2020高考数学（文）二轮总复习专题限时训练1-7-6推理证明与复数（Word版带解析）

专题限时训练　(小题提速练) (建议用时：30 分钟) 一、选择题 1．i 为虚数单位，i607＝(　　) A．i B.－i C.1 D.－1 解析：i607＝i151×4＋3＝i3＝－i. 答案：B 2．若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋bi(a，b∈R，i 是虚数单位)，则 a，b 的值分别等于(　　) A．3，－2 B.3,2 C．3，－3 D.－1,4 解析：(1＋i)＋(2－3i)＝3－2i＝a＋bi，由复数相等的定义可知 a＝3，b＝－2. 答案：A 3．实部为－2，虚部为 1 的复数所对应的点位于复平面的(　　) A．第一象限 B.第二象限 C．第三象限 D.第四象限 解析：实部为－2，虚部为 1 的复数在复平面内对应的点的坐标为(－2,1)，位于第 二象限． 答案：B 4.1＋3i 1－i ＝(　　) A．1＋2i B.－1＋2i C．1－2i D.－1－2i 解析：1＋3i 1－i ＝ (1＋3i)(1＋i) (1－i)(1＋i) ＝－2＋4i 2 ＝－1＋2i. 答案：B 5．(2019·历下区校级期中)设 m∈R，复数 z＝m 2－1＋(m－1)i 表示纯虚数，则 m 的值为(　　) A．1 B.－1 C.±1 D.0解析：因为 z＝m2－1＋(m－1)i 表示纯虚数， 所以Error!所以 m＝－1. 答案：B 6．若复数 z 满足 z 1－i ＝i，其中 i 为虚数单位，则 z＝(　　) A．1－i B.1＋i C．－1－i D.－1＋i 解析：设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi. 由 z 1－i ＝i，得z＝i(1－i)＝1＋i， 所以 a＝1，b＝－1，所以 z＝1－i. 答案：A 7．设 z＝ 1 1＋i ＋i，则|z|＝(　　) A.1 2 B. 2 2 C. 3 2 D.2 解析：z＝ 1 1＋i ＋i＝1－i 2 ＋i＝1 2 ＋1 2i， 因此|z|＝ ( 1 2 )2＋( 1 2 )2＝ 1 2 ＝ 2 2 . 答案：B 8．(2019·绍兴三模)已知复数 z＝1＋ 3i 3－i ，则 z 的虚部为(　　) A．－1 B.－i C.1 D.i 解析：∵z＝1＋ 3i 3－i ＝ (1＋ 3i)( 3＋i) ( 3－i)( 3＋i) ＝4i 4 ＝i，∴z 的虚部为 1. 答案：C 9．在用反证法证明命题“已知 a，b，c∈(0,2)，求证 a(2－b)，b(2－c)，c(2－a)不 可能都大于 1”时，反证时假设正确的是(　　) A．假设 a(2－b)，b(2－c)，c(2－a)都小于 1B．假设 a(2－b)，b(2－c)，c(2－a)都大于 1 C．假设 a(2－b)，b(2－c)，c(2－a)都不大于 1 D．以上都不对 解析：“不可能都大于 1”的否定是“都大于 1”． 答案：B 10．(2019·宁德期中)2018 年 4 月，中国诗词大会第三季总决赛如期举行，依据规 则，本场比赛共有甲、乙、丙、丁、戊五位选手有机会问鼎冠军．某家庭中三名 诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现，结合自己的判断，对本场比赛的冠军 进行了如下猜测： 爸爸：冠军是甲或丙；妈妈：冠军一定不是乙和丙；孩子：冠军是丁或戊．比赛 结束后发现：三人中只有一个人的猜测是对的，那么冠军是(　　) A．甲 B.丁或戊 C.乙 D.丙 解析：假设爸爸的猜测是对的，则冠军是丙； 假设妈妈的猜测是对的，不合题意； 假设孩子的猜测是对的，则妈妈的猜测也对，不合题意． 答案：D 11．小明用电脑软件进行数学解题能力测试，每答完一道题，软件都会自动计算 并显示出当前的正确率(正确率＝已答对题目数÷已答题目总数)，小明依次共答了 10 道 题 ， 设 正 确 率 依 次 为 a1 ， a2 ， a3 ， … ， a10. 现 有 三 种 说 法 ： ① 若 a1a10， 则必是第一道题答对，其余题均答错；③有可能 a5＝2a10.其中正确的个数是(　　) A．0 B.1 C.2 D.3 解析：①②显然成立，③前 5 个全答对，后 5 个全答错，符合题意． 答案：D 12．