2020高考数学（文）二轮总复习专题限时训练1-7-3平面向量（Word版带解析）

专题限时训练　(小题提速练) (建议用时：30 分钟) 一、选择题 1．已知向量 a＝(1，m)，b＝(m,2)，若 a∥b，则实数 m 等于(　　) A．－ 2 B. 2 C．－ 2或 2 D.0 解析：因为 a∥b，所以 m2＝2，解得 m＝－ 2或 m＝ 2. 答案：C 2．设向量 a，b 满足|a＋b|＝ 10，|a－b|＝ 6，则 a·b＝(　　) A．1 B.2 C.3 D.5 解析：∵|a＋b|＝ 10，∴a2＋2a·b＋b2＝10.① 又∵|a－b|＝ 6，∴a2－2a·b＋b2＝6.② ①－②，得 4a·b＝4，即 a·b＝1. 答案：A 3．(2019·西安三模)已知向量 a＝(2,1)，b＝(1，x)，若 a＋b 与 a 垂直，则 x 的值为 (　　) A．7 B.－7 C.1 2 D.－1 2 解析：a＋b＝(3，x＋1)，∵a＋b 与 a 垂直，∴(a＋b)·a＝6＋x＋1＝0，∴x＝－7. 答案：B 4．已知点 A(1,3)，B(4，－1)，则与向量AB → 同方向的单位向量为(　　) A.( 3 5 ，－4 5) B.( 4 5 ，－3 5) C.(－3 5 ，4 5) D.(－4 5 ，3 5) 解析：∵A(1,3)，B(4，－1)，∴AB → ＝(3，－4)．又∵|AB → |＝5，∴与AB → 同向的单位向量为 AB → |AB → | ＝ ( 3 5 ，－4 5). 答案：A 5．如图，在△ABC 中，AN → ＝1 3NC → ，P 是 BN 上的一点，若AP → ＝mAB → ＋2 9AC → ，则实 数 m 的值为(　　) A.1 9 B.1 3 C.1 D.3 解析：由题意可知，AN → ＝1 3NC → ，所以AC → ＝4AN → . 又AP → ＝mAB → ＋2 9AC → ，即AP → ＝mAB → ＋8 9AN → ， 因为 B，P，N 三点共线，所以 m＋8 9 ＝1，解得 m＝1 9. 答案：A 6．若两个非零向量 a，b 满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量 a＋b 与 a－b 的夹角为 (　　) A.π 6 B.π 3 C.5π 6 D.2π 3 解析：由|a＋b|＝|a－b|可知 a⊥b，设AB → ＝b，AD → ＝a，作矩形 ABCD，可知AC → ＝a＋ b，BD → ＝a－b，设 AC 与 BD 的交点为 O，结合题意可知 OA＝OD＝AD， ∴∠AOD＝π 3 ，∴∠DOC＝2π 3 .又向量 a＋b 与 a－b 的夹角为AC → 与BD → 的夹角，故所 求夹角为2π 3 .答案：D 7．(2019·沙坪坝区校级期中)向量 a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示．若向 量 c＝λa＋b，则实数 λ＝(　　) A．－2 B.－1 C.1 D.2 解析：如图所示，建立直角坐标系．取小正方形的边长为 1，则 a＝(1,1)，b＝(0，－ 1)，c＝(2,1)．∵向量 c＝λa＋b，∴(2,1)＝λ(1,1)＋(0，－1)，∴2＝λ，1＝λ－1，实 数 λ＝2. 答案：D 8．已知点 A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量AB → 在CD → 方向上的投影 为(　　) A.3 2 2 B.3 15 2 C．－3 2 2 D.－3 15 2 解析：∵A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，∴AB → ＝(2,1)，CD → ＝(5,5)，因此 cos〈AB → ，CD → 〉＝ AB → ·CD → |AB → |·|CD → | ＝3 10 10 ，∴向量AB → 在CD → 方向上的投影为|AB → |·cos〈AB → ，CD → 〉＝ 5×3 10 10 ＝3 2 2 . 答案：A 9．