2020高考数学二轮习题小题专题练（五）解析几何（Word版带解析）

小题专题练(五)　解析几何 一、单项选择题 1．(2019·福建省质量检查)已知双曲线 C 的中心在坐标原点，一个焦点( 5，0)到渐近线的 距离等于 2，则 C 的渐近线方程为(　　) A．y＝± 1 2x B．y＝±2 3x C．y＝± 3 2x D．y＝±2x 2．已知椭圆 C： x2 a2＋ y2 b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为 F1、F2，离心率为 2 3，过 F2 的直 线 l 交 C 于 A，B 两点，若△AF1B 的周长为 12，则 C 的方程为(　　) A. x2 3 ＋y2＝1 B. x2 3 ＋ y2 2 ＝1 C.x2 9＋ y2 4 ＝1 D. x2 9 ＋ y2 5 ＝1 3．过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2 的切线有且只有一条，则该切线的方程为(　　) A．2x＋y－5＝0 B．2x＋y－7＝0 C．x－2y－5＝0 D．x－2y－7＝0 4．(2019·重庆市七校联合考试)两圆 x 2＋y2＋4x－4y＝0 和 x2＋y2＋2x－8＝0 相交于两点 M，N，则线段 MN 的长为(　　) A. 3 5 5 B．4 C. 6 5 5 D. 12 5 5 5．直线 l 过抛物线 y2＝－2px(p＞0)的焦点，且与该抛物线交于 A，B 两点，若线段 AB 的 长是 8，AB 的中点到 y 轴的距离是 2，则此抛物线的方程是(　　) A．y2＝－12x B．y2＝－8x C．y2＝－6x D．y2＝－4x 6．已知 F1，F2 分别为椭圆 C： x2 9 ＋ y2 8 ＝1 的左、右焦点，点 E 是椭圆 C 上的动点，则 EF1→ ·EF2→ 的最大值、最小值分别为(　　) A．9，7 B．8，7 C．9，8 D．17，8 7．已知直线 y＝k(x＋2)(k＞0)与抛物线 C：y2＝8x 相交于 A，B 两点，F 为 C 的焦点．若|FA| ＝2|FB|，则 k＝(　　) A. 1 3 B. 2 3 C. 2 3 D. 2 2 3 8．(2019·唐山市摸底考试)已知 F 1，F2 为椭圆 C： x2 a2＋ y2 b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，过原 点 O 且倾斜角为 30°的直线 l 与椭圆 C 的一个交点为 A，若 AF1⊥AF2，S△F1AF2＝2，则椭 圆 C 的方程为(　　) A. x2 6 ＋ y2 2 ＝1 B. x2 8 ＋y2 4＝1 C. x2 8 ＋ y2 2 ＝1 D. x2 20＋ y2 16＝1 二、多项选择题 9．(2020·山东省普通高等学校统一考试)已知双曲线 C 过点(3， 2)且渐近线为 y＝± 3 3 x， 则下列结论正确的是(　　) A．C 的方程为 x2 3 －y2＝1 B．C 的离心率为 3 C．曲线 y＝ex－2－1 经过 C 的一个焦点 D．直线 x－ 2y－1＝0 与 C 有两个公共点 10．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线 C 与椭圆 x2 9 ＋ y2 4 ＝1 有相同的焦距，且一 条渐近线方程为 x－2y＝0，则双曲线 C 的方程可能为(　　) A. x2 4 －y2＝1 B．x2－ y2 4 ＝1 C. y2 4 －x2＝1 D．y2－ x2 4 ＝1 11．已知 F1，F2 分别是双曲线 C：y2－x2＝1 的上、下焦点，点 P 是其一条渐近线上一点， 且以线段 F1F2 为直径的圆经过点 P，则(　　) A．双曲线 C 的渐近线方程为 y＝±x B．以 F1F2 为直径的圆的方程为 x2＋y2＝1 C．点 P 的横坐标为±1 D．△PF1F2 的面积为 2 12．已知抛物线 C：y2＝4x 的焦点为 F，准线为 l，P 为 C 上一点，PQ 垂直于 l 且交 l 于 点 Q，M，N 分别为 PQ，PF 的中点，MN 与 x 轴相交于点 R，若∠NRF＝60°，则(　　) A．∠FQP＝60° B．|QM|＝1 C．|FP|＝4 D．|FR|＝4 三、填空题13．已知圆 C1：x2＋(y－2)2＝4，抛物线 C2：y2＝2px(p＞0)，C1 与 C2 相交于 A，B 两点，|AB| ＝ 8 5 5 ，则抛物线 C2 的方程为____________． 