2020高考文科数学二轮分层特训卷主观题专练数列（4）（Word版带解析）

数列(4) 1．[2018·全国卷Ⅱ]记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，已知 a1 ＝－7，S3＝－15. (1)求{an}的通项公式； (2)求 Sn，并求 Sn 的最小值． 解析：(1)解：设{an}的公差为 d，由题意得 3a1＋3d＝－15. 由 a1＝－7 得 d＝2. 所以{an}的通项公式为 an＝a1＋(n－1)d＝2n－9. (2)解：由(1)得 Sn＝a1＋an 2 ·n＝n2－8n＝(n－4)2－16. 所以当 n＝4 时，Sn 取得最小值，最小值为－16. 2．[2019·河北廊坊省级示范高中联考]在数列{an}中，a1＝1， an＋1 an ＝4(n＋1)2 n(n＋2) ，设 bn＝n＋1 n ·an. (1)证明：数列{bn}是等比数列； (2)求{an}的前 n 项积 Tn. 解 析 ： (1) 因 为 bn＋1 bn ＝ n＋2 n＋1·an＋1 n＋1 n ·an ＝ n(n＋2) (n＋1)2 ·an＋1 an ＝ n(n＋2) (n＋1)2 ·4(n＋1)2 n(n＋2) ＝4，b1＝2a1＝2， 所以数列{bn}是首项为 2，公比为 4 的等比数列． (2)由(1)知 bn＝n＋1 n ·an＝2·4n－1，则 an＝ n n＋1 ·22n－1. 从而 Tn＝ ( 1 2 × 2 3 × 3 4 × … × n n＋1)·21＋3＋5＋…＋(2n－1) ＝ 2n2 n＋1 . 3．[2019·辽宁鞍山月考]已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＋a2 ＝4,2Sn＋1－an＋1＝2Sn＋3an(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式；(2)设 bn＝ 3n (an＋1－1)Sn＋1 ，数列{bn}的前 n 项和为 Tn，证明：3 8 ≤Tn＜1 2 . 解析：(1)∵2Sn＋1－an＋1＝2Sn＋3an，∴2an＋1－an＋1＝3an， ∴an＋1＝3an(n∈N*)，∵a1＋a2＝4，∴a1＝1， ∴数列{an}是首项为 1，公比为 3 的等比数列， ∴an＝3n－1. (2)由(1)知 Sn＝3n－1 2 . ∵bn ＝ 3n (an＋1－1)Sn＋1 ， ∴bn ＝ 2 × 3n (3n－1)(3n＋1－1) ＝ 1 3n－1 － 1 3n＋1－1 ， ∴Tn ＝ ( 1 31－1 － 1 32－1)＋ ( 1 32－1 － 1 33－1)＋ … ＋ ( 1 3n－1 － 1 3n＋1－1)＝1 2 － 1 3n＋1－1 . ∵n∈N*，所以－ 1 3n＋1－1 ∈ [－1 8 ，0)， ∴3 8 ≤1 2 － 1 3n＋1－1