2020高考数学二轮习题小题专题练（四）立体几何（Word版带解析）

小题专题练(四)　立体几何 一、单项选择题 1．设 α，β是两个不同的平面，l 是直线且 l⊂α，则“α∥β”是“l∥β”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．在△ABC 中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°(如图)，若将△ABC 绕直线 BC 旋转一 周，则形成的旋转体的体积是(　　) A. 9π 2 B. 7π 2 C. 5π 2 D. 3π 2 3．如图，正方形 ABCD 与矩形 ACEF 所在平面互相垂直，AB＝ 2，AF＝1，点 M 在 EF 上且 AM∥平面 BDE，则 M 点的坐标为(　　) A．(1，1，1) B.( 2 3 ， 2 3 ，1) C.( 2 2 ， 2 2 ，1) D.( 2 4 ， 2 4 ，1) 4．已知长方体 ABCD­A1B1C1D1 中，AA1＝AB＝ 3，AD＝1，则异面直线 B1C 和 C1D 所成 角的余弦值为(　　) A. 6 4 B. 6 3 C. 2 6 D. 3 6 5．三棱锥 A­BCD 中，AB，BC，CD 两两垂直，被称为“三节棍”．由该棱锥所有相邻的 两个面组成的二面角中，直二面角共有(　　) A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 6．(2019·郑州市第一次质量预测)已知直三棱柱 ABC­A1B1C1 的底面为等腰直角三角形，AB⊥AC，点 M，N 分别是边 AB1，A1C 上的动点，若直线 MN∥平面 BCC1B1，点 Q 为线段 MN 的中点，则点 Q 的轨迹为(　　) A．双曲线的一支(一部分) B．圆弧(一部分) C．线段(去掉一个端点) D．抛物线的一部分 7．《九章算术·商功》：“今有堑堵，下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尽……”，所 谓“堑堵”，就是两底面为直角三角形的棱柱，如图所示的几何体是一个“堑堵”，AA1⊥平面 ABC，AB＝BC＝4，AA 1＝5，M 是 A1C1 的中点，过点 B，C，M 的平面把该“堑堵”分为两 个几何体，其中一个为三棱台，则该三棱台的表面积为(　　) A．40 B．50 C．25＋15 2＋3 29 D．30＋20 2 8．如图，已知三棱锥 P­ABC 的外接球的球心 O 在 AB 上，且 PO⊥平面 ABC，AB＝ 2AC，若三棱锥 P­ABC 的体积为 9 3 16 ，则球 O 的表面积为(　　) A．9π B. 32π 3 C．16π D. 9π 2 二、多项选择题 9．已知 m，n 是不重合的直线，α，β是不重合的平面，则下列命题错误的是(　　) A．若 m⊂α，n∥α，则 m∥n B．若 m∥α，m∥β，则α∥β C．若 α∩β＝n，m∥n，则 m∥α 且 m∥βD．若 m⊥α，m⊥β，则 α∥β 10．(2020·山东普通高等学校统一考试)正方体 ABCD­A 1B1C1D1 的棱长为 1，E，F，G 分 别为 BC，CC1，BB1 的中点．则(　　) A．直线 D1D 与直线 AF 垂直 B．直线 A1G 与平面 AEF 平行 C．平面 AEF 截正方体所得的截面面积为9 8 D．点 C 与点 G 到平面 AEF 的距离相等 11．如图，AC＝2R 为圆 O 的直径，∠PCA＝45°，PA 垂直于圆 O 所在的平面，B 为圆 周上不与点 A，C 重合的点，AS⊥PC 于 S，AN⊥PB 于 N，则下列选项正确的是(　　) A．平面 ANS⊥平面 PBC B．平面 ANS⊥平面 PAB C．平面 PAB⊥平面 PBC D．平面 ABC⊥平面 PAC 12．如图，正三棱柱 ABC­A1B1C1 各棱的长度均相等，D 为 AA1 的中点，M，N 分别是线 段 BB1 和线段 CC1 上的动点(含端点)，且满足 BM＝C1N，当 M，N 运动时，下列结论中正确 的是(　　) A．在△DMN 内总存在与平面 ABC 平行的线段 B．平面 DMN⊥平面 BCC1B1 C．三棱锥 A1­DMN 的体积为定值 D．△DMN 可能为直角三角形三、填空题 13．(2019·湖南省湘东六校联考)一个正四面体的侧面展开图如图所示，点 G 为 BF 的中点， 则在该正四面体中，直线 EG 与直线 BC 所成角的余弦值为________． 