立体几何(11)
一、选择题(本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小
题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．[2019·湖北宜昌联考]在空间中，有如下四个命题：
①平行于同一个平面的两条直线是平行直线 ②垂直于同一
条直线的两个平面是平行平面 ③若平面 α 内有不共线的三个点
到平面 β 的距离相等，则 α∥β ④过平面 α 的一条斜线有且只有
一个平面与平面 α 垂直．
其中正确的命题是( )
A．①③ B．②④
C．①④ D．②③
答案：B
解析：平行于同一个平面的两条直线，可能平行、相交或异
面，①不正确；垂直于同一条直线的两个平面是平行平面，②正
确；若平面 α 内有不共线的三个点到平面 β 的距离相等，则 α 与 β
可能平行，也可能相交，③不正确；过平面 α 的一条斜线有且只
有一个平面与平面 α 垂直，④正确，因为一条斜线只有一条射影，
只能确定一个平面．故选 B.
2．[2019·四川泸州模拟]在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，棱所
在直线与直线 BA1 是异面直线的条数为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
答案：C
解析：在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，直线 CD，C1D1，C1C，
D1D，B1C1，AD，共有 6 条直线与直线 BA1 是异面直线，故选 C.
3．已知两个平面相互垂直，下列命题
①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线 ②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线
③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面 ④过一个平面
内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．
其中正确命题个数是( )
A．3 B．2
C．1 D．0
答案：C
解析：
构造正方体 ABCD－A1B1C1D1，如图，
①，在正方体 ABCD－A 1B1C1D1 中，平面 ADD1A1⊥平面
ABCD，A1D⊂平面 ADD1A1，BD⊂平面 ABCD，但 A1D 与 BD 不
垂直，故①错；
②，在正方体 ABCD－A 1B1C1D1 中，平面 ADD1A1⊥平面
ABCD，l 是平面 ADD1A1 内的任意一条直线，l 与平面 ABCD 内同
AB 平行的所有直线垂直，故②正确；
③，在正方体 ABCD－A 1B1C1D1 中，平面 ADD1A1⊥平面
ABCD，A1D⊂平面 ADD1A1，但 A1D 与平面 ABCD 不垂直，故③
错；
④，在正方体 ABCD－A 1B1C1D1 中，平面 ADD1A1⊥平面
ABCD，且平面 ADD1A1∩平面 ABCD＝AD，过交线 AD 上的点作
交线的垂线 l，则 l 可能与另一平面垂直，也可能与另一平面不垂
直，故④错．故选 C.
4．已知 E，F，G，H 是空间四点，命题甲：E，F，G，H 四
点不共面，命题乙：直线 EF 和 GH 不相交，则甲是乙成立的( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：B
解析：若 E，F，G，H 四点不共面，则直线 EF 和 GH 肯定不相交，但直线 EF 和 GH 不相交，E，F，G，H 四点可以共面，例
如 EF∥GH.故选 B.
5．[2019·四川泸州模拟]设 a，b 是空间中不同的直线，α，β
是不同的平面，则下列说法正确的是( )
A．a∥b，b⊂α，则 a∥α
B．a⊂α，b⊂β，α∥β，则 a∥b
C．a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则 α∥β
D．α∥β，a⊂α，则 a∥β
答案：D
解析：由 a，b 是空间中不同的直线，α，β 是不同的平面，知：
在 A 中，a∥b，b⊂α，则 a∥α 或 a⊂α，故 A 错误；
在 B 中，a⊂α，b⊂β，α∥β 则 a 与 b 平行或异面，故 B 错误；
在 C 中，a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则 α 与 β 相交或平行，
故 C 错误；
在 D 中，α∥β，a⊂α，则由面面平行的性质定理得，a∥β，
故 D 正确．
6．[2018·全国卷Ⅱ]在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝BC＝
1，AA1＝ 3，则异面直线 AD1 与 DB1 所成角的余弦值为( )
A.1
5
B. 5
6
C. 5
5
D. 2
2
答案：C
解析：
如图，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 的一侧补上一个相同的长
方体 A′B′BA－A1′B1′B1A1.
连 接 B1B′ ， 由 长 方 体 性 质 可 知 ， B1B′∥AD1 ， 所 以
∠DB1B′为异面直线 AD1 与 DB1 所成的角或其补角．连接 DB′，
由题意，得 DB′＝ 12＋(1＋1)2＝ 5，B′B1＝12＋( 3)2＝2，DB1
＝ 12＋12＋( 3)2＝ 5.
