2020高考文科数学二轮分层特训卷客观题专练解析几何（14）（Word版带解析）

解析几何(14) 一、选择题(本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小 题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．[2019·吉林辽源市田家炳中学调研]以直线 x＝1 为准线的 抛物线的标准方程为(　　) A．y2＝2x B．y2＝－2x C．y2＝4x D．y2＝－4x 答案：D 解析：易知以直线 x＝1 为准线的抛物线焦点在 x 轴的负半轴 上，且抛物线开口向左，所以 y2＝－4x，故选 D. 2．[2019·山东潍坊一模]双曲线 C：x2 9 －y2 16 ＝λ(λ≠0)，当 λ 变 化时，以下说法正确的是(　　) A．焦点坐标不变 B．顶点坐标不变 C．渐近线方程不变 D．离心率不变 答案：C 解析：若 λ 由正数变成负数，则焦点由 x 轴转入 y 轴，故 A 错误．顶点坐标和离心率都会随 λ 改变而改变，故 B，D 错误．该 双曲线的渐近线方程为 y＝±4 3 x，不会随 λ 改变而改变，故选 C. 3．[2019·山东烟台诊断测试，数学运算]若双曲线 x2 a2 －y2 b2 ＝ 1(a>0，b>0)与直线 y＝3x 有交点，则其离心率的取值范围是(　　) A．(1,2) B．(1,2] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞) 答案：C 解析：双曲线的焦点在 x 轴，一条渐近线方程为 y＝b a x，只需 这条渐近线的斜率比直线 y＝ 3x 的斜率大，即b a > 3.所以 e＝ 1＋( b a )2>2，故选 C.4．[2019·重庆西南大学附中月考]过抛物线 x2＝4y 的焦点 F 作 直线，交抛物线于 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，若 y1＋y2＝6，则|P1P2| ＝(　　) A．5 B．6 C．8 D．10 答案：C 解析：根据抛物线的定义得|P1P2|＝y1＋y2＋p，可得|P1P2|＝8， 故选 C. 5．[2019·湖南五市十校联考]在平面直角坐标系 xOy 中，抛物 线 C：y2＝4x 的焦点为 F，准线为 l，P 为 C 上一点，PQ 垂直 l 于 点 Q，M，N 分别为 PQ，PF 的中点，直线 MN 与 x 轴交于点 R， 若∠NFR＝60°，则|NR|＝(　　) A．2 B. 3 C．2 3 D．3 答案：A 解析：如图，连接 MF，QF，设准线 l 与 x 轴交于 H， ∵抛物线 y2＝4x 的焦点为 F，准线为 l，P 为 C 上一点， ∴|FH|＝2，|PF|＝|PQ|，∵M，N 分别为 PQ，PF 的中点， ∴MN∥QF，∵PQ 垂直 l 于点 Q，∴PQ∥OR， ∵|PQ|＝|PF|，∠NFR＝60°，∴△PQF 为等边三角形， ∴MF⊥PQ，∴F 为 HR 的中点， ∴|FR|＝|FH|＝2，∴|NR|＝2.故选 A. 6．[2019·河南洛阳尖子生联考] 如图，已知在平面直角坐标系 xOy 中，点 S(0,3)，SA，SB 与 圆 C：x2＋y2－my＝0(m>0)和抛物线 x2＝－2py(p>0)都相切，切点 分别为 M，N 和 A，B，SA∥ON，则点 A 到抛物线准线的距离为(　　)A．4 B．2 3 C．3 D．3 3 答案：A 解析：连接 OM，因为 SM，SN 是圆 C 的切线，所以|SM|＝ |SN|，|OM|＝|ON|.又 SA∥ON，所以 SM∥ON，所以四边形 SMON 是菱形，所以∠MSN＝∠MON.连接 MN，由切线的性质得∠SMN＝ ∠MON，则△SMN 为正三角形，又 MN 平行于 x 轴，所以直线 SA 的斜率 k＝tan 60°＝ 3.设 A(x0，y0)，则y0－3 x0 ＝ 3　①.又点 A 在抛 物线上，所以 x20＝－2py0　②.由 x2＝－2py，得 y＝－x2 2p ，y′＝－ 1 p x，则－1 p x0＝ 3　③，由①②③得 y0＝－3，p＝2，所以点 A 到 抛物线准线的距离为－y0＋p 2 ＝4，故选 A. 7．[2019·武汉市高中毕业生四月调研测试]已知直线 y＝kx－1 与双曲线 x2－y2＝4 的右支有两个交点，则 k 的取值范围为(　　) A. (0， 5 2 ) B. [1， 5 2 ]C. (－ 5 2 ， 5 2 ) D. (1， 5 2 )答案：D 解析：通解　联立，得Error!消去 y 得(1－k2)x2＋2kx－5＝0， 所以 k≠±1，设直线与双曲线的两个交点的坐标分别为(x1，y1)， (x2，y2)，所以Error!即Error! 整理得Error!