2020高考文科数学二轮分层特训卷主观题专练立体几何（5）（Word版带解析）

立体几何(5) 1．[2019·广东潮州期末]如图，在四棱锥 E－ABCD 中，AB∥CD， ∠ABC＝90°，CD＝2AB＝2CE＝4，DE＝2 5，点 F 为棱 DE 的中 点． (1)证明：AF∥平面 BCE； (2)若 BC＝4，∠BCE＝120°，求三棱锥 B－CEF 的体积． 解析：(1)取 CE 中点 M，连接 MF，MB. 因为 F 为 DE 中点，所以 MF∥CD，且 MF＝1 2 CD. 因为 AB∥CD，且 AB＝1 2 CD，所以 AB∥MF 且 AB＝MF， 所以四边形 ABMF 是平行四边形，所以 AF∥BM. 又 BM⊂平面 BCE，AF⊄平面 BCE，所以 AF∥平面 BCE. (2)因为 AB∥CD，∠ABC＝90°，所以 CD⊥BC. 因为 CD＝4，CE＝2，DE＝2 5，所以 CD2＋CE2＝DE2，所 以 CD⊥CE. 因为 BC∩CE＝C，BC⊂平面 BCE，CE⊂平面 BCE，所以 CD⊥平面 BCE， 则易知点 F 到平面 BCE 的距离为 2. S△BCE＝1 2 BC·CEsin∠BCE＝1 2 ×4×2sin 120°＝2 3， 所以三棱锥 B－CEF 的体积 VB－CEF＝VF－BCE＝1 3 S△BCE×2＝1 3 ×2 3×2＝4 3 3 .2．[2019·清华自招]如图，EA⊥平面 ABC，AE∥CD，AB＝AC ＝CD＝2AE＝4，BC＝2 3，M 为 BD 的中点． (1)求证：平面 AEM⊥平面 BCD； (2)求三棱锥 E－ABM 的体积． 解析：(1)如图所示，取 BC 的中点 N，连接 MN，AN， 则 MN＝1 2 DC＝AE，MN∥CD∥AE，所以四边形 AEMN 为平 行四边形． 因为 EA⊥平面 ABC，AN⊂平面 ABC， 所以 EA⊥AN，所以四边形 AEMN 是矩形，所以 EM⊥MN. 由题意可得 ED＝EB＝2 5，因为 M 为 BD 的中点，所以 EM⊥BD. 又 EM⊥MN，BD∩MN＝M，所以 EM⊥平面 BCD. 因为 EM⊂平面 AEM，所以平面 AEM⊥平面 BCD. (2)由题可知，V三棱锥 E－ABM＝V 三棱锥 M－ABE，因为 MN∥AE，AE ⊂平面 ABE，MN⊄平面 ABE，所以 MN∥平面 ABE， 连接 NE，则 V 三棱锥 M－ABE＝V 三棱锥 N－ABE＝V 三棱锥 E－ABN＝1 3 ×S△ABN×AE. 易得 BN＝ 3，AN＝ 13，所以 S△ABN＝1 2 ×BN×AN＝ 39 2 ， 所以 V 三棱锥 E－ABM＝1 3 × 39 2 ×2＝ 39 3 . 3．[2019·河南洛阳第一次统考]如图，在四棱锥 P－ABCD 中， 平面 PAD⊥平面 ABCD，AB∥CD，△PAD 是等边三角形，已知 AD ＝2，BD＝2 3，AB＝2CD＝4.(1)设 M 是 PC 上一点，求证：平面 MBD⊥平面 PAD. (2)求四棱锥 P－ABCD 的体积． 解析：(1)在△ABD 中，AD＝2，BD＝2 3，AB＝4，所以 AD2 ＋BD2＝AB2，所以 AD⊥BD， 又平面 PAD⊥平面 ABCD，平面 PAD∩平面 ABCD＝AD， 所以 BD⊥平面 PAD. 又 BD⊂平面 MBD，所以平面 MBD⊥平面 PAD. (2)如图所示，设 AD 的中点为 O，则 AO＝1，连接 PO，易知 PO 是四棱锥 P－ABCD 的高，PO＝ 22－12＝ 3. 又易得 S 梯形 ABCD＝3 3，所以四棱锥 P－ABCD 的体积 V＝1 3 ×3 3× 3＝3. 4．[2019·四川雅安中学 10 月月考]如图，四棱锥 P－ABCD 中， 平面 PAD⊥底面 ABCD，底面 ABCD 是平行四边形，∠ABC＝ 45°，AD＝AP＝2，AB＝DP＝2 2，E 为 CD 的中点，点 F 在线段 PB 上． (1)求证：AD⊥PC. (2)当满足 V 三棱锥 B－EFC＝1 6 V 四棱锥 P－ABCD 时，求PF PB 的值． 解析：(1)连接 AC. 在△ABC 中，AB＝2 2，BC＝2，∠ABC＝45°，由余弦定理可得 AC2＝8＋4－2×2 2×2×cos 45°＝4，所以 AC＝2. 易知∠ACB＝90°，即 BC⊥AC，又 AD∥BC，所以 AD⊥AC. 在△ADP 中，AD＝AP＝2，DP＝2 2，易知 PA⊥AD. 又 AP∩AC＝A，所以 AD⊥平面 PAC. 因为 PC⊂平面 PAC，所以 AD⊥PC. (2)因为 E 为 CD 的中点，所以 S△BEC＝1 4 S 平行四边形 ABCD， 因为平面 PAD⊥底面 ABCD，平面 PAD∩底面 ABCD＝AD， PA⊥AD， 所以 PA⊥底面 ABCD， 设 F 到底面 ABCD 的距离为 h. 