝5cm，b＝2.5cm，c＝10cm，则线段 d 的长为（  ） A．2cm B．4cm C．5cm D．6cm 2．已知线段 a 是线段 b，c 的比例中项，则（  ） A． B． C． D． 3．如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在 AB，AC 边上，且 ＝ ＝ ，若 S 四边形 BCED＝kS△ ADE，则 k 的值为（  ） A．3 B．6 C．8 D．9 4．在△ABC 中，DE∥FG∥BC，且 AD：AF：AB＝1：2：4，则S△ADE：S 四边形 DFGE：S 四边形 FBCG 等于（  ） A．1：2：4 B．1：4：16 C．1：3：12 D．1：3：7 5．如图，小芳在地面上放置一个平面镜 E 来测量铁塔 AB 的高度，镜子与铁塔的距离 BE＝20 米，镜子与小芳的距离 ED＝2 米时，小芳刚好从镜子中看到铁塔顶端 A，已知小芳的眼睛 距地面的高度 CD＝1.5 米， 铁塔 AB 的高度为（  ）（根据光的反射原理，∠1＝∠2） A．18m B．15m C．20m D．16m 6．如图，在△ABC 中，D、E、F 分别是边 BC、AC、AB 上一点，连接 BE 交 FD 于点 G，若四 边形 AFDE 是平行四边形，则下列说法错误的是（  ） A． B． C． D． 7．如图，正方形 ABCD 边长为 3，M、N 在对角线 AC 上，且∠MBN＝45°，作 ME⊥AB 于点 E， NF⊥BC 于点 F，反向延长 ME、NF 交于点 G，则 GE•GF 的值是（  ） A．3 B．3 C．3 D． 8．如图，在▱ABCD 中，E、F 分别是边 BC、CD 的中点，AE、AF 分别交 BD 于点 G、H，则图中 阴影部分图形的面积与▱ABCD 的面积之比为（  ） A．7：12 B．7：24 C．13：36 D．13：72 9．如图，四边形 ABCD 与四边形 GBEF 是位似图形，则位似中心是（  ） A．点 A B．点 B C．点 F D．点 D 10．如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在 AB ，AC 上，DE∥BC，且 DE 将△ABC 分成面积相等 的两部分，那么 的值为（  ） A． ﹣1 B． +1 C．1 D． 11．如图，△ABC 中，∠A＝65°，AB＝6，AC＝3，将△ABC 沿图中的虚线剪开，剪下的阴影 三角形与原三角形不构成相似的是（  ） A． B． C． D． 12．如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，CE 平分∠BCD 交 AB 于点 E，交 BD 于点 F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接 OE．下列结论： ①EO⊥AC；②S△AOD＝4S△OCF；③AC：BD＝ ：7；④FB2＝OF•DF．其中正确的是（  ） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①③ 第Ⅱ卷（非选择题） 二．填空题 13．点 C 是线段 AB 的黄金分割点，若 AB＝2cm，则较长线段 BC 的长是   ． 14．已知 ＝ ，则 ＝   ． 15．如果一个矩形的宽与长的比等于黄金数 （约为 0.618），就称这个矩形为黄金矩 形．如图，矩形 ABCD 为黄金矩形，宽 AD＝ ，则长 AB 为   ． 16．如图，在平面直角坐标系中有两点 A（6，0）和 B（6，3），以原点 O 为位似中心，相似 比为 ，把线段 AB 缩短为线段 CD，其中点 C 与点 A 对应，点 D 与点 B 对应，且 CD 在 y 轴右侧，则点 D 的坐标为   ． 17．如图，四边形 ABCD 和四边形 ACED 都是平行四边形，点 R 为 DE 的中点，BR 分别交 AC， CD 于点 P，Q．平行四边形 ABCD 的面积为 6，则图中阴影部分的面积为   ． 三．解答题 18．如图，在△ABC 中，∠CAB＝90°，D 是边 BC 上一点，AB2＝BD•BC，E 为线段 AD 中点， 连结 CE 并延长交 AB 于点 F． （1）求证：AD⊥BC． （2）若 AF：BF＝1：3，求证：CD：DB＝1：2． 19．