解得 1＜k＜ 5 2 ，所以实数 k 的取值范围是 (1， 5 2 )，故选 D. 优解　因为直线 y＝kx－1 恒过定点(0，－1)，双曲线 x2－y2＝ 4 的渐近线方程为 y＝±x，要使直线 y＝kx－1 与双曲线的右支有两 个交点，则需 k＞1. 当直线 y＝kx－1 与双曲线的右支相切时，方程 kx－1＝ x2－4， 即(1－k 2)x2＋2kx－5＝0 有两个相等的实数根，所以 Δ＝(2k) 2＋20(1－k2)＝0，得 k＝± 5 2 (负值舍去)，结合图象可知，要使直线 y＝ kx－1 与双曲线的右支有两个交点，则需 k＜ 5 2 . 综上，实数 k 的取值范围是 (1， 5 2 )，故选 D. 8．已知 F1，F2 分别是椭圆 C：x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a>b>0)的左、右焦 点，若椭圆 C 上存在点 P，使得线段 PF1 的中垂线恰好经过焦点 F2， 则椭圆 C 离心率的取值范围是(　　) A. [ 2 3 ，1) B. [ 1 3 ， 2 2 ]C. [ 1 3 ，1) D. (0，1 3]答案：C 解析： 如图所示，∵线段 PF1 的中垂线经过 F2， ∴PF2＝F1F2＝2c，即椭圆上存在一点 P，使得 PF2＝2c. ∴a－c≤2c≤a＋c.又∵0＜e＜1 ∴e＝c a ∈ [ 1 3 ，1). 9．[2019·云南昆明调研]设点 M 为抛物线 C：y2＝4x 的准线上 一点(不同于准线与 x 轴的交点)，过抛物线 C 的焦点 F 且垂直于 x 轴的直线与 C 交于 A，B 两点，设 MA，MF，MB 的斜率分别为 k1，k2，k3，则k1＋k3 k2 的值为(　　) A．2 B．2 2 C．4 D．4 2 答案：A 解析：不妨设点 A 在 x 轴上方，如图，由题意知，抛物线 C 的准线 方程为 x＝－1，焦点 F(1,0)．将 x＝1 代入抛物线 C 的方程得 y＝±2， 所以 A(1,2)，B(1，－2)．设点 M 的坐标为(－1，y 0)，则 k1＝ 2－y0 2 ，k2＝－y0 2 ，k3＝－2－y0 2 ，所以k1＋k3 k2 ＝2.故选 A. 10．[2019·湖北武汉调研]已知 A，B 为抛物线 y2＝4x 上两点， O 为坐标原点，且 OA⊥OB，则|AB|的最小值为(　　) A．4 2 B．2 2 C．8 D．8 2 答案：C 解析：①当直线 AB 的斜率不存在，即 AB 垂直于 x 轴时，因 为抛物线方程为 y2＝4x，OA⊥OB，所以△AOB 是等腰直角三角形， 可取 A(4,4)，B(4，－4)，所以|AB|＝8.②当直线 AB 的斜率存在时， 设直线 AB 的方程为 x＝my＋b(m≠0，b≠0)，A(x 1，y1)，B(x2， y2)，因为抛物线方程为 y2＝4x，所以联立方程得Error!消去 x 得 y2 －4my－4b＝0，所以 Δ＝16m2＋16b>0，y1＋y2＝4m，y1y2＝－4b， 由 x1＝my1＋b，x2＝my2＋b 得 x1x2＝m2y1y2＋mb(y1＋y2)＋b2＝－ 4bm2＋4bm2＋b2＝b2，因为 OA⊥OB，所以OA→ ·OB→ ＝0，即 x1x2＋y1y2 ＝0，所以 b 2 －4b＝0，得 b＝4 或 b＝0(舍去)，所以|AB|＝ 1＋m2· 16m2＋16b＝ (1＋m2)(16m2＋64)＝4 m4＋5m2＋4>8，所 以当直线 AB 的斜率存在时，|AB|无最小值．综上，|AB|min＝8，故 选 C. 11．[2019·昆明市高三复习教学质量检测]已知 F1，F2 是椭圆 E： x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a＞b＞0)的两个焦点，过原点的直线 l 交椭圆 E 于 A，B 两点，AF2→ ·BF2→ ＝0，且|AF2| |BF2| ＝3 4 ，则椭圆 E 的离心率为(　　) A.1 2 B.3 4C.2 7 D.5 7 答案：D 解析：解法一　根据对称性，线段 F1F2 与线段 AB 在点 O 处 互相平分，又AF2→ ·BF2→ ＝0，所以 AF2⊥BF2，连接 AF1，BF1， 所以四边形 AF1BF2 是矩形，|AF1|＝|BF2|. 根据椭圆的定义，|AF1|＋|AF2|＝2a，又|AF2| |BF2| ＝3 4 ，所以|AF1|＝8 7 a，|AF2|＝6 7 a，在 Rt△AF1F2 中，|F1F2|＝2c，由勾股定理得(2c)2＝ ( 8 7a ) 2＋ ( 6 7a ) 2，得 ( c a ) 2＝25 49 ，所以椭圆 E 的离心率 e＝c a ＝5 7 .故 选 D. 