2020高考文科数学二轮分层特训卷客观题专练解析几何（13）（Word版带解析）

解析几何(13) 一、选择题(本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小 题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．[2019·河南八市联盟测试]抛物线 y＝1 4 x2 的准线方程为(　　) A．y＝－1 B．y＝1 C．x＝－1 D．x＝－ 1 16 答案：A 解析：抛物线 y＝1 4 x2 的标准方程为 x2＝4y，所以抛物线 y＝1 4 x2 的准线方程为 y＝－1.故选 A. 2．[2019·济南市高考模拟试题]已知椭圆 C： x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a＞b ＞0)，若长轴的长为 6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的 标准方程为(　　) A.x2 36 ＋y2 32 ＝1 B.x2 9 ＋y2 8 ＝1 C.x2 9 ＋y2 5 ＝1 D.x2 16 ＋y2 12 ＝1 答案：B 解析：由题意知 2a＝6,2c＝1 3 ×6，所以 a＝3，c＝1，则 b＝ 32－12＝2 2，所以此椭圆的标准方程为x2 9 ＋y2 8 ＝1. 3．[2019·山东济南外国语学校模拟]已知双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0， b>0)与椭圆x2 12 ＋y2 4 ＝1 有共同的焦点，且双曲线的一条渐近线方程 为 y＝ 3x，则该双曲线的方程为(　　) A.x2 4 －y2 12 ＝1 B.x2 12 －y2 4 ＝1C.x2 6 －y2 2 ＝1 D.x2 2 －y2 6 ＝1 答案：D 解析：由双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为 y＝ 3x，可得b a ＝ 3　①，椭圆 x2 12 ＋y2 4 ＝1 的焦点坐标为(±2 2，0)， 又双曲线与椭圆有共同的焦点，所以 a2＋b2＝8　②，由①②可得 a＝ 2，b＝ 6，则双曲线的方程为x2 2 －y2 6 ＝1，故选 D. 4．[2019·福建福州质量抽测]已知双曲线 C：x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0， b>0)的两条渐近线均与圆 x2＋y2－6y＋5＝0 相切，则双曲线 C 的 离心率为(　　) A.3 2 B.2 3 C. 6 2 D.9 4 答案：A 解析：双曲线的渐近线方程为 y＝±b a x，即±bx－ay＝0，x2＋y2 －6y＋5＝0 可化为 x 2＋(y－3) 2＝4，若渐近线与此圆相切，则 3a a2＋b2 ＝3a c ＝2，则 e＝c a ＝3 2 ，故选 A. 5．[2019·湖北鄂州调研]过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点 F 作斜 率为 3的直线，与抛物线在第一象限内交于点 A，若|AF|＝4，则 p ＝(　　) A．2 B．1 C. 3 D．4 答案：A 解析：过点 A 作 AB 垂直 x 轴于点 B，则在 Rt△ABF 中，∠AFB ＝π 3 ，|AF|＝4，∴|BF|＝1 2 |AF|＝2，则 xA＝2＋p 2 ，∴|AF|＝xA＋p 2 ＝2 ＋p＝4，得 p＝2，故选 A. 6．[2019·河南洛阳尖子生联考]经过点(2,1)，且渐近线与圆 x2 ＋(y－2)2＝1 相切的双曲线的标准方程为(　　)A.x2 11 3 －y2 11 ＝1 B.x2 2 －y2＝1 C.y2 11 3 －x2 11 ＝1 D.y2 11 －x2 11 3 ＝1 答案：A 解析：通解　设双曲线的渐近线方程为 y＝kx，即 kx－y＝0， 由渐近线与圆 x2＋(y－2)2＝1 相切可得圆心(0,2)到渐近线的距离 等于半径 1，由点到直线的距离公式可得|k × 0－2| k2＋1 ＝1，解得 k＝ ± 3.