麓山国际学校 2019-2020 学年高二寒假网上检测试卷（二）
数 学
总分：150 分 考试时间：120 分钟
一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分；共 60 分）
1. 从 个同类产品（其中 个是正品， 个是次品）中任意抽取 个，
下列选项是必然事件的是
A. 个都是正品 B. 至少有 个是次品
C. 个都是次品 D. 至少有 个是正品
2. 某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成 组：
， ， ， ， ， 加以统计，
得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生 名，据此估计，该模
块测试成绩不少于 分的学生人数为
A. B. C. D.
3. 函数 的定义域为 ，其导函数 在 内的图象如图，则函
数 在开区间 内有极小值点
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
4. 设复数 ， ，则复数 的虚部是
A. B. C. D.
5. 给 出 下 列 函 数 ： ① ， ② ， ③
，④ ，其中值域不是 的函数个
数为
A. B. C. D.
6. 已知点 P，Q 为圆 C：x2+y2＝25 上的任意两点，且|PQ|＜6，若 PQ 中点组成的区域为
M，在圆 C 内任取一点，则该点落在区域 M 上的概率为（ ）
A． B． C． D．
7. 已知函数 ，若 ，则实数
的取值范围是
A. B. C. D.
8. 椭圆 上一点 到其一个焦点的距离为 ，则点 到另一个焦
点的距离为
A. B. C. D.
9. 已知： ， ， ，点 在 上运动，
则当 取得最小值时，点 的坐标为
A. B. C. D.
10. 下列四个结论中正确的个数是
①若 ，则 ；
②已知变量 和 满足关系 ，若变量 与 正相关，
则 与 负相关．
③“已知直线 ， 和平面 ， ，若 ， ， ，则
”为真命题；
④ 是直线 与直线 互相垂
直的充要条件．
A. B. C. D.
11. 已知“若点 在双曲线 上，则 在点
处 的 切 线 方 程 为 ” ， 现 已 知 双 曲 线 和 点
，过点 作双曲线 的两条切线，切点分别为 ，
，则直线 过定点
A. B. C. D.
12. 定义在 R 上的可导函数 f（x）满足 f（1）＝1，且 2f'（x）＞1，当 x∈[﹣ ， ]时，
不等式 的解集为（ ）
A．（ ， ） B．（﹣ ， ） C．（0， ） D．（﹣ ， ）
二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分；共 20 分）
13. 已知 P，Q 为抛物线 f（x）＝ 上两点，点 P，Q 的横坐标分别为 4，﹣2，过 P、Q
分别作抛物线的切线，两切线交于点 A，则点 A 的纵坐标为 ．
14. 已知复数 （ ， 为虚数单位），若 ，则实数 的
值为 ．
15. 已 知 函 数 ， 其 中 是 自 然 对 数 的 底 数 ． 若
．则实数 的取值范围是 ．
16. 已知斜率为 的直线 与抛物线 交于位于 轴上方的
不同两点 ， ，记直线 ， 的斜率分别为 ， ，则
的取值范围是 ．
三、解答题（共 6 小题，其中第 17 题 10 分，其余各题 12 分；共 70 分）
17. 国内某知名连锁店分店开张营业期间，在固定的时间段内消费达到一定标准的顾客可
进行一次抽奖活动，随着抽奖活动的有效开展，参加抽奖活动的人数越来越多，该分店
经理对开业前 天参加抽奖活动的人数进行统计， 表示开业第 天参加
抽奖活动的人数，得到统计表格如下：
经过进一步统计分析，发现 与 具有线性相关关系．
参 考 公 式 ： ， ， ，
．
（1）若从这 天随机抽取两天，求至少有 天参加抽奖人数超过
的概率；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 关于 的线性回归
方程 ，并估计若该活动持续 天，共有多少名顾客参加
抽奖．
18. 如图，在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，AA1C1C 是边长为 4 的正方形．平面 ABC⊥平面
