2020高考数学（文）二轮总复习专题限时训练1-5-2求（证明）曲线性质、定值、定点、面积问题（Word版带解析）

专题限时训练　(小题提速练) (建议用时：45 分钟) 一、选择题 1．如果双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线 3x－y＋ 3＝0 平行，则 双曲线的离心率为(　　) A. 2 B. 3 C.2 D.3 解析：因为 y＝b ax 与 3x－y＋ 3＝0 平行，所以b a ＝ 3，得 b＝ 3a，c＝ a2＋3a2＝ 2a，所以 e＝c a ＝2.选 C. 答案：C 2．若直线 x－y＝2 被圆(x－1)2＋(y＋a)2＝4 所截得的弦长为 2 2，则实数 a 的值为 (　　) A．－2 或 6 B.0 或 4 C．－1 或 3 D.－1 或 3 解析：圆心坐标为(1，－a)，弦长为 2 2， ∴圆心到直线 x－y－2＝0 的距离为 d＝ 4－2＝ 2， 即 2＝|1＋a－2| 2 ，∴|a－1|＝2，∴a＝－1 或 a＝3.选 D. 答案：D 3．已知双曲线 C：x2－y2 3 ＝1，则 C 的顶点到其渐近线的距离等于(　　) A.1 2 B.1 C. 3 2 D. 3 解析：双曲线的顶点坐标是(±1,0)，渐近线方程是 y＝± 3x，因此其顶点到渐近线 的距离 d＝ 3 2 .选 C. 答案：C4．已知抛物线 y2＝2px(p>0)上横坐标为 1 的点到焦点 F 的距离为 2，则抛物线方 程为(　　) A．y2＝x B.y2＝2x C．y2＝4x D.y2＝8x 解析：由题意知 F( p 2 ，0)，不妨设抛物线上横坐标为 1 的点为 A(1， 2p)，故|FA|2＝ ( p 2 －1)2＋(0－ 2p)2＝4，又 p>0，故 p＝2，抛物线方程为 y2＝4x.选 C. 答案：C 5．已知椭圆x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a>b>0)的中心为点 O，右焦点为 F，右顶点为 A，直线 x＝a2 c 与 x 轴的交点为 K，则|FA| |OK| 的最大值为(　　) A.1 2 B.1 3 C.1 4 D.1 解析：|FA| |OK| ＝a－c a2 c ＝ac－c2 a2 ＝－e2＋e＝－ (e－1 2)2＋1 4 ≤1 4.选 C. 答案：C 6．(2019·江西省五校协作体检测)过抛物线 C：y 2＝2px(p>0)的焦点 F 且倾斜角为 锐角的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，过线段 AB 的中点 N 且垂直于 l 的直线与 C 的 准线相交于点 M，若|MN|＝|AB|，则直线 l 的倾斜角为(　　) A．15° B.30° C.45° D.60° 解析：分别过 A，B，N 作抛物线准线的垂线，垂足分别为 A′，B′，N′，由抛 物线的定义知|AF|＝|AA′|，|BF|＝|BB′|，|NN′|＝1 2(|AA′|＋|BB′|)＝1 2|AB|，因为 |MN|＝|AB|，所以|NN′|＝ 1 2|MN|，所以∠MNN′＝60°，即直线 MN 的倾斜角为 120°，又直线 MN 与直线 l 垂直且直线 l 的倾斜角为锐角，所以直线 l 的倾斜角为 30°.选 B.答案：B 7．设椭圆 x2 m2 ＋y2 n2 ＝1(m>0，n>0)的一个焦点与抛物线 y2＝8x 的焦点相同，离心率 为1 2 ，则此椭圆的方程为(　　) A.x2 16 ＋y2 12 ＝1 B.x2 12 ＋y2 16 ＝1 C.x2 48 ＋y2 64 ＝1 D.x2 64 ＋y2 48 ＝1 解析：抛物线 y2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，所以椭圆的焦点在 x 轴上且半焦距为 2， 由2 m ＝1 2 ，得 m＝4，所以 n2＝42－22＝12，故椭圆的方程为x2 16 ＋y2 12 ＝1.选 A. 答案：A 8．设双曲线x2 4 －y2 3 ＝1 的左、右焦点分别为 F1，F2，过点 F1 的直线 l 交双曲线左 支于 A，B 两点，则|BF2|＋|AF2|的最小值为(　　) A.19 2 B.11 C.12 D.16 解析：由题意，得Error!