在△DB′B1 中，由余弦定理，得
DB′2＝B′B21＋DB21－2B′B1·DB1·cos∠DB1B′，即 5＝4＋5－2×2 5cos∠DB1B′，∴ cos∠DB1B′＝ 5
5
.
故选 C.
7．[2019·惠州市高三第二次调研考试试卷]设 l，m，n 为三条
不同的直线，α 为一个平面，则下列命题中正确的个数是( )
①若 l⊥α，则 l 与 α 相交 ②若 m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，
则 l⊥α ③若 l∥m，m∥n，l⊥α，则 n⊥α ④若 l∥m，m⊥α，
n⊥α，则 l∥n.
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：C
解析：对于①，若 l⊥α，则 l 与 α 不可能平行，l 也不可能在
α 内，所以 l 与 α 相交，①正确；对于②，若 m⊂α，n⊂α，l⊥m，
l⊥n，则有可能是 l⊂α，故②错误；对于③，若 l∥m，m∥n，则
l∥n，又 l⊥α，所以 n⊥α，故③正确；对于④，因为 m⊥α，
n⊥α，所以 m∥n，又 l∥m，所以 l∥n，故④正确，选 C.
8.
如图，四边形 ABCD 中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，
∠BAD＝90°，将△ADB 沿 BD 折起，使平面 ABD⊥平面 BCD，构
成三棱锥 A－BCD.则在三棱锥 A－BCD 中，下列命题正确的是
( )
A．平面 ABD⊥平面 ABC
B．平面 ADC⊥平面 BDC
C．平面 ABC⊥平面 BDC
D．平面 ADC⊥平面 ABC
答案：D
解析：∵在四边形 ABCD 中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝
45°，∠BAD＝90°，∴BD⊥CD.又平面 ABD⊥平面 BCD，且平面
ABD∩平面 BCD＝BD，∴CD⊥平面 ABD，则 CD⊥AB.又 AD⊥AB，
AD∩CD＝D，∴AB⊥平面 ADC，又 AB⊂平面 ABC，∴平面 ABC⊥
平面 ADC，故选 D.
9．[2019·湖北模拟]如图，L，M，N 分别为正方体棱
的中点，则平面 LMN 与平面 PQR 的位置关系是( )A．垂直 B．相交但不垂直
C．平行 D．重合
答案：C
解析：如图，分别取正方体另三条棱的中点为 A，B，C，将
平面 LMN 延展为平面正六边形 AMBNCL，易知 PQ∥AL，PR∥AM，
且 PQ 与 PR 相交，AL 与 AM 相交，所以平面 PQR∥平面 AMBNCL，
即平面 LMN∥平面 PQR.故选 C.
10.
[2019·福建质量检测]如图，AB 是圆锥 SO 的底面圆 O 的直径，
D 是圆 O 上异于 A，B 的任意一点，以 AO 为直径的圆与 AD 的另
一个交点为 C，P 为 SD 的中点．现给出以下结论：
①△SAC 为直角三角形
②平面 SAD⊥平面 SBD
③平面 PAB 必与圆锥 SO 的某条母线平行
其中正确结论的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案：C
解析：如图，连接 OC，∵AO 为圆的直径，∴AC⊥OC.∵SO 垂直于
底面圆 O，AC⊂底面圆 O，∴AC⊥SO.∵SO∩OC＝O，∴AC⊥平
面 SOC.又 SC⊂平面 SOC，∴AC⊥SC，∴△SAC 为直角三角形，
故①正确．由于点 D 是圆 O 上的动点，∴平面 SAD 不能总垂直于
平面 SBD，故②错误．连接 DO 并延长交圆 O 于 E，连接 SE，
PO，∵P 为 SD 的中点，O 为 DE 的中点，∴OP∥SE.又 OP⊂平
面 PAB，SE⊄平面 PAB，∴SE∥平面 PAB，故③正确．故选 C.
11．[2019·河北衡水调研]如图，在正四面体 P－ABC 中，D，
E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点，则下面结论不成立的是( )
A．BC∥平面 PDF
B．DF⊥平面 PAE
C．平面 PDF⊥平面 PAE
D．平面 PDE⊥平面 ABC
答案：D
解析：因为 BC∥DF，DF⊂平面 PDF，
BC⊄平面 PDF，
所以 BC∥平面 PDF，故选项 A 正确．
在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E，
且 AE，PE⊂平面 PAE，
所以 BC⊥平面 PAE.
