函数与导数(5)
一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小
题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.[2019·山西太原模拟]已知函数 f(x)=xln x+a 的图象在点(1,
f(1))处的切线经过原点,则实数 a 的值为( )
A.1 B.0
C.1
e
D.-1
答案:A
解析:∵f(x)=xln x+a,∴f′(x)=ln x+1,∴f′(1)=1,f(1)
=a,∴切线方程为 y=x-1+a,∴0=0-1+a,解得 a=1.故选
A.
2.[2019·湖北黄冈模拟]函数 f(x)=(x-3)ex 的单调递增区间是
( )
A.(-∞,2) B.(0,3)
C.(1,4) D.(2,+∞)
答案:D
解析:函数 f(x)=(x-3)ex 的导数 f′(x)=[(x-3)ex]′=1·ex+
(x-3)·ex=(x-2)ex,令 f′(x)=(x-2)ex>0,解得 x>2.故选 D.
3.[2019·河北示范性高中联考]已知函数 f(x)是定义在 R 上的
奇函数,且当 x0,则-xf(2)
2
,
即 g(ex)>g(2),故 ex0 时,f(x)( )
A.有极大值,无极小值
B.有极小值,无极大值
C.既有极大值又有极小值
D.既无极大值也无极小值
答案:D
解析:由 x2f′(x)+2xf(x)=ex
x
,得 f′(x)=ex-2x2f(x)
x3
,令 g(x)
=ex-2x2f(x),x>0,则 g′(x)=e x-2x2f′(x)-4xf(x)=e x-2·ex
x
=
(x-2)ex
x
.令 g′(x)=0,得 x=2.当 x>2 时,g′(x)>0,当 00⇔x20),由
已知函数 f(x)有两个极值点可得函数 y=a 和 g(x)=ln x+1
ex
在(0,+
∞)上的图象有两个交点,g′(x)=
1
x
-ln x-1
ex
(x>0),令 h(x)=1
x
-ln
x-1,则 h′(x)=-1
x2
-1
x
a
3
,
由 f′(x)