14．已知半径为 1 的球 O 中内接一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的体积与圆柱的 体积的比值为________． 15．(2019·贵州遵义第一次联考改编)已知三棱锥 S­ABC 中，SA⊥平面 ABC，且 SA＝6， AB＝4，BC＝23，∠ABC＝30°，则该三棱锥的体积为________，其外接球的表面积为________． 16．一个密闭且透明的正方体容器中装有部分液体，已知该正方体的棱长为 2，如果任意 转动该正方体容器，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围为____________． 小题专题练(四)　立体几何 1．解析：选 A.由两平面平行的性质定理可知充分性满足，但必要性不满足． 2.解析：选 D.依题意可知，旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥，所以 OA ＝ 3，OB＝1，所以旋转体的体积为 1 3π·( 3)2·(OC－OB)＝ 3π 2 . 3．解析：选 C.因为点 M 在 EF 上，设 ME＝x， 所以 M( 2 2 x， 2 2 x，1)，因为 A( 2，2，0)，D( 2，0，0)，E(0，0，1)， B(0，2，0)， 所以ED→ ＝( 2，0，－1)，EB→ ＝(0，2，－1)， AM→ ＝( 2 2 x－ 2， 2 2 x－ 2，1). 设平面 BDE 的法向量 n＝(a，b，c)， 由{n·ED → ＝0， n·EB → ＝0， 得 a＝b＝ 2 2 c. 故可取平面 BDE 的一个法向量 n＝(1，1， 2)． 因为 n·AM→ ＝0，所以 x＝1，所以 M( 2 2 ， 2 2 ，1). 4．解析：选 A.如图，连接 A1D，A1C1，由题易知 B1C∥A1D，所以∠C1DA1 是异面直线 B1C 与 C1D 所成的角，又 AA1＝AB＝ 3，AD＝1，所以 A1D＝2，DC1＝ 6，A1C1＝2，由余弦定理， 得 cos∠C1DA1＝C1D2＋A1D2－A1C 2 × C1D × A1D＝ 6 4 ，故选 A.5．解析：选 B.由 AB⊥平面 BCD，且 AB⊂平面 ABD，AB⊂平面 ABC，得平面 ABD⊥平 面 BCD，平面 ABC⊥平面 BCD.又 CD⊥平面 ABC，CD⊂平面 ACD，故平面 ACD⊥平面 ABC， 所以 A­BD­C，A­BC­D，D­AC­B 都是直二面角. 故选 B. 6.解析：选 C.如图，分别取 AA1，B1C 的中点 E，F，任意作一个与平 面 BCC1B1 平行的平面 α 与 AB1，A1C 分别交于 M，N，则 MN∥平面 BCC1B1.由题意知△ABC 为等腰直角三角形，AB⊥AC，则侧面 AA1B1B 与侧 面 AA1C1C 是两个全等的矩形，且这两个侧面关于过棱 AA1 与平面 BCC1B1 垂直的平面是对称的，因此 EF 必过 MN 的中点 Q，故点 Q 的轨迹为线段 EF，但需去掉端点 F，故选 C. 7．解析：选 C.如图所示，记 A1B1 的中点为 N，连接 MN，则 MN∥BC， 所以过点 B，C，M 的平面为平面 BNMC，三棱台为 A1MN­ACB，所以其表面 积 S＝ 1 2×4×4＋ 1 2×2×2＋ 1 2×(4 2＋2 2)×5＋ 1 2×(4＋2)×5＋ 1 2×(4＋ 2)× 29＝25＋15 2＋3 29. 8．解析：选 A.由于三棱锥 P­ABC 的外接球的球心 O 在 AB 上，故 AB 为其外接球的一条 直径，因此∠ACB＝90°.设球 O 的半径为 r，在 Rt△ABC 中，AB＝2AC＝2r，AC＝r，BC＝3 r，所以 S△ABC＝ 1 2r× 3r＝ 3 2 r2.由于 P 为球 O 上一点，故 PO＝r，又 PO⊥平面 ABC，所以 VP ­ABC＝ 1 3PO·S △ABC＝ 1 3r· 3 2 r2＝ 3 6 r3＝ 9 3 16 ，解得 r＝ 3 2，所以球 O 的表面积为 4πr2＝4π× (3 2 ) 2 ＝9π，故选 A. 9．解析：选 ABC.若 m⊂α，n∥α，则 m 与 n 可能平行或异面，故 A 错误；若 m∥α，m ∥β，则 α 与 β 可能相交或平行，故 B 错误；若 α∩β＝n，m∥n，则 m 可能在平面 α 或 β 内， 故 C 错误；若 m⊥α，m⊥β，根据垂直于同一直线的两个平面平行，故 α∥β，故 D 正确． 