1
2020 届高三模拟考试试卷
数 学
(满分 160 分，考试时间 120 分钟)
2020．1
参考公式：
锥体的体积公式 V＝1
3Sh，其中 S 是锥体的底面积，h 为锥体的高．
样本数据 x1，x2，…，xn 的方差 s2＝1
n (xi－ x
－
)2，其中 x
－
＝1
n xi.
一、 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．
(第 3 题)
1. 已知集合 A＝{－1，0，1}，B＝{x|x2＞0}，则 A∩B＝________．
2. 若复数 z 满足 z·i＝1－i(i 是虚数单位)，则 z 的实部为________．
3. 如图是一个算法的流程图，则输出 S 的值是________．
4. 函数 y＝ 2x－1的定义域是________．
5. 已知一组数据 17，18，19，20，21，则该组数据的方差是________．
6. 某校开设 5 门不同的选修课程，其中 3 门理科类和 2 门文科类，某同学从中任选 2 门
课程学习，则该同学“选到文科类选修课程”的概率为________．
7. 已知函数 f(x)＝{ 1
x－1，x ≤ 0，
－x
2
3
，x＞0，
则 f(f(8))＝________．
8. 函数 y＝3sin(2x＋
π
3 )，x∈[0，π]取得最大值时自变量 x 的值为________．
9. 在等比数列{an}中，若 a1＝1，4a2，2a3，a4 成等差数列，则 a1a7＝________．
10. 已知
cos（π
2 －α）
cos α ＝ 2，则 tan 2α＝________．2
11. 在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 C：x2
a2－y2
b2＝1(a＞0，b＞0)的右顶点为 A，过 A
作 x 轴的垂线与 C 的一条渐近线交于点 B.若 OB＝2a，则 C 的离心率为________．
12. 已知函数 f(x)＝|lg(x－2)|，互不相等的实数 a，b 满足 f(a)＝f(b)，则 a＋4b 的最小值
为________．
13. 在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C：x2－2ax＋y2－2ay＋2a2－1＝0 上存在点 P 到点(0，
1)的距离为 2，则实数 a 的取值范围是________．
14. 在△ABC 中，∠A＝
π
3 ，点 D 满足AD
→
＝2
3AC
→
，且对任意 x∈R，|xAC
→
＋AB
→
|≥|AD
→
－
AB
→
|恒成立，则 cos∠ABC＝________．
二、 解答题：本大题共 6 小题，共 90 分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或
演算步骤．
15. (本小题满分 14 分)
在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a＝1，cos B＝ 3
3 .
(1) 若 A＝
π
3 ，求 sin C 的值；
(2) 若 b＝ 2，求 c 的值．
16.(本小题满分 14 分)
如图，在四棱锥 PABCD 中，PA⊥平面 ABCD，四边形 ABCD 是矩形，AP＝AD，点
M，N 分别是线段 PD，AC 的中点．求证：
(1) MN∥平面 PBC；
(2) PC⊥AM.3
17. (本小题满分 14 分)
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为 F1，
F2，椭圆右顶点为 A，点 F2 在圆 A：(x－2)2＋y2＝1 上．
(1) 求椭圆 C 的标准方程；
(2) 点 M 在椭圆 C 上，且位于第四象限，点 N 在圆 A 上，且位于第一象限，已知AM
→
＝－
13
2 AN
→
，求直线 F1M 的斜率．4
18. (本小题满分 16 分)
请你设计一个包装盒，ABCD 是边长为 10 2 cm 的正方形硬纸片(如图 1)，切去阴影部
分所示的四个全等的等腰三角形，再沿虚线折起，使得 A，B，C，D 四个点重合于图 2 中的
点 P，正好形成一个正四棱锥形状的包装盒(如图 2)，设正四棱锥 PEFGH 的底面边长为
x(cm)．
(1) 若要求包装盒侧面积 S 不小于 75 cm2，求 x 的取值范围；
(2) 若要求包装盒容积 V(cm3)最大，试问 x 应取何值？并求出此时包装盒的容积．5
19. (本小题满分 16 分)
已知函数 f(x)＝(ax2＋2x)ln x＋a
2x2＋1(a∈R)．
(1) 若曲线 y＝f(x)在 x＝1 处的切线的斜率为 2，求函数 f(x)的单调区间；
(2) 若函数 f(x)在区间(1，e)上有零点，求实数 a 的取值范围．(e 为自然对数的底数，e≈
2.718 28…)6
20. (本小题满分 16 分)
设 m 为正整数，若两个项数都不小于 m 的数列{An}，{Bn}满足：存在正数 L，当 n∈N*
且 n≤m 时，都有|An－Bn|≤L，则称数列{An}，{Bn}是“(m，L)接近的”．已知无穷等比数列
{an}满足 8a3＝4a2＝1，无穷数列{bn}的前 n 项和为 Sn，b1＝1，且Sn（bn＋1－bn）
bnbn＋1 ＝1
2，n∈N*.
