天津市南开区2020届高三数学上学期期末试卷（Word版含答案）

天津市南开区 2019~2020 学年度高三年级上学期期末考试 数学试卷 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设全集 U＝{1，2，3，4}，集合 S＝{1，2}，T＝{2，3}，则（∁US）∩T 等于（　　） A．{2} B．{3} C．{4} D．{2，3，4} 2．命题“∃x0∈（0，+∞），ln x0＝x0﹣1”的否定是（　　） A．∀x∈（0，+∞），ln x≠x﹣1 B．∀x∉（0，+∞），ln x＝x﹣1 C．∃x0∈（0，+∞），ln x0≠x0﹣1 D．∃x0∉（0，+∞），ln x0＝x0﹣1 3．下列函数中是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增的是（　　） A．y＝x3 B．y＝﹣lgx2 C．y＝2x D．y 4．已知等差数列{an}的公差为 d，前 n 项和为 Sn，则“d＞0”是“S3+S5＞2S4”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 5．设 a＝1﹣20.2，b＝1og3，c＝lg4，则 a，b，c 的大小关系是（　　） A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a 6．过点 A（﹣1，0），斜率为 k 的直线，被圆（x﹣1） 2+y2＝4 截得的弦长为 2，则 k 的值为 （　　） A．± B． C．± D． 7．函数 y＝sincos（0≤x≤9）的最大值与最小值之和为（　　） A．﹣1 B．﹣1 C．0 D．2 8．已知点 A（2，0），抛物线 C：x2＝4y 的焦点为 F，射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M，与其 准线相交于点 N，则|FM|：|MN|＝（　　） A．2： B．1：2 C．1： D．1：3 9．四边形 ABCD 中，BC＝1，AC＝2，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，则的取值范围是（　　） A．[﹣1，3] B．（﹣3，﹣1） C．[﹣3，1] D． 二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分。 10．复数的共轭复数是　 　．11．曲线 y 在点（1，1）处的切线方程为　 　． 12．四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 是正方形，PA⊥平面 ABCD，各顶点都在同一球面上，若 该棱锥的体积为 4，AB＝2，则此球的表面积等于　 　． 13．设双曲线 C 经过点（2，2），且与 x2＝1 具有相同渐近线，则 C 的方程为　 　；渐近 线方程为　 　． 14．已知正数 x，y 满足 3，则当 x　 　时，x+y 的最小值是　 　． 15．对于实数 a 和 b，定义运算“*”：a*b，设 f（x）＝（2x﹣1）*（x﹣1），若函数 g（x）＝f （x）﹣mx2（m∈R）恰有三个零点 x1，x2，x3，则 m 的取值范围是　 　；x1x2x3 的取值 范围是　 　． 三、解答题：本大题共 5 题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且 b﹣c＝1，cosA，△ABC 的面积 为 2． （Ⅰ）求 a 及 sinC 的值； （Ⅱ）求 cos（2A）的值． 17．如图，已知直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的底面是直角三角形，∠ACB＝90°，AA1＝AB＝2BC＝ 2，3． （Ⅰ）求证：AB1⊥平面 A1BD； （Ⅱ）求二面角 A﹣BD﹣A1 的余弦值； （Ⅲ）求点 B1 到平面 A1BD 的距离． 18．（15 分）已知椭圆 C 的一个顶点为 A（0，﹣1），焦点在 x 轴上，若右焦点到直线 x﹣y+20 的距离为 3． （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）设椭圆 C 与直线 y＝kx+m 相交于不同的两点 M，N，线段 MN 的中点为 E． （i）当 k＞0，m≠0 时，射线 OE 交直线 x＝﹣3 于点 D（﹣3，n）（O 为坐标原点），求 k2+n2 的最小值；（i）当 k≠0，且|AM|＝|AN|时，求 m 的取值范围． 19．已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，且 a1＝3，b 2＝a2，b5＝a3+3，b8＝ a4． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式 an； （Ⅱ）令 cn＝log2，证明：1（n∈N*，n≥2）； （Ⅲ）求（n∈N*）． 20．已知函数 f（x）＝lnx﹣ax（a∈R）． （Ⅰ）讨论 f（x）的单调性； （Ⅱ）若 f（x）≤x2 对 x∈（0，+∞）恒成立，求实数 a 的取值范围； （Ⅲ）当 a＝1 时，设 g（x）＝xe﹣f（x）﹣x﹣1（e 为自然对数的底）．