已知 f1(x)＝sin x＋cos x，f n＋1 (x)是 fn(x)的导函数，即 f2(x)＝f 1′(x)，f 3(x)＝ f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，则 f2 017(x)＝(　　) A．sin x＋cos x B.－sin x－cos x C．sin x－cos x D.－sin x＋cos x解析：f2(x)＝f1′(x)＝cos x－sin x，f3(x)＝f2′(x)＝－sin x－cos x，f4(x)＝f3′(x)＝－cos x＋sin x，f5(x)＝f4′(x)＝sin x＋cos x，f6(x)＝f5′(x)＝cos x－sin x，…， 可知 fn(x)是以 4 为周期的函数，∵2 017＝504×4＋1， ∴f2 017(x)＝f1(x)＝sin x＋cos x. 答案：A 二、填空题 13．设复数 z 满足 i(z＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则 z 的实部是　　　　. 解析：由已知条件知 z＋1＝(－3＋2i)·(－i)＝2＋3i，∴z＝1＋3i. 答案：1 14 ． 古 希 腊 毕 达 哥 拉 斯 学 派 的 数 学 家 研 究 过 各 种 多 边 形 数 ， 如 三 角 形 1,3,6,10，…，第 n 个三角形数为 n(n＋1) 2 ＝1 2n2＋1 2n.记第 n 个 k 边形数为 N(n， k)(k≥3)，以下列出了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式：　 三角形数 N(n,3)＝1 2n2＋1 2n， 正方形数 N(n,4)＝n2， 五边形数 N(n,5)＝3 2n2－1 2n， 六边形数 N(n,6)＝2n2－n， … 可以推测 N(n，k)的表达式，由此计算 N(10,24)＝　　　　. 解析：原已知式子可化为 N(n,3)＝1 2n2＋1 2n＝ 3－2 2 n2＋4－3 2 n， N(n,4)＝n2＝4－2 2 n2＋4－4 2 n， N(n,5)＝3 2n2－1 2n＝5－2 2 n2＋4－5 2 n， N(n,6)＝2n2－n＝6－2 2 n2＋4－6 2 n， 由归纳推理可得 N(n，k)＝k－2 2 n2＋4－k 2 n.故 N(10,24)＝24－2 2 ×102＋4－24 2 ×10＝1 100－100＝1 000. 答案：1 000 15．对大于或等于 2 的自然数 m 的 n 次方幂有如下分解方式： 23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19. 根据上述分解规律，若 m3(m∈N*)的分解式中最小的数是 73，则 m 的值为　　　　. 解析：根据 23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19，从 23 起，m3 的分解规律 恰为数列 3,5,7，9…，若干连续项之和，23 为前两项和，33 为接下来三项和，故 m3 的首数为 m2－m＋1.∵m3(m∈N*)的分解中最小的数是 73，∴m2－m＋1＝73，∴m ＝9. 答案：9 16．在平面上，设 ha，hb，hc 是三角形 ABC 三条边上的高，P 为三角形内任一点， P 到相应三边的距离分别为 Pa，Pb，Pc，我们可以得到结论：Pa ha ＋Pb hb ＋Pc hc ＝1.若 ha，hb，hc，hd 分别是三棱锥 A－BCD 四个面上的高，P 为三棱锥 A－BCD 内任一 点，P 到相应四个面的距离分别为 Pa，Pb，Pc，Pd，则类比上述结论，三棱锥中的 类似结论为__________________________． 解析：设三棱锥的体积为 V，则 VP－ABC＋VP－BCD＋VP－CDA＋VP－DAB＝V，V＝VD－ABC ＝VA－BCD＝VB－CDA＝VC－DAB，由比例可得VP－ABC V ＋VP－BCD V ＋VP－CDA V ＋VP－DAB V ＝1， 即VP－ABC VD－ABC ＋VP－BCD VA－BCD ＋VP－CDA VB－CDA ＋VP－DAB VC－DAB ＝1， 亦即 1 2S △ ABC·Pd 1 2S △ ABChd ＋ 1 2S △ BCD·Pa 1 2S △ BCD·ha ＋ 1 2S △ CDA·Pb 1 2S △ CDA·hb ＋ 1 2S △ DAB·Pc 1 2S △ DAB·hc ＝1， 所以Pa ha ＋Pb hb ＋Pc hc ＋Pd hd ＝1. 答案：Pa ha ＋Pb hb ＋Pc hc ＋Pd hd ＝1