(1) 求数列{an}通项公式；
(2) 求证：对任意正整数 m，数列{an}，{a2n＋1}是“(m，1)接近的”；
(3) 给定正整数 m(m≥5)，数列{1
an }，{b2n＋k}(其中 k∈R)是“(m，L)接近的”，求 L
的最小值，并求出此时的 k(均用 m 表示)．(参考数据：ln 2≈0.69)7
2020 届高三模拟考试试卷(五)
数学附加题(满分 40 分，考试时间 30 分钟)
21. 【选做题】 在 A，B，C 三小题中只能选做两题，每小题 10 分，共 20 分．若多做，
则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
A. (选修 4-2：矩阵与变换)
已知点(a，b)在矩阵 A＝[1 3
2 4 ]对应的变换作用下得到点(4，6)．
(1) 写出矩阵 A 的逆矩阵；
(2) 求 a＋b 的值．
B. (选修 4-4：坐标系与参数方程)
求圆心在极轴上，且过极点与点 P(2 3，
π
6 )的圆的极坐标方程．
C. (选修 4-5：不等式选讲)
求函数 y＝x－2 x＋6
x＋1
的最小值．8
【必做题】 第 22，23 题，每小题 10 分，共 20 分．解答时应写出必要的文字说明、证
明过程或演算步骤．
22. 批量较大的一批产品中有 30%的优等品，现进行重复抽样检查，共取 3 个样品，以
X 表示这 3 个样品中优等品的个数．
(1) 求取出的 3 个样品中有优等品的概率；
(2) 求随机变量 X 的概率分布及数学期望 E(X)．
23. 设集合 A＝{1，2}，An＝{t|t＝an·3n＋an－1·3n－1＋…＋a1·3＋a0，其中 ai∈A，i＝
0，1，2，…，n}，n∈N*.
(1) 求 A1 中所有元素的和，并写出集合 An 中元素的个数；
(2) 求证：能将集合 An(n≥2，n∈N *)分成两个没有公共元素的子集 Bs＝{b1，b2，
b3，…，bs}和 Cl＝{c1，c2，c3，…，cl}，s，l∈N*，使得 b21＋b22＋…＋b2s＝c21＋c22＋…＋c 2l成
立．9
2020 届高三模拟考试试卷(五)(常州)
数学参考答案及评分标准
1. {－1，1} 2. －1 3. 10 4. [0，＋∞) 5. 2 6. 7
10 7. －1
5 8.
π
12 9. 64 10. －2 2
11. 2 12. 14 13. [1－ 17
2 ，0]∪[1，
1＋ 17
2 ] 14. 5 13
26
15. 解：(1) 在△ABC 中，0＜B＜π，则 sin B＞0.
因为 cos B＝ 3
3 ，所以 sin B＝ 1－cos2B＝ 1－（ 3
3 ）2＝ 6
3 .(3 分)
在△ABC 中，A＋B＋C＝π，所以 sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)，(5 分)
所以 sin C＝sin(
π
3 ＋B)＝sin
π
3 cos B＋cos π
3sin B＝ 3
2 × 3
3 ＋1
2× 6
3 ＝3＋ 6
6 .(8 分)
(2) 由余弦定理得 b2＝a2－2accos B＋c2，则( 2)2＝1－2c·
3
3 ＋c2，(10 分)
所以 c2－2 3
3 c－1＝0，(c－ 3)(c＋ 3
3 )＝0.(12 分)
因为 c＋ 3
3 ＞0，所以 c－ 3＝0，即 c＝ 3.(14 分)
16.