AA1C1C，AB＝3，BC＝5．
（Ⅰ）求证：AA1⊥平面 ABC；（Ⅱ）求证二面角 A1﹣BC1﹣B1 的余弦值；
（Ⅲ）证明：在线段 BC1 上存在点 D，使得 AD⊥A1B，并求 的值．
19. 在平面直角坐标系 xOy 中，F 是抛物线 C：y2＝2px（p＞0）的焦点，M 是抛物线 C 上
的任意一点，当 M 位于第一象限内时，△OFM 外接圆的圆心到抛物线 C 准线的距离为
．
（1）求抛物线 C 的方程；
（2）过 K（﹣1，0）的直线 l 交抛物线 C 于 A，B 两点，且 ，
点 G 为 x 轴上一点，且|GA|＝|GB|，求点 G 的横坐标 x0 的取值范围．
20. 设函数 f（x）＝x2﹣2x+1+alnx（a∈R）．
（1）讨论函数 f（x）的单调性；
（2）若函数 f（x）有两个极值点 x1、x2，且 x1＜x2，证明：f（x2）＞ ．
21. 已知椭圆 ： 的右焦点为 ，且经过点 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）设 为原点，直线 ： 与椭圆
交 于 两 个 不 同 点 ， ， 直 线 与 轴 交 于 点
， 直 线 与 轴 交 于 点 ， 若
，求证：直线 经过定点．22. 已知函数 ， ， ．
（1）当 时，求函数 单调区间；
（2）若曲线 点 处的切线 与曲线
切于点 ，求 ， ， 的值；
（3）若 恒成立，求 的最大值．2020 年高二（上）寒假数学测试卷 2 参考答案
第一部分
1. D 【解析】D 解析：因为有 正品， 个次品，所以任意抽取 个，有 中情况： 个都
是正品； 个正品， 个次品； 个正品， 个次品．只有 D 包含了这 种情况．
2. B
3. A 【解析】设 的图象与工轴的交点（除原点外）依次为 、 、 ，
则当 时， ，函数 是增函数；当 时， ，函
数 是减函数；当 时， ，函数 是增函数；当
时， ，函数 是减函数．所以当 时，取得极小值，再无其他极小值
点．
4. A
5. C
6 解：当|PQ|＝6 时，圆心到线段 PQ 的距离 d＝ ，
此时 M 位于半径是 4 的圆上，
∴若|PQ|＜6，
则 PQ 中点组成的区域为 M 为半径为 4 的圆与半径为 5 的圆组成的圆环，即 16＜x2+y2＜25，
PQ 中点组成的区域为 M 如图所示，
那么在 C 内部任取一点落在 M 内的概率为 ，
故选：B．
7. C 【解析】因为函数 ，
所以函数 恒成立，
故函数 为增函数，
又由 ，
故函数 为奇函数，
若 ，
则 ，解得： .
8. D
9. C 【解析】提示：设 ，则 ，
， ，当 时， 取得
最小值．
10. B
【解析】对于①，若 ，可知， ，则 ，故正确；
对于②，因为变量 和 满足关系 ，一次项系数为 ，所以 与
负相关；
变量 与 正相关，设 ，
所以 ，得到 ，一次项系数小于 ，所以 与 负相关，故正
确；
对于③，若 ， ， ，则 ， 的位置关系不定，故错；
对于④，当 时，直线 与直线 也互相垂直，
故错．
11. C 设 ， ，则切点分别为 ， 的切线方程为 ，
．
因为点 在两条切线上，所以 ， ．所以 ， 两点均在直线
上，
即直线 的方程为 ，显然直线过点 ．12. D 解：令 g（x）＝f（x）﹣ ，则 g′（x）＝f′（x） ＞0，∴g（x）在定义域
R 上是增函数，且 g（1）＝f（1） ＝0，∴g（2cosx）＝f（2cosx）﹣cosx ＝f
（2cosx）﹣cosx ，
令 2cosx＞1，则 g（2cosx）＞0，即 f（2cosx）＞ +cosx，又∵x∈[﹣ ， ]，且 2cosx＞1
∴x∈（﹣ ， ），故选：D．
第二部分
13.﹣4 解：因为点 P，Q 的横坐标分别为 4，﹣2，代入抛物线方程得 P，Q 的纵坐标分别
为 8，2．
由 x2＝2y，则 y＝ x2，所以 y′＝x，过点 P，Q 的抛物线的切线的斜率分别为 4，﹣2，
所以过点 P，Q 的抛物线的切线方程分别为 y＝4x﹣8，y＝﹣2x﹣2 联立方程组解得 x＝1，y＝﹣
4
故点 A 的纵坐标为﹣4．故答案为：﹣4．
14.
【解析】因为 ，且 ，所以 ，解得
．又因为 ，所以 ．
15.
16.
【解析】设直线 ： ， ， ， ，则：
得： ，所以 . ， .
.