所以|BF2|＋|AF2|＝8＋|AF1|＋|BF1|＝8＋|AB|，显然，当 AB 为通径时，其长度最短，|AB|min＝2·b2 2 ＝3，故(|BF2|＋|AF2|)min＝11.选 B. 答案：B 9．若实数 k 满足 00)的离心率为 3 2 ，上 顶点 M 到直线 3x＋y＋4＝0 的距离为 3. (1)求椭圆 C 的方程； (2)设直线 l 过点(4，－2)，且与椭圆 C 相交于 A，B 两点，l 不经过点 M，证明： 直线 MA 的斜率与直线 MB 的斜率之和为定值． 解析：(1)由题意可得Error!解得Error!所以椭圆 C 的方程为x2 16 ＋y2 4 ＝1. (2)易知直线 l 的斜率恒小于 0， 设直线 l 的方程为 y＋2＝k(x－4)，k0)的焦点为 F，点 M(2，y0)在该抛物 线上，且|MF|＝2. (1)求抛物线 C 的方程； (2)直线 l：y＝kx＋2 与 y 轴交于点 E，与抛物线 C 相交于 A，B 两点，自点 A，B 分别向直线 y＝－2 作垂线，垂足分别为 A1，B1，记△EAA1，△EA1B1，△EBB1 的 面积分别为 S1，S2，S3.试证明：S1S3 S22 为定值． 解析：(1)抛物线 C 的焦点为 F(0，p 2)，准线方程为 y＝－p 2 ， ∵点 M(2，y0)在该抛物线上，∴4＝2py0，① 依定义及|MF|＝2 得 y0＋p 2 ＝2，② 由①②解得 p＝2，∴抛物线 C 的方程为 x2＝4y. (2)由Error!消 y 得 x2－4kx－8＝0.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝4k，x1x2＝－8， 则 A1(x1，－2)，B1(x2，－2)． ∵S1S3＝1 2(y1＋2)|x1|·1 2(y2＋2)|x2| ＝1 4(kx1＋4)(kx2＋4)|x1x2| ＝1 4[k2x1x2＋4k(x1＋x2)＋16]|x1x2| ＝1 4[－8k2＋4k·4k＋16]·8＝16(k 2＋2)， 又∵S22＝[1 2|x2－x1|·4]2＝4(x2－x1)2 ＝4[(x2＋x1)2－4x1x2]＝4(16k2＋32)＝64(k2＋2)， ∴S1S3 S22 ＝1 4. 4．如图所示，已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率等于 3 2 ，它的一 个顶点恰好在抛物线 x2＝8y 的准线上． (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)点 P(2， 3)，Q(2，－ 3)在椭圆上，A，B 是椭圆上位于直线 PQ 两侧的动点， 当 A，B 运动时，满足∠APQ＝∠BPQ，试问直线 AB 的斜率是否为定值，请说明 理由． 解析：(1)设椭圆 C 的标准方程为x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a>b>0)． ∵椭圆的一个顶点恰好在抛物线 x2＝8y 的准线 y＝－2 上， ∴－b＝－2，解得 b＝2.又c a ＝ 3 2 ，a2＝b2＋c2， ∴a＝4，c＝2 3. 可得椭圆 C 的标准方程为x2 16 ＋y2 4 ＝1.(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)． ∵∠APQ＝∠BPQ，则 PA，PB 的斜率互为相反数， 可设直线 PA 的斜率为 k，则 PB 的斜率为－k. 直线 PA 的方程为 y－ 3＝k(x－2)， 联立Error! 有(1＋4k2)x2＋8k( 3－2k)x＋4( 3－2k)2－16＝0， ∴x1＋2＝8k(2k－ 3) 1＋4k2 . 同理可得 x2＋2＝－8k(－2k－ 3) 1＋4k2 ＝8k(2k＋ 3) 1＋4k2 ， ∴x1＋x2＝ 16k2 1＋4k2 －4，x1－x2＝－16 3k 1＋4k2 ， kAB＝y1－y2 x1－x2 ＝k(x1＋x2)－4k x1－x2 ＝ 3 6 . ∴直线 AB 的斜率为定值 3 6 .