解法二　根据对称性，线段 F1F2 与线段 AB 在点 O 处互相平 分，又AF2→ ·BF2→ ＝0，所以 AF2⊥BF2，连接 AF1，BF1， 所以四边形 AF1BF2 是矩形，|AF1|＝|BF2|.又|AF2| |BF2| ＝3 4 ，不妨设 |AF2|＝3，|BF2|＝4.根据椭圆的定义，2a＝|AF1|＋|AF2|＝4＋3＝7,2c ＝|F1F2|＝ |AF1|2＋|AF2|2＝5，所以椭圆 E 的离心率 e＝c a ＝5 7 ，故选 D. 12．[2019·湖南湘东六校联考]已知双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0) 的两顶点分别为 A1，A2，F 为双曲线的一个焦点，B 为虚轴的一 个端点，若在线段 BF 上(不含端点)存在两点 P1，P2，使得∠A1P1A2 ＝∠A1P2A2＝π 2 ，则双曲线的渐近线的斜率 k 的平方的取值范围是 (　　) A. (1， 5＋1 2 ) B. (1， 3＋1 2 )C. (0， 5＋1 2 ) D. ( 3＋1 2 ，3 2)答案：A解析：不妨设点 F 为双曲线的左焦点，点 B 在 y 轴正半轴上， 则 F(－c,0)，B(0，b)，直线 BF 的方程为 bx－cy＝－bc.如图，以 O 为圆心，A1A2 为直径作圆 O，则 P1，P2 在圆 O 上，由图可知Error! 即Error!Error! Error!Error! Error!解得 1< ( b a ) 2< 5＋1 2 ， 即双曲线的渐近线的斜率 k 的平方的取值范围是 (1， 5＋1 2 )， 故选 A. 二、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13．[2019·河北六校模拟]已知抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点 为 F，O 是坐标原点，过点 O，F 的圆与抛物线 C 的准线相切，且 该圆的面积为 36π，则抛物线 C 的方程为____________． 答案：y2＝16x 解析：设圆的圆心为 M(xM，yM)．根据题意可知圆心 M 在抛 物线 C 上．又圆的面积为 36π，∴圆的半径为 6，则|MF|＝xM＋p 2 ＝ 6，即 xM＝6－p 2 ，又由题意可知 xM＝p 4 ，∴p 4 ＝6－p 2 ，解得 p＝8.∴ 抛物线 C 的方程为 y2＝16x. 14．[2019·湖北武汉调研测试]已知 F 为椭圆 C： x2 a2 ＋y2 b2 ＝ 1(a>b>0)的右焦点，O 为坐标原点，M 为线段 OF 的垂直平分线与 椭圆 C 的一个交点，若 cos∠MOF＝ 3 7 ，则椭圆 C 的离心率为 ____________． 答案：2 3解析：由题意知 F(c,0)，则可设 M ( c 2 ，y0 ).将 M ( c 2 ，y0 )代入椭 圆 C 的方程，得 c2 4 a2 ＋y20 b2 ＝1，即 b2 (1－ c2 4a2)＝y20.设 E 为线段 OF 的 垂直平分线与 x 轴的交点，则△MOE 为直角三角形．由于 cos∠MOF＝3 7 ，所以不妨设c 2 ＝3，则|OM|＝7，c＝6.由勾股定理可 得|ME|＝|y0|＝ 72－32＝2 10，即 b2 (1－ c2 4a2)＝40，得 b2 (1－ 9 a2)＝ 40.又 a2－b2＝36，所以 a4－85a2＋324＝0，解得 a2＝81 或 a2＝4(舍 去)，故 a＝9，所以椭圆 C 的离心率 e＝c a ＝6 9 ＝2 3 . 15．[2019·石家庄高中毕业班检测]已知双曲线方程 C：x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)，P 是双曲线上一点，F1，F2 为双曲线的焦点，∠F1PF2 ＝60°，△PF1F2 的面积为 3，则 b＝________. 答案：1 解析：S△PF1F2＝ b2 tan 30° ＝ 3b2＝3，∴b2＝1，∴b＝1. 16．[2019·浙江舟山模拟]已知 F 是椭圆 5x 2＋9y2＝45 的左焦 点 ， P 是 椭 圆 上 的 动 点 ， A(1,1) ， 则 |PA| ＋ |PF| 的 最 大 值 为 ________，最小值为________． 答案：6＋ 2　6－ 2 解析：椭圆方程可化为x2 9 ＋y2 5 ＝1.设 F1 是椭圆的右焦点，则 F1(2,0)，连接 AF1，PF1， ∴|AF1|＝ 2，易知|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6. 又－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当 P，A，F1 三点共线时等号成 立)， ∴6－ 2≤|PA|＋|PF|≤6＋ 2.