因为 V 三棱锥 F－BEC＝V 三棱锥 B－EFC＝1 6 V 四棱锥 P－ABCD， 所以1 3 ×S△BEC×h＝1 6 ×1 3 ×S 平行四边形 ABCD×PA，所以 h＝4 3 ， 则易得PF PB ＝1 3 . 5．[2019·重庆 10 月月考]如图 1，在等腰梯形 ABCD 中，M 为 AB 边的中点，AD∥BC，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，现在沿 AC 将△ABC 折起使点 B 落到点 P 处，得到如图 2 的三棱锥 P－ACD. (1)在棱 AD 上是否存在一点 N，使得 PD 平行于平面 MNC？ 请证明你的结论； (2)当平面 PAC⊥平面 ACD 时，求点 A 到平面 PCD 的距 离． 解析：(1)当 N 为 AD 的中点时，满足题意，证明如下： 由 M，N 分别为 AP，AD 的中点，可得 MN 为△APD 的中位 线，所以 MN∥PD，又 MN⊂平面 MNC，PD⊄平面 MNC，所以 PD 平行于平面 MNC. (2)在等腰梯形 ABCD 中，由 AD∥BC，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，易得∠D＝π 3 ，AC＝ 3，AC⊥CD.因为 AC⊥CD，平面 PAC⊥ 平面 ACD，AC 为两平面交线，CD⊂平面 ACD，所以 CD⊥平面 PAC，又 PC⊂平面 PAC，所以 CD⊥PC， 所以 S△PCD＝1 2 ×PC×CD＝1 2 ×1×1＝1 2 . 方法一　取 AC 的中点 H，连接 PH.由 AP＝PC，可知 PH⊥AC. 又平面 PAC⊥平面 ACD，AC 为平面 PAC 与平面 ACD 的交线，所 以 PH⊥平面 ACD. 由 CH＝1 2 AC＝ 3 2 ，PC＝BC＝1，利用勾股定理求得 PH＝1 2 ， 所以 V 三棱锥 P－ACD＝1 3 S△ACD×PH＝1 3 ×1 2 × 3×1×1 2 ＝ 3 12 . 设点 A 到平面 PCD 的距离为 d，由 V 三棱锥 A－PCD＝V 三棱锥 P－ ACD 可知，d＝3V 三棱锥 P－ACD S △ PCD ＝ 3 2 . 所以点 A 到平面 PCD 的距离为 3 2 . 方法二　设点 A 到平面 PCD 的距离为 d，则由 V 三棱锥 D－PAC ＝V 三棱锥 A－PCD，可得1 3 ·S△PAC·CD＝1 3 ·S△PCD·d. 在等腰三角形 PAC 中，S△PAC＝1 2 ·AB·BC·sin 2π 3 ＝ 3 4 ， 所以 d＝ 3 2 ，所以点 A 到平面 PCD 的距离为 3 2 . 6．[2019·安徽二模] 《九章算术》是我国古代数学专著，它在几何方面的研究比 较深入．例如：堑堵是指底面为直角三角形的直三棱柱；阳马是 指底面为矩形，且一条侧棱垂直于底面的四棱锥；鳖臑是指四个 面都是直角三角形的三棱锥．在如图所示的堑堵 ABC－A1B1C1 中， AC⊥BC.(1)求证：四棱锥 B－A1ACC1 为阳马．并判断三棱锥 A1－CBC1 是否为鳖臑，若是，请写出各个面中的直角(只写出结论)． (2)若 A1A＝AB＝2，当阳马 B－A1ACC1 的体积最大时， ①求堑堵 ABC－A1B1C1 的体积； ②求点 C 到平面 A1BC1 的距离． 解析：(1)由堑堵的定义知，A1A⊥底面 ABC，所以 BC⊥A1A， 又 BC⊥AC，A1A∩AC＝A， 所以 BC⊥平面 A1ACC1. 由堑堵的定义知，四边形 A1ACC1 为矩形． 综上，可知四棱锥 B－A1ACC1 为阳马． 三棱锥 A1－CBC1 为鳖臑，四个面中的直角分别是∠A1CB， ∠A1C1C，∠BCC1，∠A1C1B. (2)A1A＝AB＝2，由(1)易知阳马 B－A1ACC1 的体积 V 阳马 B－ A1ACC1＝1 3 S 矩形 A1ACC1×BC＝1 3 ×A1A×AC×BC＝2 3 AC×BC≤ 1 3 (AC2＋BC2)＝1 3 ×AB2＝4 3 ，当且仅当 AC＝BC＝ 2时，阳马 B－ A1ACC1 的体积最大，最大值为4 3 . ①堑堵 ABC－A 1B1C1 的体积 V′＝S△ABC×AA1＝1 2 × 2× 2 ×2＝2. ②由题意知，V 三棱锥 C－A1BC1＝V 三棱锥 B－A1C1C＝1 2 V 阳马 B－A1ACC1＝2 3 . 设点 C 到平面 A1BC1 的距离为 d，则 1 3 S△A1BC1×d＝2 3 ， 又 A1C1＝ 2，BC1＝ BC2＋C1C2＝ 6，所以1 3 ×1 2 × 2× 6×d ＝2 3 ，解得 d＝2 3 3 . 故点 C 到平面 A1BC1 的距离为2 3 3 .