第三部分
17. （1） 若从这 天随机抽取两天，有 种情况，两天人数均少于 ，有 种情
况，所以至少有 天参加抽奖人数超过 的概率为 ．
（2） ， ， ， ，
所以 ，所以估计若该活动持续 天，共有 名顾客参
加抽奖．
18.（I）证明：∵AA1C1C 是正方形，∴AA1⊥AC．
又∵平面 ABC⊥平面 AA1C1C，平面 ABC∩平面 AA1C1C＝AC，∴AA1⊥平面 ABC．
（II）解：由 AC＝4，BC＝5，AB＝3．∴AC2+AB2＝BC2，∴AB⊥AC．
建立如图所示的空间直角坐标系，则 A1（0，0，4），B（0，3，0），B 1（0，3，4），C 1
（4，0，4），∴ ， ， ．
设平面 A1BC1 的法向量为 ，平面 B1BC1 的法向量为 ＝（x2，y2，
z2）．
则 ，令 y1＝4，解得 x1＝0，z1＝3，∴ ．
，令 x2＝3，解得 y2＝4，z2＝0，∴ ．
＝ ＝ ＝ ．
∴二面角 A1﹣BC1﹣B1 的余弦值为 ．
（III）设点 D 的竖坐标为 t，（0＜t＜4），在平面 BCC 1B1 中作 DE⊥BC 于 E，可得 D
，∴ ＝ ， ＝（0，3，﹣4），
∵ ， ∴ ， ∴ ， 解 得 t ＝ ． ∴．
19.解：（1）F 是抛物线 C：y2＝2px（p＞0）的焦点（ ，0），根据题意，点 Q 在 FO 的
垂直平分线上，所以点 Q 到准线 x＝﹣ 的距离为 ，所以 C：y2＝4x．
（2）设 ，①
设直线 l：x＝my﹣1 代入到 y2＝4x 中得 y2﹣4my+4＝0，所以 y1+y2＝4m，y1y2＝4，②
由①②可得 4m2＝ ＝λ+ +2，
由 2≤λ≤3 可得 y＝λ+ +2 递增，即有 4m2∈[ ， ]，
又 AB 中点（2m2﹣1，2m），
所以直线 AB 的垂直平分线的方程为 y﹣2m＝﹣m（x﹣2m2+1），令 y＝0，
可得 ．
20.解：（1）∵f′（x）＝ ，（x＞0），∴△＝4﹣8a＝4（1﹣2a），①a≥ 时，有△≤0，∴f′（x）＞0 在（0，+∞）上恒成立，∴f（x）在（0，+∞）递增，
②0＜a＜ 时，有△＞0，令 f′（x）＝0，解得：x 1 ＝ （x 1 ＞0），x 2 ＝
，
令 f′（x）＞0，解得：0＜x＜ 或 x＞ ，
令 f′（x）＜0，解得： ＜x＜ ，∴f（x）在（0， ），
（ ，+∞）递增，在（ ， ）递减；
③a≤0 时，有△＞0，且②中的 x 1 ＝ ≤0，令 f′（x）＞0，解得：x＞
，
令 f′（x）＜0，解得：0＜x＜ ，
∴f（x）在（0， ）递减，在（ ，+∞）递增；
（2）∵x2 为极值点，∴f′（x2 ）＝0，即 2 ﹣2x2+a＝0，解得：a＝2x2﹣2 ，
由（1）中②可知 ＜x2＜1，∴f（x2 ）＝ ﹣2x2+1+（2x2﹣2 ）lnx2，（ ＜x2＜1），
令 g（t）＝t2﹣2t+1+（2t﹣2t2）lnt，（ ＜t＜1），∴g′（t）＝2（1﹣2t）lnt，
当 t∈（ ，1）时，g′（t）＞0，∴g（t）在（ ，1）上递增，∴g（t）＞g（ ）＝
，
∴f（x2 ）＝g（x2 ）＞ ．
21. （1） 由题意得， ， ．所以 ．所以椭圆 的方程为
．
（2） 设 ， ，则直线 的方程为 ．
令 ，得点 的横坐标 ．又 ，从而
．同理， ．由 得 ．
则 ， ．所以
又 ，所以 ．解得 ，所以直线 经过定点 ．
22. （1） ，则 ，令 ，得 ，
所以 在 上单调递增．令 ，得 ，
所以 在 上单调递减．
（2） 因为 ，所以 ，所以 的方程为 ．依题意，
， ．
于是 与抛物线 切于点 ，由 得 ．所以
， ， ．
（3） 设 ，则 恒成立．易得
．
（ ）当 时，因为 ，所以此时 在 上单调递增．
①若 ，则当 时满足条件，此时 ；
②若 ，取 且 ，此时
，所以 不恒成立，不满足条件；
（ ）当 时，令 ，得 ．由 ，得 ；
由 ，得 ．
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
要使得“ 恒成立”，必须有“当 时，
”成立．所以 ．
则 ．令 ， ，则
．
令 ，得 ．由 ，得 ；由 ，得 ．
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，所以，当 时，
．
从而，当 ， 时， 的最大值为 ．综上， 的最大值为
．
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