因为 DF∥BC，所以 DF⊥平面 PAE.
又 DF⊂平面 PDF，
所以平面 PDF⊥平面 PAE，
因此选项 B，C 均正确．故选 D.12．[2019·江西调考]如图所示，四棱锥 S－ABCD 的
底面为正方形，SD⊥底面 ABCD，则下列结论中不正确的是( )
A．AC⊥SB
B．AB∥平面 SCD
C．SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角
D．AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角
答案：D
解析：对于选项 A，由题意得 SD⊥AC，AC⊥BD，SD∩BD＝
D，∴AC⊥平面 SBD，故 AC⊥SB，故 A 正确；对于选项 B，
∵AB∥CD，AB⊄平面 SCD，CD⊂平面 SCD，∴AB∥平面 SCD，
故 B 正确；对于选项 C，由对称性知 SA 与平面 SBD 所成的角与
SC 与平面 SBD 所成的角相等，故 C 正确．∵AB∥CD，∴AB 与 SC
所成的角为∠SCD，DC 与 SA 所成的角为∠SAB，显然不相等，
故 D 错误．
二、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
13 ． [2019· 宁 夏 银 川 质 检 ] 如 图 ， 已 知 PA⊥ 平 面 ABC ，
BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．
答案：4
解析：∵PA⊥平面 ABC，AB，AC，BC⊂平面 ABC，
∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，则△PAB，△PAC 为直角三
角形．由 BC⊥AC，且 AC∩PA＝A，得 BC⊥平面 PAC，从而
BC⊥PC，因此△ABC，△PBC 也是直角三角形．所以图中共有 4
个直角三角形．
14．[2019·模拟]设 α，β，γ 为三个不同的平面，a，
b 为直线，给出下列条件：
①a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α ②α∥γ，β∥γ ③α⊥γ，β⊥γ
④a⊥α，b⊥β，a∥b.其中能推出 α∥β 的条件是________．(填上所有正确的序号)
答案：②④
解析：在条件①或条件③中，α 还可能与 β 相交；
由 α∥γ，β∥γ⇒α∥β，条件②满足；
在④中，a⊥α，a∥b⇒b⊥α，又 b⊥β，从而 α∥β，④满
足．
综上，能推出 α∥β 的条件是②④.
15．[2019·广东广州质检]如图是正四面体(各面均为正三角形)
的平面展开图，G，H，M，N 分别为 DE，BE，EF，EC 的中
点．在这个正四面体中：
①GH 与 EF 平行 ②BD 与 MN 为异面直线
③GH 与 MN 成 60°角 ④DE 与 MN 垂直
以上四个命题中，正确命题的序号是________．
答案：②③④
解析：
把正四面体的平面展开图还原，如图所示，由正四面体的性
质易知 GH 与 EF 为异面直线，BD 与 MN 为异面直线，GH 与 MN
成 60°角，DE⊥MN.
16．[2019·重庆七校联考]如图，在正方体 ABCD－A 1B1C1D1
中，点 P 在线段 BC1 上运动．
有下列判断：①平面 PB1D⊥平面 ACD1 ②A1P∥平面 ACD1 ③异面直线
A1P 与 AD1 所成角的取值范围是
(0，π
3] ④三棱锥 D1－APC 的体
积不变
其中正确的是________．(把所有正确判断的序号都填上)
答案：①②④
解析：在正方体中，易知 B1D⊥平面 ACD1，B1D⊂平面 PB1D，所
以平面 PB1D⊥平面 ACD1，所以①正确；连接 A1B，A1C1，容易
证明平面 A1BC1∥平面 ACD1，又 A1P⊂平面 A1BC1，所以 A1P∥平
面 ACD1，所以②正确；因为 BC1∥AD1，所以异面直线 A1P 与 AD1
所成的角就是直线 A1P 与 BC1 所成的角，在△A1BC1 中，易知所求
角的范围是
[
π
3
，π
2]，所以③错误；VD1－APC＝VC－AD1P，因为点
C 到平面 AD1P 的距离不变，且△AD1P 的面积不变，所以三棱锥 D1
－APC 的体积不变，所以④正确．
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