阅读下面材料： 小军遇到这样一个问题：如图 1，在△ABC 中，AB＝AC，P 是△ABC 内一点， ∠PAC＝∠PCB＝∠PBA．若∠ACB＝45°，AP＝1，求 BP 的长． 小军的思路是：根据已知条件可以证明△ACP∽△CBP，进一步推理可得 BP 的长． 请回答：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB． ∵∠PCB＝∠PBA， ∴∠PCA＝   ． ∵∠PAC＝∠PCB， ∴△ACP∽△CBP． ∴ ． ∵∠ACB＝45°， ∴∠BAC＝90°． ∴ ＝   ． ∵AP＝1， ∴PC＝ ． ∴PB＝   ． 参考小军的思路，解决问题： 如图 1，在△ABC 中，AB＝AC，P 是△ABC 内一点，∠PAC＝∠PCB＝∠PBA．若∠ACB＝30 °，求 的值； 20．已知：如图 1，在△ABC 中，AB＝AC，点 D、E 分别在边 BC、DC 上，AB2＝BE•DC，DE：EC ＝3：1，F 是边 AC 上的一点，DF 与 AE 交于点 G． （1）找出图中与△ACD 相似的三角形，并说明理由； （2）当 DF 平分∠ADC 时，求 DG：DF 的值； （3）如图 2，当∠BAC＝90°，且 DF⊥AE 时，求 DG：DF 的值． 21．已知不等臂跷跷板 AB 长为 3 米．跷跷板 AB 的支撑点 O 到地面的点 H 的距离 OH＝0.6 米．当跷跷板 AB 的一个端点 A 碰到地面时（如图 1），AB 与直线 AH 的夹角∠OAH 的度数 为 30°． （1）当 AB 的另一个端点 B 碰到地面时（如图 2），跷跷板 AB 与直线 BH 的夹角∠ABH 的 正弦值是多少？ （2）当 AB 的另一个端点 B 碰到地面时（如图 2），点 A 到直线 BH 的距离是多少米？ 22．如图，已 知 A、B 两点的坐标分别为（4，0）和（0，3），动点 P 从点 A 出发，以每秒 2 个长度单位的速度沿 AO 向 O 运动，在点 P 出发的同时，动直线 EF 从 x 轴出发，以每秒 1 个长度单位沿 y 轴方向向上平移，分别与 y 轴、线段 AB 交于 EP、FP．设运动时间为 ts （0＜t≤2）． （1）在运动过程中，是否存在某一时刻 t，使得△EOP 与△AOB 相似？若存在，请求出所 有符合题意的 t 的值；若不存在，请说明理由． （2）若△PEF 是等腰三角形，求 t 的值． 参考答案 一．选择题 1．解：已知 a，b，c，d 是成比例线段， 根据比例线段的定义得：ad＝cb， 代入 a＝5cm，b＝2.5cm，c＝′0cm， 解得：d＝5． 故线段 d 的长为 5cm． 故选：C． 2．解：∵线段 a 是线段 b，c 的比例中项， ∴a2＝bc， 由 A 得，b2＝ac，故错误； 由 B 得，a2＝bc，故正确； 由 C 得，c2＝ab，故错误； 由 D 得，ba2＝ac，故错误； 故选：B． 3．解：∵ ＝ ＝ ，∠A＝∠A ∴△ADE∽△ABC ∴S△ADE：S△ABC＝1：9 ∴S 四边形 BCED：S△ADE＝8：1 ∵S 四边形 BCED＝kS△ADE， ∴k＝8 故选：C． 4．解：∵DE∥FG∥BC， ∴△ADE∽△AFG∽△ABC， ∵AD：AF：AB＝1：2：4， ∴S△ADE：S△AFG：S△ABC＝1：4：16， 设△ADE 的面积是 a，则△AFG 和△ABC 的面积分别是 4a，16a， 则 S 四边形 DFGE 和 S 四边形 FBCG 分别是 3a，12a， ∴S△ADE：S 四边形 DFGE：S 四边形 FBCG＝1：3：12． 故选：C． 5．解：由镜面对称可知：△CDE∽△ABE， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ， ∴AB＝15 米． 故选：B． 6．解：∵四边形 AFDE 是平行四边形， ∴DF∥AC，DE∥AF， ∴ ， ， 故 A，B 正确， ∵DF∥AC， ∴ ， 故 C 错误； ∵DF∥AC， ∴ ， ∵四边形 AFDE 是平行四边形， ∴AF＝DE， ∴ ， 故 D 正确； 故选：C． 7．解：如图所示，过 M 作 MQ⊥BC 于 Q，过 N 作 NP⊥AB 于 P，则 Rt△APN 中，AN＝ PN＝ EG， Rt△CMQ 中，CM＝ MQ＝ GF， ∵正方形 ABCD 中，AC 是对角线， ∴∠BAN＝∠MCB＝45°， 又∵∠MBN＝45°， ∴∠ABN＝∠ABM+45°＝∠CMB， ∴△ABN∽△CMB， ∴ ＝ ，即 CM×AN＝AB×CB， ∴ GF× EG＝9，即 2GF×EG＝9， ∴GE•GF 的值是 ， 故选：D． 