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1．同一水平面上的两根正对平行金属直轨道 MN、M′N′，如图所示放置，两轨道之间的
距离 l＝0.5 m．轨道的 MM′端之间接一阻值 R＝0.4 Ω的定值电阻，轨道的电阻可忽略不计，
NN′端与两条位于竖直面内的半圆形光滑金属轨道 NP、N′P′平滑连接，两半圆轨道的半径均
为 R0＝0.5 m，水平直轨道 MK、M′K′段粗糙，KN、K′N′段光滑，且 KNN′K′区域恰好处于竖直
向下的匀强磁场中，磁感应强度 B＝0.64 T，磁场区域的宽度 d＝1 m，且其右边界与 NN′重合，
现有一质量 m＝0.2 kg、电阻 r＝0.1 Ω的导体杆 ab 静止在距磁场左边界 s＝2 m 处，在与杆垂
直的水平恒力 F＝2 N 作用下开始运动，导体杆 ab 与粗糙导轨间的动摩擦因数 μ＝0.1，当运
动至磁场的左边界时撤去 F，结果导体杆 ab 恰好能通过半圆形轨道的最高处 PP′.已知导体杆
在运动过程中与轨道始终垂直且接触良好，取 g＝10 m/s2.求：
(1)导体杆刚进入磁场时，通过导体杆的电流大小和方向；
(2)导体杆穿过磁场的过程中通过电阻 R 的电荷量；
(3)导体杆穿过磁场的过程中整个电路中产生的焦耳热．
解析：(1)设导体杆在 F 的作用下运动至磁场的左边界时的速度为 v1，由动能定理有
(F－μmg)s＝
1
2mv21－0，
代入数据解得 v1＝6 m/s，
导体杆刚进入磁场时产生的感应电动势
E＝Blv1＝1.92 V，
此时通过导体杆的电流 I＝
E
R＋r＝3.84 A，
根据右手定则可知，电流方向由 b 向 a.
(2)设导体杆在磁场中运动的时间为 t，产生的感应电动势的平均值为 E
－
，则由法拉第电磁
感应定律有
E
－
＝ΔΦ
Δt ＝
Bld
Δt，
通过电阻 R 的感应电流的平均值 I
－
＝R＋r，
通过电阻 R 的电荷量 q＝ I
－
Δt＝
Bld
R＋r＝0.64 C.(3)设导体杆离开磁场时的速度大小为 v2，运动到半圆形轨道最高处的速度为 v3，因导体
杆恰好能通过半圆形轨道的最高处，则在轨道最高处时，由牛顿第二定律有
mg＝m
v
R0，
代入数据解得 v3＝ 5 m/s，
杆从 NN′运动至 PP′的过程，根据机械能守恒定律有
1
2mv22＝
1
2mv23＋mg·2R0，
代入数据解得 v2＝5 m/s，
导体杆穿过磁场的过程中损失的机械能
ΔE＝
1
2mv21－
1
2mv22＝1.1 J，
此过程中电路中产生的焦耳热 Q 热＝ΔE＝1.1 J.
答案：(1)3.84 A 由 b 向 a (2)0.64 C (3)1.1 J
2．(2019·烟台模拟)如图甲所示，相距 L＝1 m 的两根足够长的光滑平行金属导轨倾斜放
置，与水平面夹角 θ＝37°，导轨电阻不计，质量 m＝1 kg、电阻为 r＝0.5 Ω的导体棒 ab 垂
直于导轨放置，导轨的 PM 两端接在外电路上，定值电阻阻值 R＝1.5 Ω，电容器的电容 C＝
0.5 F，电容器的耐压值足够大，导轨所在平面内有垂直于导轨平面斜向上的匀强磁场．在开
关 S1 闭合、S2 断开的状态下将导体棒 ab 由静止释放，导体棒的 v－t 图象如图乙所示，重力
加速度 g＝10 m/s2.
(1)求磁场的磁感应强度大小 B；
(2)在开关 S1 闭合、S2 断开的状态下，当导体棒下滑的距离 x＝5 m 时，定值电阻产生的
焦耳热为 21 J，此时导体棒的速度与加速度分别是多大？
(3)现在开关 S1 断开、S2 闭合，由静止释放导体棒，求经过 t＝2 s 时导体棒的速度．
解析：(1)由题图可知，导体棒的最大速度 vm＝3 m/s
对应的感应电动势 E＝BLvm
感应电流 I＝
E
R＋r
当导体棒的速度达到最大时，导体棒受力平衡，则
BIL＝mgsin θ
解得 B＝ mg（R＋r）sin θ
L2vm ＝2 T.(2)导体棒和电阻串联，由公式 Q＝I2Rt 可知，
Qab∶QR＝1∶3
则导体棒 ab 产生的焦耳热 Qab＝1
3×21 J＝7 J
导体棒下滑 x＝5 m 的距离，导体棒减少的重力势能转化为动能和回路中的焦耳热，由能
量守恒定律有
mgxsin θ＝
1
2mv21＋Qab＋QR
得导体棒的速度 v1＝2 m/s
此时感应电动势 E1＝BLv1，感应电流 I1＝
E1
R＋r
对导体棒有 mgsin θ－BI1L＝ma1
解得加速度 a1＝2 m/s2.
(3)开关 S1 断开、S2 闭合时，任意时刻对导体棒，根据牛顿第二定律有 mgsin θ－BIL＝ma2
感应电流 I＝
Δq
Δt，Δq＝CΔU
Δt 时间内，有ΔU＝ΔE＝BLΔv，a2＝
Δv
Δt
解得 a2＝2 m/s2
表明导体棒 ab 下滑过程中加速度不变，ab 棒做匀加速直线运动，t＝2 s 时导体棒的速度 v2
＝a2t＝4 m/s.
答案：(1)2 T (2)2 m/s 2 m/s2 (3)4 m/s
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