14．(2019·江西七校第一次联考)已知 F1，F2 为双曲线 C：x2－y2＝2 的左、右焦点，点 P 在 C 上，|PF1|＝2|PF2|，则 cos∠F1PF2＝________． 15．已知椭圆 M： x2 a2＋ y2 b2＝1(a＞b＞0)，双曲线 N： x2 m2－ y2 n2＝1.若双曲线 N 的两条渐近线与 椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 M 的离心率为 ________；双曲线 N 的离心率为________． 16．如图，椭圆 C： x2 a2＋ y2 4 ＝1(a>2)，圆 O：x2＋y2＝a2＋4，椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1，F2，过椭圆上一点 P 和原点 O 作直线 l 交圆 O 于 M，N 两点，若|PF1|·|PF2|＝6，则|PM|·|PN|的值为________． 小题专题练(五)　解析几何 1．解析：选 D.设双曲线 C 的方程为 x2 a2－ y2 b2＝1(a>0，b>0)，则由题意，得 c＝ 5.双曲线 C 的渐近线方程为 y＝± b ax，即 bx±ay＝0，所以 5b b2＋a2＝2，又 c2＝a2＋b2＝5，所以 b＝2，所以 a＝ c2－b2＝1，所以双曲线 C 的渐近线方程为 y＝±2x，故选 D. 2．解析：选 D.由椭圆的定义，知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，所以△AF1B 的周长 为|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝12，所以 a＝3.因为椭圆的离心率 e＝ c a＝ 2 3，所以 c＝2，所 以 b2＝a2－c2＝5，所以椭圆 C 的方程为 x2 9 ＋ y2 5 ＝1，故选 D. 3．解析：选 B.因为过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2 的切线有且只有一条，所以点(3，1)在 圆(x－1)2＋y2＝r2 上，因为圆心与切点连线的斜率 k＝ 1－0 3－1＝ 1 2，所以切线的斜率为－2， 则圆的切线方程为 y－1＝－2(x－3)，即 2x＋y－7＝0.故选 B. 4．解析：选 D.两圆方程相减，得直线 MN 的方程为 x－2y＋4＝0，圆 x2＋y2＋2x－8＝0 的标准形式为(x＋1)2＋y2＝9，所以圆 x2＋y2＋2x－8＝0 的圆心为(－1，0)．半径为 3，圆心(－ 1，0)到直线 MN 的距离 d＝ 3 5，所以线段 MN 的长为 2 32－( 3 5 )2 ＝ 12 5 5 .故选 D. 5．解析：选 B.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线的定义可知|AB|＝－(x1＋x2)＋p＝8.又 AB 的中点到 y 轴的距离为 2，所以－ x1＋x2 2 ＝2，所以 x1＋x2＝－4，所以 p＝4，所以所求抛物 线的方程为 y2＝－8x.故选 B. 6．解析：选 B.由题意可知椭圆的左、右焦点坐标分别为 F1(－1，0)，F2(1，0)，设 E(x，y)(－3≤x≤3)，则EF1→ ＝(－1－x，－y)，EF2→ ＝(1－x，－y)，所以EF1→ ·EF2→ ＝x2－1＋y2＝x2－1＋ 8－ 8 9x2＝ x2 9 ＋7，所以当 x＝0 时，EF1→ ·EF2→ 有最小值 7，当 x＝±3 时，EF1→ ·EF2→ 有最大值 8，故 选 B. 7．解析：选 D.设抛物线 C：y2＝8x 的准线为 l，易知 l：x＝－2， 直线 y＝k(x＋2)恒过定点 P(－2，0)， 如图，过 A，B 分别作 AM⊥l 于点 M，BN⊥l 于点 N，由|FA|＝ 2|FB|，知|AM|＝2|BN|， 所以点 B 为线段 AP 的中点，连接 OB， 则|OB|＝ 1 2|AF|，所以|OB|＝|BF|，所以点 B 的横坐标为 1，因为 k＞0，所以点 B 的坐标为 (1，2 2)，所以 k＝ 2 2－0 1－（－2）＝ 2 2 3 .故选 D. 8．解析：选 A.因为点 A 在椭圆上，所以|AF1|＋|AF2|＝2a，对其平方，得|AF1|2＋|AF2|2＋ 2|AF1||AF2|＝4a2，又 AF1⊥AF2，所以|AF1|2＋|AF2|2＝4c2，则 2|AF1||AF2|＝4a2－4c2＝4b2，即 |AF1|·|AF2|＝2b2，所以 S△AF1F2＝ 1 2|AF1||AF2|＝b2＝2.