因为双曲线经过点(2,1)，所以双曲线的焦点在 x 轴上，可设双 曲线的方程为x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)，将点(2,1)代入可得4 a2 － 1 b2 ＝1， 由Error!得Error!故所求双曲线的方程为x2 11 3 －y2 11 ＝1.故选 A. 优解　设双曲线的方程为 mx2－ny2＝1(mn>0)，将(2,1)代入方 程可得，4m－n＝1　①.双曲线的渐近线方程为 y＝± m nx，圆 x2＋ (y－2)2＝1 的圆心为(0,2)，半径为 1，由渐近线与圆 x2＋(y－2)2＝1 相切，可得 2 1＋m n ＝1，即m n ＝3　②，由①②可得 m＝ 3 11 ，n＝ 1 11 ， 所以该双曲线的方程为x2 11 3 －y2 11 ＝1，故选 A. 7．[2019·武汉市高中毕业生调研]曲线 C1：x2 25 ＋y2 9 ＝1 与曲线 C2： x2 25－k ＋ y2 9－k ＝1(0＜k＜9)的(　　) A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 答案：D 解析：因为 0＜k＜9，所以 25－k＞9－k＞0，所以曲线 C2 是焦点在 x 轴上的椭圆，记其长半轴长为 a2，短半轴长为 b2，半焦 距为 c2，则 c22＝a22－b22＝25－k－(9－k)＝16.曲线 C1 也是焦点在 x 轴上的椭圆，记其长半轴长为 a1，短半轴长为 b1，半焦距为 c1， 则 c21＝a21－b21＝25－9＝16，所以曲线 C1 和曲线 C2 的焦距相等， 故选 D. 8．[2019·石家庄市重点高中毕业班摸底考试]已知双曲线过点 (2,3)，渐近线方程为 y＝± 3x，则该双曲线的标准方程是(　　) A.x2 16 7 －y2 12 ＝1 B.y2 3 －x2 2 ＝1 C．x2－y2 3 ＝1 D.y2 23 3 －x2 23 ＝1 答案：C 解析：解法一　当双曲线的焦点在 x 轴上时，设双曲线的标 准方程是x2 a2 －y2 b2 ＝1(a＞0，b＞0)，由题意得Error!解得Error!所以该 双曲线的标准方程为 x2－y2 3 ＝1；当双曲线的焦点在 y 轴上时，设 双曲线的标准方程是y2 a2 －x2 b2 ＝1(a＞0，b＞0)，由题意得Error!无 解．故该双曲线的标准方程为 x2－y2 3 ＝1，选 C. 解法二　当其中的一条渐近线方程 y＝ 3x 中的 x＝2 时，y＝ 2 3＞3，又点(2,3)在第一象限，所以双曲线的焦点在 x 轴上，设 双曲线的标准方程是x2 a2 －y2 b2 ＝1(a＞0，b＞0)，由题意得Error!解得 Error!所以该双曲线的标准方程为 x2－y2 3 ＝1，故选 C. 解法三　因为双曲线的渐近线方程为 y＝± 3x，即 y 3 ＝±x， 所以可设双曲线的方程是 x2－y2 3 ＝λ(λ≠0)，将点(2,3)代入，得 λ＝ 1，所以该双曲线的标准方程为 x2－y2 3 ＝1，故选 C.9．[2018·全国卷Ⅱ]已知 F1，F2 是椭圆 C 的两个焦点，P 是 C 上的一点．若 PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则 C 的离心率为(　　) A．1－ 3 2 B．2－ 3 C. 3－1 2 D. 3－1 答案：D 解析：在 Rt△PF1F2 中，∠PF2F1＝60°，不妨设椭圆焦点在 x 轴上，且焦距|F1F2|＝2，则|PF2|＝1，|PF1|＝ 3，由椭圆的定义可 知，方程x2 a2 ＋y2 b2 ＝1 中，2a＝1＋ 3，2c＝2，得 a＝1＋ 3 2 ，c＝1， 所以离心率 e＝c a ＝ 2 1＋ 3 ＝ 3－1.故选 D. 10．[2019·山东省潍坊市第一次模拟]已知双曲线 x2 a2 －y2 b2 ＝1(a ＞0，b＞0)的焦点到渐近线的距离为 3，且离心率为 2，则该双曲 线的实轴的长为(　　) A．