证明：(1) 取 PC，BC 的中点 E，F，连结 ME，EF，FN，
在三角形 PCD 中，点 M，E 为 PD，PC 的中点，
所以 EM∥CD，EM＝1
2CD.
在三角形 ABC 中，点 F，N 为 BC，AC 的中点，
所以 FN∥AB，FN＝1
2AB.
因为四边形 ABCD 是矩形，所以 AB∥CD，AB＝CD，
从而 EM∥FN，EM＝FN，所以四边形 EMNF 是平行四边形．(4 分)
所以 MN∥EF，又 EF⊂平面 PBC，MN⊄平面 PBC，所以 MN∥平面 PBC.(6 分)
(2) 因为 PA⊥平面 ABCD，CD⊂平面 ABCD，所以 PA⊥CD.
因为四边形 ABCD 是矩形，所以 AD⊥CD.(8 分)
因为 PA∩AD＝A，PA⊂平面 PAD，AD⊂平面 PAD，所以 CD⊥平面 PAD.
又 AM⊂平面 PAD，所以 CD⊥AM.(10 分)
因为 AP＝AD，点 M 为 PD 的中点，所以 AM⊥PD.
因为 PD∩CD＝D，PD⊂平面 PCD，CD⊂平面 PCD，
所以 AM⊥平面 PCD.(12 分)
又 PC⊂平面 PCD，所以 PC⊥AM.(14 分)10
17. 解：(1) 圆 A：(x－2)2＋y2＝1 的圆心 A(2，0)，半径 r＝1，与 x 轴交点坐标为(1，
0)，(3，0)．
点 F2 在圆 A：(x－2)2＋y2＝1 上，所以 F2(1，0)，从而 a＝2，c＝1，
所以 b＝ a2－c2＝ 22－12＝ 3，所以椭圆 C 的标准方程为x2
4 ＋y2
3 ＝1.(4 分)
(2) 由题可设点 M(x1，y1)，0＜x1＜2，y1＜0，点 N(x2，y2)，x2＞0，y2＞0，
则AM
→
＝(x1－2，y1)，AN
→
＝(x2－2，y2)．
由AM
→
＝－ 13
2 AN
→
知，点 A，M，N 共线．(5 分)
由题知直线 AM 的斜率存在，可设为 k(k＞0)，则直线 AM 的方程为 y＝k(x－2)．
由{y＝k（x－2），
（x－2）2＋y2＝1，得{x＝2＋ 1＋k2
1＋k2 ，
y＝k 1＋k2
1＋k2
或{x＝2－ 1＋k2
1＋k2 ，
y＝－k 1＋k2
1＋k2 ，
所以 N(2＋ 1＋k2
1＋k2 ，k 1＋k2
1＋k2 )．(7 分)
由{y＝k（x－2），
x2
4 ＋y2
3 ＝1， 得(3＋4k2)x2－16k2x＋16k2－12＝0，解得{x＝2，
y＝0 或{x＝8k2－6
3＋4k2，
y＝ －12k
3＋4k2，
所以 M(8k2－6
3＋4k2，
－12k
3＋4k2)．(10 分)
代入AM
→
＝－ 13
2 AN
→
得(8k2－6
3＋4k2－2，
－12k
3＋4k2)＝－ 13
2 (
1＋k2
1＋k2 ，k 1＋k2
1＋k2 )，
即(4k2－9)(52k2＋51)＝0，又 k＞0，解得 k＝3
2，(13 分)
所以 M(1，－3
2)，又 F1(－1，0)，可得直线 F1M 的斜率为
－3
2
1－（－1）＝－3
4.(14 分)
18. 解：(1) 在图 1 中连结 AC，BD 交于点 O，设 BD 与 FG 交于点 M，在图 2 中连结
OP.
因为 ABCD 是边长为 10 2 cm 的正方形，所以 OB＝10(cm)．
由 FG＝x，得 OM＝x
2，PM＝BM＝10－x
2.(2 分)
因为 PM＞OM，即 10－x
2＞x
2，所以 0＜x＜10.(4 分)11
因为 S＝4×1
2FG·PM＝2x(10－x
2)＝20x－x2，(6 分)
由 20x－x2≥75，得 5≤x≤15，所以 5≤x
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