若正实数 λ1，λ2 满 足 λ1+λ2＝1，x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），证明：g（λ1x1+λ2x2）＜λ1g（x1）+λ2g（x2）．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．B 2．A 3．A 4．C 5．A 6．A 7．D 8．C 9．C 二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分。 10．﹣i． 11． x+y﹣2＝0 12． 24π． 13． ，y＝±2x． 14．，9． 15． （0，）和（）． 三、解答题：本大题共 5 题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．（Ⅰ）在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且 b﹣c＝1，cosA，∴sinA， ∵△ABC 的面积为 bc•sinA•bc＝2，∴bc＝6，∴b＝3，c＝2， ∴a3． 再根据正弦定理可得 ，即，∴sinC． （Ⅱ）∴sin2A＝2sinAcosA，cos2A＝2cos2A﹣1， 故 cos（2A）＝cos2Acossin2Asin••． 17．依题意，以 C 为原点，CB 为 x 轴，CC1 为 y 轴，CA 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则，， ∵3， ∴， （Ⅰ）证明：， 设平面 A1BD 的一个法向量为，则，令，则，∴，即， ∴AB1⊥平面 A1BD； （Ⅱ）， 设平面 ABD 的一个法向量为，则，令，则， 又平面 A1BD 的一个法向量为， ∴，即二面角 A﹣BD﹣A1 的余弦值为； （Ⅲ）设点 B1 到平面 A1BD 的距离为 d，则易知，而， ∴点 B1 到平面 A1BD 的距离为． 18．解（Ⅰ），设椭圆的右焦点（c，0），c＞0，由题意得：b＝1，3，a2＝b2+c2，解得：a2＝ 3，b2＝1， 所以椭圆的方程：； （Ⅱ）i）设 M（x，y），N（x'，y'），将直线与椭圆联立整理得：（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣3 ＝0，△＝36k2m2﹣4（1+3k2）（3m2﹣3）＞0，即 m2＜1+3k2， 且 x+x'，∴y+y'＝k（x+x'）+2m，所以 MN 的中点 E（，），所以射线 OE：yx，与直线 x＝﹣3 的交点（﹣3，），所以 n，所以 n2+k2＝k22，当且仅当 k2＝1，k＞0， 所以 k＝1 时 n2+k2 有最小值 2． ii）当 k≠0，且|AM|＝|AN|时，则 AE⊥MN，所以 kAE，即，∴2m＝1+3k2，∴2m＞m2，解得 0＜m＜2， 所以 m 取值范围（0，2）． 19．（Ⅰ）设数列{an}是公比为 q 的等比数列，数列{bn}是公差为 d 的等差数列， 由 a1＝3，b2＝a2，b5＝a3+3，b8＝a4，可得 b1+d＝3q，b1+4d＝3q2+3，b1+7d＝3q3， 解得 q＝2，d＝3，b1＝3，则 an＝3•2n﹣1，bn＝3+3（n﹣1）＝3n； （Ⅱ）证明：cn＝log2log22n﹣1＝n﹣1， 111； （Ⅲ）由， 可设 Tn， Tn， 相减可得 Tn ＝2•， 化简可得． 20．（Ⅰ）函数的定义域为{x|x＞0}，， ①当 a≤0 时，f′（x）＞0，函数 f（x）在（0，+∞）上单调递增； ②当 a＞0 时，令 f′（x）＞0 解得，令 f′（x）＜0 解得，故此时函数 f（x）在上单调递增， 在上单调递减； （Ⅱ）f（x）≤x2 对 x∈（0，+∞）恒成立，即为对任意的 x∈（0，+∞），都有， 设，则，令 G（x）＝1﹣lnx﹣x2（x＞0），则， ∴G（x）在（0，+∞）上单调递减，且 G（1）＝0， ∴当 x∈（0，1）时，G（x）＞0，F′（x）＞0，F（x）单调递增； 当 x∈（1，+∞），G（x）＜0，F′（x）＜0，F（x）单调递减， ∴F（x）max＝F（1）＝﹣1， ∴实数 a 的取值范围为[﹣1，+∞）． （Ⅲ）证明：当 a＝1 时，g（x）＝xe﹣（lnx﹣x）﹣x﹣1＝xex﹣lnx﹣x﹣1＝ex﹣x﹣1，g′（x）＝ ex﹣1＞0（x＞0），不妨设 0＜x1＜x2， 下先证：存在 ξ∈（x1，x2），使得 g（x2）﹣g（x1）＝g′（ξ）（x2﹣x1）， 构造函数，显然 H（x1）＝H（x2），且， 则由导数的几何意义可知，存在 ξ∈（x1，x2），使得，即存在 ξ∈（x1，x2），使得 g（x2） ﹣g（x1）＝g′（ξ）（x2﹣x1）， 又 g′（x）＝ex﹣1 为增函数， ∴g（x2）﹣g（x1）＝g′（ξ）（x2﹣x1）＞g′（x1）（x2﹣x1），即 g（x2）＞g（x1）+g′（x1）（x2﹣x1）， 设 x3＝λ1x1+λ2x2（λ1+λ2＝0），则 x1﹣x3＝（1﹣λ1）x1﹣λ2x2，x2﹣x3＝（1﹣λ2）x2﹣λ1x1， ∴g（x1）＞g（x3）+g′（x3）（x1﹣x3）＝g（x3）+g′（x3）[（1﹣λ1）x1﹣λ2x2]①， g（x2）＞g（x3）+g′（x3）（x2﹣x3）＝g（x3）+g′（x3）[（1﹣λ2）x2﹣λ1x1]②， 由①×λ1+②×λ2 得，λ1g（x1）+λ2g（x2）＞g（x3）＝g（λ1x1+λ2x2）， 即 g（λ1x1+λ2x2）＜λ1g（x1）+λ2g（x2）．