8．【解答】解：∵BE∥AD，E 是 B 的中点， ∴△BEG∽△DAG， ∴ ＝ ＝ ，即 BG＝ BD ， 同理可得，DH＝ BD， ∴GH＝ BD， ∴S△AGH＝ S△ABD ＝ S 四边形 ABCD， ∵E、F 分别是边 BC、CD 的中点， ∴EF∥BD，EF＝ BD， ∴△CEF∽△CBD， ∴ ＝ ＝ ， ∴S△CEF＝ S△BCD＝ S 四边形 ABCD， ∴图中阴影部分图形的面积＝（ + ）S 四边形 ABCD＝ S 四边形 ABCD， 即图中阴影部分图形的面积与▱ABCD 的面积之比为＝7：24， 故选：B． 9．解：∵四边形 ABCD 与四边形 GBEF 是位似图形， ∴点 A 与点 G 是对应点，点 C 与点 E 是对应点， ∵AG、CE 交于点 B， ∴位似中心的点 B， 故选：B． 10．解：如图所示： ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， 设 DE：BC＝1：x， 则由相似三角形的性质可得： S△ADE：S△ABC＝1：x2 又∵DE 将△ABC 分成面积相等的两部分， ∴x2＝2， ∴x＝ ，即 ＝ ＝ ， 故选：D． 11．解：A、根据平行线截得的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选 项不符合题意； B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； C、两三角形的对应角不一定相等，故两三角形不相似，故本选项符合题意； D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意． 故选：C． 12．解：∵四边形 A BCD 是平行四边形， ∴CD∥AB，OD＝OB，OA＝OC， ∴∠DCB+∠ABC＝180°， ∵∠ABC＝60°， ∴∠DCB＝120°， ∵EC 平分∠DCB， ∴∠ECB＝ ∠DCB＝60°， ∴∠EBC＝∠BCE＝∠CEB＝60°， ∴△ECB 是等边三角形， ∴EB＝BC， ∵AB＝2BC， ∴EA＝EB＝EC， ∴∠ACB＝90°， ∵OA＝OC，EA＝EB， ∴OE∥BC， ∴∠AOE＝∠ACB＝90°， ∴EO⊥AC，故①正确， ∵OE∥BC， ∴△OEF∽△BCF， ∴ ＝ ＝ ， ∴OF＝ OB， ∴S△AOD＝S△BOC＝3S△OCF，故②错误， 设 BC＝BE＝EC＝a，则 AB＝2a，AC＝ a，OD＝OB＝ ＝ a， ∴BD＝ a， ∴AC：BD＝ a： a＝ ：7，故③正确， ∵OF＝ OB＝ a， ∴BF＝ a， ∴BF2＝ a2，OF•DF＝ a•（ a+ a）＝ a2， ∴BF2＝OF•DF，故④正确， 故选：B． 二．填空题（共 5 小题） 13．解：较长线段 BC＝ AB＝ ×2＝（ ﹣1）cm． 故答案为（ ﹣1）cm． 14．解：∵ ＝ ， ∴7a﹣7b＝3a+3b， ∴4a＝10b， ∴ ＝ ， 故答案 为： ． 15．解：∵矩形 ABCD 是黄金矩形，且 AD＝ ， ∴ ， ， ∴AB＝2， 故答案为 2． 16．解：∵以原点 O 为位似中心，相似比为 ，把线段 AB 缩短为线段 CD，B（6，3）， ∴点 D 的坐标为（6× ，3× ），即（3， ）， 故答案为：（3， ）． 17．解：∵四边形 ABCD 和四边形 ACED 都是平行四边形， ∴AD＝BC＝CE，AB∥CD，AC∥DE， ∴平行四边形 ACED 的面积＝平行四边形 ABCD 的面积＝6，△BCP∽△BDE，△ABP∽△CQP ∽△DQR， ∴△ABC 的面积＝△CDE 的面积＝3，CP：ER＝BC：BE＝1：2， ∵点 R 为 DE 的中点， ∴CP：DR＝1：2， ∴CP：AC＝CP：DE＝1：4， ∵S△ABC＝3， ∴S△ABP＝ S△ABC＝ ， ∵CP：AP＝1：3， ∴S△PCQ＝ S△ABP＝ ， ∵CP：DR＝1：2， ∴S△DQR＝4S△PCQ＝1， ∴S 阴影＝S△PCQ+S△DQR ＝ ． 故答案为： ． 三．解答题（共 5 小题） 18．