设向量 a＝(1，cos θ)与 b＝(－1,2cos θ)垂直，则 cos 2θ 等于(　　) A. 2 2 B.1 2 C．0 D.－1 解析：∵a⊥b，∴1×(－1)＋cos θ·2cos θ＝0， 即 2cos2 θ－1＝0.∴cos 2θ＝2cos2 θ－1＝0. 答案：C 10．已知向量 a 是与单位向量 b 夹角为 60°的任意向量，则对任意的正实数 t，|ta－ b|的最小值是(　　) A．0 B.1 2 C. 3 2 D.1 解析：∵a·b＝|a||b|cos 60°＝1 2|a|， ∴|ta－b|＝ t2a2－2ta·b＋b2＝ t2a2－t|a|＋1. 设 x＝t|a|，x>0， ∴|ta－b|＝ x2－x＋1＝ (x－1 2)2＋3 4 ≥ 3 4 ＝ 3 2 .故|ta－b|的最小值为 3 2 . 答案：C 11．已知平面向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若|a|＝2，|b|＝3，a·b＝－6，则x1＋y1 x2＋y2 的值为(　　) A.2 3 B.－2 3 C.5 6 D.－5 6 解析：由已知得向量 a＝(x1，y1)与 b＝(x2，y2)反向，则 3a＋2b＝0，即 3(x1，y1)＋ 2(x2，y2)＝(0,0)，解得 x1＝－2 3x2，y1＝－2 3y2，故x1＋y1 x2＋y2 ＝－2 3.答案：B 12．在△ABC 中，已知|AB → ＋AC → |＝|AB → －AC → |，AB＝2，AC＝1，E，F 为边 BC 的三 等分点，则AE → ·AF → ＝(　　) A.8 9 B.10 9 C.25 9 D.26 9 解析：因为|AB → ＋AC → |＝|AB → －AC → |，所以 AB → 2＋AC → 2＋2AB → ·AC → ＝AB → 2＋AC → 2－2AB → ·AC → ， 即有AB → ·AC → ＝0，因为 E，F 为边 BC 的三等分点，则AE → ·AF → ＝(AC → ＋CE → )·(AB → ＋BF → )＝ (AC → ＋1 3CB → )·(AB → ＋1 3BC → )＝ ( 2 3AC → ＋1 3AB → )·( 1 3AC → ＋2 3AB → )＝2 9AC → 2＋2 9AB → 2＋5 9AB → ·AC → ＝2 9 ×(1 ＋4)＋0＝10 9 . 答案：B 二、填空题 13．已知向量 a＝(－4,3)，b＝(6，m)，且 a⊥b，则 m＝__________. 解析：由向量 a＝(－4,3)，b＝(6，m)，且 a⊥b，得 a·b＝－24＋3m＝0，∴m＝8. 答案：8 14．已知向量 a 与 b 的夹角为 60°，且 a＝(－2，－6)，|b|＝ 10，则 a·b＝　　　　. 解析：由 a＝(－2，－6)，得|a|＝ (－2)2＋(－6)2＝2 10，∴a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝ 2 10× 10×cos 60°＝10. 答案：10 15．已知向量 a，b 夹角为 45°，且|a|＝1，|2a－b|＝ 10，则|b|＝　　　　. 解析：∵a，b 的夹角为 45°，|a|＝1， ∴a·b＝|a|·|b|cos 45°＝ 2 2 |b|， |2a－b|2＝4－4× 2 2 |b|＋|b|2＝10，∴|b|＝3 2. 答案：3 2 16．已知菱形 ABCD 的边长为 2，∠BAD＝120°，点 E，F 分别在边 BC，DC 上，BC＝3BE，DC＝λDF.若AE → ·AF → ＝1，则 λ 的值为　　　　. 解析：如图，AE → ＝AB → ＋BE → ＝AB → ＋1 3BC → ， AF → ＝AD → ＋DF → ＝AD → ＋1 λDC → ＝BC → ＋1 λAB → ， 所 以 AE → ·AF → ＝ (AB → ＋1 3BC → )·(BC → ＋1 λAB → )＝ (1＋ 1 3λ)AB → ·BC → ＋ 1 λAB → 2 ＋ 1 3BC → 2 ＝ (1＋ 1 3λ) ×2×2×cos 120°＋4 λ ＋4 3 ＝1，解得 λ＝2. 答案：2