1 B. 3 C．2 D．2 3 答案：C 解析：由题意知双曲线的焦点(c,0)到渐近线 bx－ay＝0 的距离 为 bc a2＋b2 ＝b＝ 3，即 c2－a2＝3，又 e＝c a ＝2，所以 a＝1，该双 曲线的实轴的长为 2a＝2. 11．[2019·北京朝阳区期末]已知双曲线 C：x2 a2 －y2 16 ＝1(a>0)的 一条渐近线方程为 4x＋3y＝0，F 1，F2 分别是双曲线 C 的左、右 焦点，点 P 在双曲线上，且|PF1|＝7，则|PF2|＝(　　) A．1 B．13 C．17 D．1 或 13 答案：B 解析：由题意，双曲线x2 a2 －y2 16 ＝1(a>0)的一条渐近线方程为 4x ＋3y＝0，可得4 a ＝4 3 ，解得 a＝3，所以 c＝ a2＋b2＝5.又由 F1，F2分别是双曲线 C 的左、右焦点，点 P 在双曲线上，且|PF1|＝7，可 得点 P 在双曲线的左支上，所以|PF2|－|PF1|＝6，可得|PF2|＝13， 故选 B. 12．[2019·华中师大一附中模拟]若双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0) 上存在一点 P 满足以|OP|为边长的正方形的面积等于 2ab(其中 O 为坐标原点)，则双曲线的离心率的取值范围是(　　) A. (1， 5 2 ] B. (1， 7 2 ]C. [ 5 2 ，＋∞) D. [ 7 2 ，＋∞)答案：C 解 析 ： 由 条 件 ， 得 |OP|2 ＝ 2ab. 又 P 为 双 曲 线 上 一 点 ， ∴|OP|≥a，∴2ab≥a2，∴2b≥a.∵c2＝a2＋b2≥a2＋a2 4 ＝5 4 a2，∴e＝ c a ≥ 5 2 ，故选 C. 二、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13．[2019·江西五市八校联考]椭圆 C：x2 25 ＋y2 16 ＝1 的左右焦点 分别为 F1，F2，过 F2 的直线交椭圆 C 于 A、B 两点，则△F1AB 的 周长为________． 答案：20 解析：△F1AB 的周长为|F1A|＋|F1B|＋|AB|＝|F1A|＋|F2A|＋|F1B| ＋|F2B|＝2a＋2a＝4a. 在椭圆x2 25 ＋y2 16 ＝1 中，a2＝25，a＝5，∴△F1AB 的周长为 4a＝ 20. 14．[2019·江苏扬州期末]已知双曲线 x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的 一条渐近线方程为 x－2y＝0，则该双曲线的离心率为________． 答案： 5 2 解析：双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为 y＝±b a x，所以b a ＝1 2 ，离心率 e＝c a ＝ a2＋b2 a ＝ 1＋( b a )2＝ 5 2 . 15．[2019·四川成都一诊]已知双曲线 C：x 2－y2＝1 的右焦点 为 F，则点 F 到双曲线 C 的一条渐近线的距离为________． 答案：1 解析：由题意知，双曲线的渐近线方程为 x±y＝0，右焦点 F( 2，0)，所以点 F 到双曲线 C 的一条渐近线的距离为 | 2| 12＋12 ＝ 1. 16．[2019·广西桂林模拟]已知椭圆 M：x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a＞b＞0)的 左、右焦点分别为 F1、F2，P 为椭圆 M 上任一点，且|PF1→ |·|PF2→ |的 最大值的取值范围是[2c2,3c2]，其中 c＝ a2－b2，则椭圆 M 的离心 率 e 的取值范围是________． 答案： [ 3 3 ， 2 2 ]解析：因为|PF1||PF2|≤ ( |PF1|＋|PF2| 2 ) 2＝ ( 2a 2 ) 2＝a2， 所以 2c2≤a2≤3c2，所以 2≤a2 c2 ≤3，所以1 3 ≤e2≤1 2 ，解得 3 3 ≤e≤ 2 2 .