2020高考数学（文）二轮总复习专题限时训练1-5-1求（轨迹）方程、参数（值）范围、弦长（Word版带解析）

专题限时训练　(小题提速练) (建议用时：45 分钟) 一、选择题 1．圆心在 y 轴上，半径长为 1，且过点(1,2)的圆的方程是(　　) A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1 C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1 解析：设圆心坐标为(0，a)，则 (1－0)2＋(2－a)2＝1， ∴a＝2.故圆的方程为 x2＋(y－2)2＝1.故选 A. 答案：A 2．直线 l：mx－y＋1＝0 与圆 C：x2＋(y－1)2＝5 的位置关系是(　　) A．相切 B.相离 C．相交 D.不确定 解析：由直线 l：mx－y＋1＝0，得 y－1＝m(x－0)，因此直线 l 恒过点(0,1)．又点 (0,1)是圆 C 的圆心，所以直线 l 与圆 C 的位置关系是相交．故选 C. 答案：C 3．(2019·广州调研)若点 P(1,1)为圆 C：x2＋y2－6x＝0 的弦 MN 的中点，则弦 MN 所在直线的方程为(　　) A．2x＋y＝0 B.x－2y＋1＝0 C．x＋2y－3＝0 D.2x－y－1＝0 解析：由圆的方程易知圆心 C 的坐标为(3,0)，又 P(1,1)，所以 kPC＝0－1 3－1 ＝－1 2 ，易 知 MN⊥PC，所以 kMN·kPC＝－1，所以 kMN＝2.根据弦 MN 所在的直线经过 P(1,1) 得所求直线方程为 y－1＝2(x－1)，即 2x－y－1＝0.故选 D. 答案：D 4．已知抛物线 y2＝8x 的焦点与双曲线x2 a2 －y2＝1(a>0)的一个焦点重合，则该双曲 线的离心率为(　　)A.2 5 5 B.4 15 15 C.2 3 3 D. 3 解析：抛物线的焦点坐标为(2,0)，也是双曲线的一个焦点，所以 a2＋1＝22，解得 a ＝ 3.所以该双曲线的离心率 e＝c a ＝ 2 3 ＝2 3 3 .故选 C. 答案：C 5．双曲线x2 2 －2y2＝1 的渐近线与圆 x2＋(y＋a)2＝1 相切，则正实数 a 的值为(　　) A. 17 4 B. 17 C. 5 2 D. 5 解析：∵双曲线x2 2 －2y2＝1 的渐近线方程为 y＝±1 2x，圆心为(0，－a)，半径为 1，∴ 由渐近线和圆相切，得|2a| 5 ＝1，解得 a＝ 5 2 .故选 C. 答案：C 6．抛物线 y2＝－4x 上横坐标为－6 的点 P 到焦点 F 的距离为(　　) A．6 B.7 C.8 D.9 解析：方法一　抛物线 y2＝－4x 的焦点坐标为 F(－1,0)，把 x＝－6 代入 y2＝－4x 中，得 y＝±2 6，所以 P(－6，±2 6)， |PF|＝ (－6＋1)2＋( ± 2 6)2＝7.故选 B. 方法二　抛物线 y2＝－4x 的准线方程为 x＝1， 则|PF|＝1－(－6)＝7.故选 B. 答案：B 7．已知圆 C：x2＋y2＋6x＋8y＋21＝0，抛物线 y2＝8x 的准线为 l，设抛物线上任 意一点 P 到直线 l 的距离为 m，则 m＋|PC|的最小值为(　　) A．5 B. 41 C. 41－2 D.4解析：由题得，圆 C 的圆心坐标为(－3，－4)，抛物线的焦点为 F(2，0)．根据抛 物线的定义，得 m＋|PC|＝|PF|＋|PC|≥|FC|＝ 41.故选 B. 答案：B 8．(2019·唐山模拟)已知椭圆 C： x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a>b>0)和双曲线 E：x2－y2＝1 有相同 的焦点 F1，F2，且离心率之积为 1，P 为两曲线的一个交点，则△F1PF2 的形状为 (　　) A．锐角三角形 B.直角三角形 C．钝角三角形 D.不能确定 解析：由题意可知，c a × 2＝1⇒c＝ 2 2 a，因为 c＝ 2， 所以 a＝2，b2＝a2－c2＝2，不妨设 P 与 F2 在 y 轴右侧， 则Error!得|PF1|2＝|F1F2|2＋|PF2|2， 所以△F1PF2 为直角三角形．故选 B. 答案：B 9．已知 F1，F2 是双曲线 C：x2 a2 －y2 b2 ＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，P 为 C 上一 点．