数列(3)
1．[2019·河北联盟考试]已知数列{a n}是等差数列，a2＝6，
前 n 项和为 Sn，{bn}是等比数列，b2＝2，a1b3＝12，S3＋b1＝19.
(1)求{an}，{bn}的通项公式；
(2)求数列{bncos(anπ)}的前 n 项和 Tn.
解析：(1)∵数列{an}是等差数列，a2＝6，
∴S3＋b1＝3a2＋b1＝18＋b1＝19，∴b1＝1.
∵b2＝2，数列{bn}是等比数列，∴bn＝2n－1.
∴b3＝4，∵a1b3＝12，∴a1＝3，
∵a2＝6，数列{an}是等差数列，∴an＝3n.
(2)由(1)得，令 Cn＝bncos(anπ)＝(－1)n2n－1，
∴Cn＋1＝(－1)n＋12n，∴Cn＋1
Cn
＝－2，又 C1＝－1，
∴数列 {bncos(anπ)}是以－1 为首项、－2 为公比的等比数列，
∴Tn＝－1 × [1－(－2)n]
1＋2
＝－1
3
[1－(－2)n]．
2．[2019·辽宁大连二十四中模拟]已知数列{an}的各项都是正
数，n∈N*.
(1)若{an}是等差数列，公差为 d，且 bn 是 an 和 an＋1 的等比中
项，设 cn＝b 2n＋1－b2n，n∈N*，求证：数列{cn}是等差数列；
(2)若 a31＋a32＋a33＋…＋a3n＝S2n，Sn 为数列{an}的前 n 项和，求
数列{an}的通项公式．
解析：(1)由题意得 b2n＝anan＋1，
则 cn＝b 2n＋1－b2n＝an＋1an＋2－anan＋1＝2dan＋1，
因此 cn＋1－cn＝2d(an＋2－an＋1)＝2d2，∴{cn}是等差数列．
(2)当 n＝1 时，a31＝a21，∵a1>0，∴a1＝1.
当 n≥2 时，a31＋a32＋a33＋…＋a3n＝S2n， ①
a31＋a32＋a33＋…＋a 3n－1＝S 2n－1， ②
①－②得，a3n＝S2n－S 2n－1＝(Sn－Sn－1)(Sn＋Sn－1)．
∵an>0，∴a2n＝Sn＋Sn－1＝2Sn－an， ③
∵a1＝1 合适上式，∴当 n≥2 时，a 2n－1＝2Sn－1－aa－1， ④
③－④得 a 2n－a 2n－1＝2(Sn－Sn－1)－an＋aa－1 ＝2an－an＋an－1＝an＋an－1，
∵an＋an－1>0，∴an－an－1＝1，
∴数列{an}是首项为 1，公差为 1 的等差数列，可得 an＝n.
3．[2019·云南昆明质检]已知数列{an}中，a1＝3，{an}的前 n
项和 Sn 满足 Sn＋1＝an＋n2(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}满足 bn＝(－1)n＋2an，求{bn}的前 n 项和 Tn.
解析：(1)由 Sn＋1＝an＋n2 ①，得 Sn＋1＋1＝an＋1＋(n＋1)2
②，
由②－①，得 an＝2n＋1.当 a1＝3 时满足上式．
所以数列{an}的通项公式为 an＝2n＋1.
(2)由(1)得 bn＝(－1)n＋22n＋1，所以 Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝[(－1)＋(－1)2＋…＋(－1)n]＋(23＋25＋…＋22n＋1)
＝ (－1) × [1－(－1)n]
1－(－1)
＋ 23 × (1－4n)
1－4
＝ (－1)n－1
2
＋ 8
3
(4n －
1)．
4．[2019·四川成都二诊]已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，
公比 q>1，且 a2＋1 为 a1，a3 的等差中项，S3＝14.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记 bn＝an·log2an，求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
解析：(1)由题意，得 2(a2＋1)＝a 1＋a3.又 S3＝a1＋a2＋a3＝
14，
∴2(a2＋1)＝14－a2，∴a2＝4，
∵S3＝4
q
＋4＋4q＝14，∴q＝2 或 q＝1
2
，
∵q>1，∴q＝2.
∴an＝a2qn－2＝4·2n－2＝2n.
(2)由(1)知 an＝2n，∴bn＝an·log2an＝2n·n.
∴Tn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋(n－1)×2n－1＋n×2n.
2Tn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1.
∴－Tn＝2＋22＋23＋24＋…＋2n－n×2n＋1
＝2(1－2n)
1－2
－n×2n＋1＝(1－n)2n＋1－2.
∴Tn＝(n－1)2n＋1＋2.
5．[2019·辽宁沈阳联考]若正项数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝1，点 P( Sn，Sn＋1)在曲线 y＝(x＋1)2 上．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设 bn＝ 1
an·an＋1
，Tn 表示数列{bn}的前 n 项和，若 Tn≥1
3
m－
1 对任意 n∈N*恒成立，求实数 m 的取值范围．
解析：(1)由已知可得 Sn＋1＝( Sn＋1)2，得 Sn＋1－ Sn＝1，所
以{ Sn}是以 S1为首项、1 为公差的等差数列，所以Sn＝ S1＋(n－
1)×1＝n，得 Sn＝n2，当 n＝1 时，a1＝S1＝1；当 n≥2 时，an＝Sn
－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，当 n＝1 时，也符合上式，故{an}的
通项公式为 an＝2n－1.
(2)bn＝ 1
an·an＋1
＝ 1
(2n－1)(2n＋1)
＝1
2
1
2n－1
－ 1
2n＋1
，所以 Tn＝b1
＋b2＋b3＋…＋bn＝1
2(1－ 1
2n＋1)，显然 Tn 是关于 n 的增函数，所
以 Tn 有最小值(Tn)min＝T1＝1
3
，又 Tn≥1
3
m－1 对任意 n∈N*恒成立，
所以1
3
≥1
3
m－1 恒成立，所以 m≤4，故实数 m 的取值范围为(－
∞，4]．
6．[2019·山西河津二中月考]设数列{an}满足 a1＝1,3a2－a1＝1，
且 2
an
＝an－1＋an＋1
an－1an＋1
(n≥2，n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列 b1＝1
2
，4bn＝an－1an(n≥2，n∈N*)，{bn}的前 n 项和
为 Tn，证明：Tn
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