又△AF1F2 是直角三角形，∠F1AF2＝90 °，且 O 为 F1F2 的中点，所以|OA|＝ 1 2|F1F2|＝c，由已知不妨设 A 点在第一象限，则∠AOF2＝ 30°，所以 A( 3 2 c， 1 2c)，则 S△AF1F2＝ 1 2|F1F2|· 1 2c＝ 1 2c2＝2，c2＝4，故 a2＝b2＋c2＝6，所以 椭圆方程为 x2 6 ＋ y2 2 ＝1，故选 A. 9．AC 10．解析：选 AD.在椭圆 x2 9 ＋ y2 4 ＝1 中，c＝ 9－4＝ 5.因为双曲线 C 与椭圆 x2 9 ＋ y2 4 ＝1 有 相同的焦距，且一条渐近线方程为 x－2y＝0，所以可设双曲线方程为 x2 4 －y2＝λ(λ≠0)，化为标 准方程为 x2 4λ－ y2 λ＝1.当 λ＞0 时，c＝ λ＋4λ＝ 5，解得 λ＝1，所以双曲线 C 的方程为 x2 4 －y2 ＝1；当 λ＜0 时，c＝ －λ－4λ＝ 5，解得 λ＝－1，所以双曲线 C 的方程为 y2－ x2 4 ＝1.综上， 双曲线 C 的方程为 x2 4 －y2＝1 或 y2－ x2 4 ＝1，故选 AD. 11．解析：选 ACD.等轴双曲线 C：y2－x2＝1 的渐近线方程为 y＝±x，故 A 正确．由双 曲线的方程可知|F1F2|＝2 2，所以以 F1F2 为直径的圆的方程为 x2＋y2＝2，故 B 错误．点 P(x0，y0)在圆 x2＋y2＝2 上，不妨设点 P(x0，y0)在直线 y＝x 上，所以{x＋y＝2， y0＝x0， 解得|x0|＝1，则点 P 的横坐标为±1，故 C 正确．由上述分析可得△PF1F2 的面积为 1 2×2 2×1＝ 2，故 D 正 确．故选 ACD. 12.解析：选 AC. 如图，连接 FQ ，FM ，因为 M ，N 分别为 PQ ，PF 的中点，所以 MN∥FQ.又 PQ∥x 轴，∠NRF＝60°，所以 ∠FQP＝60°.由抛物线定义知，|PQ|＝|PF|，所以△FQP 为等边三角 形，则 FM⊥PQ，|QM|＝2，等边三角形 FQP 的边长为 4，|FP|＝|PQ| ＝4，|FN|＝ 1 2|PF|＝2，则△FRN 为等边三角形，所以|FR|＝2.故选 AC. 13．解析：由题意，知圆 C1 与抛物线 C2 的一个交点为原点，不妨记为 B，设 A(m，n)．因 为|AB|＝ 8 5 5 ，所以{ m2＋n2＝8 5 5 ， m2＋（n－2）2＝4， 解得{m ＝8 5， n＝16 5 ， 即 A(8 5， 16 5 ).将点 A 的坐标代入抛物线方 程得(16 5 ) 2 ＝2p× 8 5，所以 p＝ 16 5 ，所以抛物线 C2 的方程为 y2＝ 32 5 x. 答案：y2＝ 32 5 x 14．解析：化双曲线的方程为 x2 2 － y2 2 ＝1，则 a＝b＝ 2，c＝2，因为|PF1|＝2|PF2|，所以点 P 在双曲线的右支上，则由双曲线的定义，知|PF1|－|PF2|＝2a＝2 2，解得|PF1|＝4 2，|PF2|＝ 2 2，根据余弦定理得 cos∠F1PF2＝ （2 2）2＋（4 2）2－16 2 × 2 2 × 4 2 ＝ 3 4. 答案： 3 4 15．解析：如图，六边形 ABF1CDF2 为正六边形，直线 OA，OB 是双曲线的渐近线，则 △AOF2 是正三角形．所以直线 OA 的倾斜角为 π 3 ，所以其斜率 k＝ |n| |m|＝ 3，所以双曲线 N 的 离心率 e1＝ 1＋n2 m2＝ 1＋3＝2.连接 F1A.因为正六边形的边长为 c，所以|F1A|＝ 3c.由椭圆定义 得|F1A|＋|F2A|＝2a，即 c＋ 3c＝2a， 所以椭圆 M 的离心率 e2＝ c a＝ 2 1＋ 3 ＝ 3－1. 答案： 3－1　216．解析：由已知|PM|·|PN|＝(R－|OP|)(R＋|OP|)＝R2－|OP|2＝a2＋4－|OP|2，|OP|2＝|OP→ |2＝ 1 4 (PF1→ ＋PF2→ )2＝ 1 4(|PF1→ |2＋|PF2→ |2＋2|PF1→ ||PF2→ |cos∠F1PF2)＝ 1 2(|PF1→ |2＋|PF2→ |2)－ 1 4(|PF1→ |2＋|PF2→ |2－2|PF1→ || PF2→ |cos∠F1PF2)＝ 1 2[(2a)2－2|PF1||PF2|]－ 1 4×(2c)2＝a2－2，所以|PM|·|PN|＝(a2＋4)－(a2－2)＝6. 答案：6