证明：（1）∵AB2＝BD•BC， ∴ ＝ ，又∠B＝∠B， ∴△ABD∽△ CBA， ∴∠BDA＝∠BAC＝90°，即 AD⊥BC． （2）作 EG∥CB 交 AB 于点 G， 则△AEG∽△ADB， ∴ ＝ ＝ ＝ ， ∴BD＝2EG， ∵ ＝ ， ∴ ＝ ， ∵EG∥CB， ∴△FEG∽△FCB， ∴ ＝ ＝ ， ∴BC＝3EG， ∴CB：DB＝3：2． ∴CD：DB＝1：2． 19．阅读材料： 解：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB． ∵∠PCB＝∠PBA， ∴∠PCA＝∠PBC． ∵∠PAC＝∠PCB， ∴△ACP∽△CBP． ∴ ． ∵∠ACB＝45°， ∴∠BAC＝90°． ∴CB＝ AC， ∴ ＝ ． ∵AP＝1， ∴PC＝ AP＝ ． ∴PB＝ PC＝2． 故答案为：∠PBC； ；2； 解决问题： 解：作 AD⊥BC 于 D，如图 2 所示： ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB ＝30°．BD＝CD＝ BC， ∴AD＝ AC，CD＝ AD， ∴AC＝2AD，BC＝2CD＝2 AD， ∵∠PCB＝∠PBA， ∴∠PCA＝∠PBC． ∵∠PAC＝∠PCB， ∴△ACP∽△CBP． ∴ ＝ ＝ ， 设 AP＝a，则 PC＝ ， ∴PB＝3a． ∴ ． 20．解：（1）与△ACD 相似的三角形有：△ABE、△ADC，理由如下： ∵AB2 ＝BE•DC， ∴ ＝ ， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ＝ ， ∴△ABE∽△DCA． ∵△ABE∽△DCA， ∴∠AED＝∠DAC． ∵∠AED＝∠C+∠EAC，∠DAC＝∠DAE+∠EAC， ∴∠DAE＝∠C． ∴△ADE∽△CDA； （2）∵△ADE∽△CDA， 又∵DF 平分∠ADC， ∴ ＝ ＝ ， 设 CE＝a，则 DE＝3CE＝3a，CD＝4a， ∴ ＝ ， 解得：AD＝2 a， ∴ ＝ ＝ ＝ ； （3）∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝45°， ∴∠DAE＝∠C＝45° ∵DG⊥AE， ∴∠DAG＝∠ADF＝45°， ∴AG＝DG＝ AD＝ ×2 a＝ a， ∴EG＝ ＝ ＝ a， ∴AE＝AG+EG＝（ + ）a， ∵∠AED＝∠DAC， ∴△ADE∽△DFA， ∴ ＝ ， ∴DF＝ ＝ ＝4（ ﹣ ）a， ∴ ＝ ＝ ． 21．（1）证明：在 Rt△AOH 中， ∵∠AHO＝90°，∠AOH＝30°，OH＝0.6， ∴AO＝2OH＝2×0.6＝1.2（m）， ∴OB＝AB﹣OA＝3﹣1.2＝1.8（m）， 在 Rt△BOH 中， ∵∠BHO＝90°，OH＝0.6，OB＝1.8， ∴ ； （2）解：过点 A 向直线 BH 作垂线，垂足为 M， 在 Rt△ABM 中， ∵∠AMB＝90°， ，AB＝3， ∴ ， 答：∠ABH 的正弦值为 ，点 A 到直线 BH 的距离是 1 米． 22．解：（1）存在，理由如下： ∵A、B 两点的坐标分别为（4，0）和（0，3）， ∴OA＝4，OB＝3， 当∠EPO＝∠BAO 时，△EOP∽△BOA， ∴ ＝ ，即 ＝ ， 解得：t＝ ； 当∠EPO＝∠ABO 时，△EOP∽△AOB， ∴ ＝ ，即 ＝ ， 解得：t＝ ； 综上所述，存在某一时刻 t，使得△EOP 与△AOB 相似，t 的值为 s 或 s； （2）分三种情况： ①当 PE＝PF 时，如图 1 所示：作 PG⊥EF 于 G，如图 1 所示： 则 PG＝EG＝OP， ∴EF＝2EG＝2OP， ∵EF∥OA， ∴△BEF∽△BOA， ∴ ＝ ，即 ＝ ， 解得：EF＝ （3﹣t）， ∴ （3﹣t）＝2（4﹣2t）， 解得：t＝ ； ②当 EP＝EF 时，t2+（4﹣2t）2＝[ （3﹣t）]2， 整理得：29t2+24t＝0， 解得：t＝0（不合题意舍去）或 t＝﹣ （不合题意舍去）； ③当 FE＝FP 时，作 FG⊥OA 于 G，如图 3 所示： 则 OG＝EF＝ （3﹣t），PG＝OG﹣OP＝ （3﹣t）﹣（4﹣2t）， ∵FE2＝FP2， ∴[ （3﹣t）]2＝t2+[ （3﹣t）﹣（4﹣2t）]2， 解得：t＝16+4 （不合题意舍去）或 t＝16﹣4 ； 综上所述，若△PEF 是等腰三角形，t 的值为 s 或（16﹣4 ）s．