2020高考文科数学二轮分层特训卷客观题专练数列（8）（Word版带解析）

数列(8) 一、选择题(本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小 题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．[2019·合肥质量检测]已知等差数列{a n}，若 a2＝10，a5＝ 1，则{an}的前 7 项的和是(　　) A．112 B．51 C．28 D．18 答案：C 解析：设公差为 d，则Error!⇒Error!⇒前 7 项和 S 7＝7a1＋ 7 × (7－1) 2 ·d＝28. 2．[2019·济南模拟试题]已知正项等比数列{an}满足 a3＝1，a5 与 3 2 a4 的等差中项为1 2 ，则 a1 的值为(　　) A．4 B．2 C.1 2 D.1 4 答案：A 解析：由题意知 2×1 2 ＝a5＋3 2 a4，即 3a4＋2a5＝2.设{an}的公 比为 q(q>0)，则由 a3＝1，得 3q＋2q2＝2，解得 q＝1 2 或 q＝－2(舍 去)，所以 a1＝a3 q2 ＝4. 3．[2019·陕西榆林中学月考]已知数列{an}中，a3＝2，a7＝1， 且数列 { 1 an＋1}为等差数列，则 a5＝(　　) A.7 5 B.12 5 C.5 6 D.11 6 答案：A解析：∵a3＝2，a7＝1，∴ 1 a3＋1 ＝1 3 ， 1 a7＋1 ＝1 2 ，又数列 { 1 an＋1}为等差数列，∴ 2 a5＋1 ＝1 3 ＋1 2 ，∴a5＝7 5 ，故选 A. 4．[2019·天津月考]已知 q 是等比数列{an}的公比， 则“a1(1－q)>0”是“数列{an}是递增数列”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：D 解析：若 a1(1－q)>0，则Error!或Error!当Error!或Error!时，数 列{an}是递减数列；当Error!时，数列{an}不是递增数列．所以“a1(1 －q)>0”是“数列{an}是递增数列”的不充分条件．若数列{an}是 递增数列，则Error!或Error!即 a1(1－q)0”是 “数列{an}是递增数列”的不必要条件．所以“a1(1－q)>0”是“数 列{an}是递增数列”的既不充分也不必要条件，故选 D. 5．[2019·山东青岛期末]已知 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和， 若 S7>S5，则 S9 和 S3 的大小关系是(　　) A．S9S3 D．不确定 答案：C 解析：∵S7>S5，∴S7－S5>0，∴a7＋a6>0，∴S9－S3＝a4＋a5＋ a6＋a7＋a8＋a9＝3(a6＋a7)>0，∴S9>S3，故选 C. 6．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题： “今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？” 其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 钱，甲、乙两人 所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依 次成等差数列，问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量 单位)．这个问题中，甲所得为(　　) A.5 4 钱 B.5 3 钱 C.3 2 钱 D.4 3 钱 答案：D 解析：设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，依题意有Error!解得Error!故选 D. 7．[2019·重庆统一调研]已知{an}是公差为 3 的等差数列，{bn} 是公差为 4 的等差数列，且 bn∈N*，则{abn}为(　　) A．公差为 7 的等差数列 B．公差为 12 的等差数列 C．公比为 12 的等比数列 D．公比为 81 的等比数列 答案：B 解析：∵{an}是公差为 3 的等差数列，∴an＝3n＋a1－3，∵{bn} 是公差为 4 的等差数列，∴bn＝4n＋b1－4，∴abn＝3bn＋a1－3＝ 12n＋3b1＋a1－15，abn＋1＝12n＋3b1＋a1－3，又 abn＋1－abn＝12， ∴{abn}是公差为 12 的等差数列，故选 B. 8．[2019·山东济南四校联考]在等比数列{an}中，a1＝1，a4＝ 1 8 ，且 a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1T9，所以 Tn 最大时， n 的值为 12，故选 D. 10．