10．解析：选 BC.根据题意，因为 AD1∥EF，所以平面 AEF 即平面 AEFD1，故 A 选项错 误．因为 A1G∥D1F，A1G⊄平面 AEFD1，所以 A1G∥平面 AEFD1，故 B 选项正确．平面 AEF 截正方体所得截面为等腰梯形 AEFD1，易知梯形面积为9 8，故 C 选项正确．点 G 到平面 AEF 的距离即点 A1 到面 AD1F 的距离，显然 D 错误．故选 BC. 11．解析：选 ACD.因为 PA⊥平面 ABC，PA⊂平面 PAC，所以平面 ABC⊥平面 PAC，故D 正确；因为 B 为圆周上不与 A，C 重合的点，AC 为直径，所以 BC⊥AB，因为 PA⊥平面 ABC，BC⊂平面 ABC，所以 BC⊥PA，又 AB∩PA＝A，所以 BC⊥平面 PAB，又 BC⊂平面 PBC，所以平面 PAB⊥平面 PBC，故 C 正确；因为 AB⊥BC，BC⊥PA，又 PA∩AB＝A，所以 BC⊥ 平面 PAB，所以 BC⊥AN，又因为 AN⊥PB，PB∩BC＝B，所以 AN⊥平面 PBC，又 AN⊂平面 ANS，所以平面 ANS⊥平面 PBC，故 A 正确．故选 ACD. 12．解析：选 ABC.用平行于平面 ABC 的平面截平面 DMN，则交线平行于平面 ABC，故 A 正确；当 M，N 分别在 BB1，CC1 上运动时，若满足 BM＝C1N，则线段 MN 必过正方形 BCC1B1 的中心 O，由 DO⊥平面 BCC1B1 可得平面 DMN⊥平面 BCC1B1，故 B 正确；当 M，N 分别在 BB1，CC1 上运动时，△A1DM 的面积不变，点 N 到平面 A1DM 的距离不变，所以三棱锥 N­A1DM 的体积不变，即三棱锥 A1­DMN 的体积为定值，故 C 正确；若△DMN 为直角三角形，则必是 以∠MDN 为直角的直角三角形，易证 DM＝DN，所以△DMN 为等腰直角三角形，所以 DO＝ OM＝ON，即 MN＝2DO.设正三棱柱的棱长为 2，则 DO＝ 3，MN＝2 3.因为 MN 的最大值为 BC1，BC1＝2 2，所以 MN 不可能为 2 3，所以△DMN 不可能为直角三角形，故 D 错误．故 选 ABC. 13.解析：该正四面体如图所示，取 AD 的中点 H，连接 GH，EH，则 GH∥AB，所以∠HGE 为直线 EG 与直线 BC 所成的角．设该正四面体的棱长 为 2，则 HE＝EG＝ 3，GH＝1.在△HEG 中，由余弦定理，得 cos∠HGE＝ HG2＋EG2－HE2 2HG·EG ＝ 3 6 . 答案： 3 6 14.解析：如图所示，设圆柱的底面半径为 r，则圆柱的侧面积为 S ＝2πr×2 1－r2＝4πr 1－r2≤4π× r2＋（1－r2） 2 ＝2π(当且仅当 r2 ＝ 1 － r2 ， 即 r ＝ 2 2 时 取 等 号 ) ． 所 以 当 r ＝ 2 2 时 ， V 球 V 圆柱＝ 4π 3 × 13 π( 2 2 ) 2 × 2 ＝ 4 2 3 . 答案： 4 2 315．解析：三棱锥的体积 V＝ 1 3× 1 2×2 3×4×sin 30°×6＝4 3.取 SB 的中点 O，连接 OA， OC.因为 SA⊥平面 ABC，AB⊂平面 ABC，所以 SA⊥AB，可得 Rt△ASB 中，中线 OA＝ 1 2SB.由 AB＝4，BC＝2 3，∠ABC＝30°，可知 AC⊥BC.又因为 SA⊥BC，SA，AC 是平面 SAC 内的 相交直线，所以 BC⊥平面 SAC，所以 BC⊥SC，所以 Rt△BSC 中，中线 OC＝ 1 2SB，所以 O 是 三棱锥 S­ABC 的外接球的球心．在 Rt△SBA 中，AB＝4，SA＝6，所以 SB＝2 13，则外接球 半径 R＝ 1 2SB＝ 13.因此其外接球的表面积 S＝4πR2＝4π×13＝52π. 答案：4 3　52π 16．解析：当液面的形状为三角形时，最大三角形即与正方体的一个顶点相邻的三个顶 点构成的三角形，这四个顶点构成的三棱锥的体积为 1 3× 1 2×2×2×2＝ 4 3，所以当液体体积小 于或等于 4 3时不满足题意．由对称性，当液体体积大于或等于 23－ 4 3＝ 20 3 时亦不满足题意．综 上所述，液体体积的取值范围是(4 3， 20 3 ). 答案：(4 3， 20 3 )