若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2 最小内角大小为 30°，则双曲线 C 的渐近线方 程为(　　) A. 2x±y＝0 B.x± 2y＝0 C．2x±y＝0 D.x±2y＝0 解析：由题意不妨设|PF1|＞|PF2|，则根据双曲线定义有|PF1|－|PF2|＝2a. 又|PF1|＋|PF2|＝6a，所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2a. 在△PF1F2 中，|F1F2|＝2c，又 c＞a，所以|PF2|＜|F1F2|，所以∠PF1F2＝30°. 因为(2a)2＝(2c)2＋(4a)2－2·2c·4acos 30°，所以 c＝ 3a.所以 b＝ 2a.所以渐近线方 程为 y＝±b ax＝± 2x，即 2x±y＝0.选 A. 答案：A 10．若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为 1，则椭圆长轴长 的最小值为(　　) A．1 B. 2C．2 D.2 2 解析：设椭圆 C：x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a>b>0)，则使三角形面积最大时，三角形在椭圆上的 顶点为椭圆短轴端点， 所以 S＝1 2 ×2c×b＝bc＝1≤b2＋c2 2 ＝a2 2 . 所以 a2≥2，所以 a≥ 2，所以长轴长 2a≥2 2.故选 D. 答案：D 11．已知 M(x0，y0)是双曲线 C：x2 2 －y2＝1 上的一点，F1，F2 是 C 的两个焦点．若 MF1→ ·MF2→ 0)，O 是坐标原点，点 A，点 B 为抛物线 C1 上异于 O 点的两点，以 OA 为直径的圆 C2 过点 B. (1)若 A(－2,1)，求 p 的值以及圆 C2 的方程； (2)求圆 C2 的面积 S 的最小值(用 p 表示)． 解析：(1)∵A(－2,1)在抛物线 C1 上，∴4＝2p，p＝2.又圆 C 2 的圆心为 (－1，1 2)， 半径为|OA| 2 ＝ 5 2 ， ∴圆 C2 的方程为(x＋1)2＋ (y－1 2)2＝5 4. (2)记 A(x1，x21 2p)，B(x2，x22 2p)， 则OB → ＝ (x2，x22 2p)，AB → ＝ (x2－x1，x22－x21 2p ). 由OB → ·AB → ＝0，知 x2(x2－x1)＋x22(x22－x21) 4p2 ＝0. ∵x2≠0 且 x1≠x2，∴x22＋x1·x2＝－4p2， ∴x1＝－ (x2＋4p2 x2 ). ∴x21＝x22＋16p4 x22 ＋8p2≥2 16p4＋8p2＝16p2， 当且仅当 x22＝16p4 x22 ，即 x22＝4p2 时取等号． 又|OA|2＝x21＋ x41 4p2 ＝ 1 4p2(x41＋4p2·x21)， 注意到 x21≥16p2， ∴|OA|2≥ 1 4p2(162·p4＋4p2·16p2)＝80p2. 而 S＝π·|OA|2 4 ，∴S≥20πp2，即 S 的最小值为 20πp2，当且仅当 x22＝4p2 时取得． 4．已知圆 E：x2＋ (y－1 2)2＝9 4 经过椭圆 C：x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a>b>0)的左、右焦点 F1，F2， 且与椭圆 C 在第一象限的交点为 A，且 F1，E，A 三点共线，直线 l 交椭圆 C 于 M，N 两点，且MN → ＝λOA → (λ≠0，O 为坐标原点)． (1)求椭圆 C 的方程； (2)当△AMN 的面积取到最大值时，求直线 l 的方程． 解析：(1)∵F1，E，A 三点共线， ∴F1A 为圆 E 的直径， ∴AF2⊥F1F2.由 x2＋ (0－1 2)2＝9 4 ，得 x＝± 2. ∴c＝ 2，|AF2|2＝|AF1|2－|F1F2|2＝9－8＝1， 2a＝|AF1|＋|AF2|＝4，a＝2. ∵a2＝b2＋c2，∴b＝ 2，∴椭圆 C 的方程为x2 4 ＋y2 2 ＝1. (2)由(1)知，点 A 的坐标为( 2，1)．∵MN → ＝λOA → (λ≠0)， ∴直线 l 的斜率为 2 2 ，故设直线 l 的方程为 y＝ 2 2 x＋m， 联立Error!得 x2＋ 2mx＋m2－2＝0. 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， ∴x1＋x2＝－ 2m，x1x2＝m2－2， Δ＝2m2－4m2＋8>0，∴－2