[2019·黑龙江月考]已知正项数列{an}是公比不等 于 1 的等比数列，且 lg a1＋lg a2 019＝0，f(x)＝ 2 1＋x2 ，则 f(a1)＋f(a2) ＋…＋f(a2 019)＝(　　) A．2 018 B．4 036 C．2 019 D．4 038 答案：C 解析：∵f(x)＝ 2 1＋x2 ，∴f ( 1 x )＝ 2x2 x2＋1 ，∴f(x)＋f ( 1 x )＝2，∵lg a1＋lg a2 019＝0，∴lg a1a2 019＝0，∴a1·a2 019＝1，∴f(a1)＋f(a2 019)＝ f(a2)＋f(a2 018)＝…＝f(a1 009)＋f(a1 011)＝2f(a1 010)＝2，∴f(a1)＋f(a2) ＋…＋f(a2 019)＝2 019，故选 C. 11．[2019·河南驻马店期中]设 a 1，a2，…，an 是一组向量， 若 a1＝(－2 018,2 018)，an－an－1＝(1，－1)(n∈N*且 n≥2)，则 a2 018＝(　　) A．(1,1) B．(1，－1) C．(－1,1) D．(－1，－1) 答案：C 解析：设 an＝(xn，yn)，∵an－an－1＝(1，－1)，∴xn－xn－1＝ 1，yn－yn－1＝－1，n∈N*且 n≥2，∴{xn}是公差为 1 的等差数列， {yn}是公差为－1 的等差数列，又 a1＝(－2 018,2 018)，∴x1＝－2 018，y1＝2 018，∴x2 018＝－2 018＋2 017＝－1，y2 018＝2 018－2 017＝1，∴a2 018＝(－1,1)，故选 C. 12．[2019·黑龙江期中]已知数列{an}为等差数列， a3＝3，设{an}的前 n 项和为 An，则 A6＝21，数列 { 1 an }的前 n 项和为 Sn，若对一切 n∈N*，恒有 S2n－Sn>m 16 ，则 m 能取到的最大 整数是(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 答案：B 解析：∵a3＝3，A6＝3(a3＋a4)＝21，∴a4＝4，∴数列{an}的 公差为 1，∴a1＝1，∴an＝n，∴ 1 an ＝1 n ，∴S2n－Sn＝ 1 n＋1 ＋ 1 n＋2 ＋…＋ 1 2n .令 Tn＝ 1 n＋1 ＋ 1 n＋2 ＋…＋ 1 2n ，则 Tn＋1＝ 1 n＋2 ＋ 1 n＋3 ＋… ＋ 1 2n＋2 ，∴Tn＋1－Tn＝ 1 2n＋1 ＋ 1 2n＋2 － 1 n＋1 ＝ 1 2n＋1 － 1 2n＋2 >0， ∴Tn＋1>Tn，∴Tn 的最小值为 T1＝1 2 ，∴ m 16 …>Tn，则当 Tn 最大时， n 的值为 4. 15．[2019·河期中]已知等比数列{an}的各项均为正 数，且 a3－a2＝1，则 a4＋3a2 的最小值为________． 答案：6 解析：通解　∵a2·a4＝a23，∴a4＝a23 a2 ，∵a3－a2＝1，∴a3＝a2＋ 1，∴a4＋3a2＝(a2＋1)2 a2 ＋3a2＝ 1 a2 ＋4a2＋2，∵a2>0，∴ 1 a2 ＋4a2＋ 2≥6，即 a4＋3a2≥6，当且仅当 a2＝1 2 时取等号，所以 a4＋3a2 的 最小值为 6. 优解　设数列{an}的公比为 q，∵a3－a2＝1，∴q>1 且 a1q2－ a1q ＝ 1 ， 即 a1 ＝ 1 q(q－1) ， ∴a4 ＋ 3a2 ＝ a1q3 ＋ 3a1q ＝ q2＋3 q－1 ＝ (q－1)2＋2(q－1)＋4 q－1 ＝q－1＋ 4 q－1 ＋2≥6，当且仅当 q＝3 时取等 号，所以 a4＋3a2 的最小值为 6. 16．[2019·河北唐山一模]已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn， 且{an}与等差数列{ Sn＋n}的公差相同，则 an＝________. 答案：－1 或 1 2 n－5 4 解析：设数列{an}的公差为 d.由题可得，Sn＝na1＋n(n－1) 2 d， Sn＋n＝ a1＋1＋ (n － 1)d ， ∴Sn ＋ n ＝ a1 ＋ 1 ＋ (n － 1)2d2 ＋ 2 a1＋1·(n－1)d，则有 na 1＋n(n－1) 2 d＝a1＋1－n＋(n－1) 2d2＋2a1＋1·(n－1)d，当 n≠1 时，a1＝－1－n 2 d＋(n－1)d2＋2 a1＋1·d. 令 n＝2，解得 a1＝－1－d＋d2＋ 2 a1＋1·d；令 n＝3，解得 a 1＝－1－3 2 d＋2d2＋2 a1＋1·d.两 式相减可得 d2－1 2 d＝0，解得 d＝0 或 d＝1 2 .若 d＝0，则 a1＝－1， 则 an＝－1；若 d＝1 2 ，则 a1＝－3 4 ，则 an＝1 2 n－5 4 .综上所述，an＝－ 1 或 an＝1 2 n－5 4 .