2020高考文科数学二轮分层特训卷主观题专练立体几何（6）（Word版带解析）

立体几何(6) 1．[2019·重庆市七校联考]如图所示，直三棱柱 ABC－A1B1C1 的所有棱长都是 2，D，E 分别是 AC，CC1 的中点． (1)求证：AE⊥平面 A1BD； (2)求三棱锥 B1－A1BD 的体积． 解 析 ： (1) 因 为 AB ＝ BC ＝ CA ， D 是 AC 的 中 点 ， 所 以 BD⊥AC. 因为在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AA1⊥平面 ABC，AA1⊂平 面 AA1C1C，所以平面 AA1C1C⊥平面 ABC， 又平面 AA1C1C∩平面 ABC＝AC，所以 BD⊥平面 AA1C1C， 又 AE⊂平面 AA1C1C，所以 BD⊥AE. 在正方形 AA1C1C 中，D，E 分别是 AC，CC1 的中点，易证得 A1D⊥AE， 又 A1D∩BD＝D，A1D⊂平面 A1BD，BD⊂平面 A1BD，所以 AE⊥平面 A1BD. (2)如图所示，连接 AB1 交 A1B 于 O，则 O 为 AB1 的中点， 所以点 B1 到平面 A1BD 的距离等于点 A 到平面 A1BD 的距离， 易知 BD＝ 3，所以 V 三棱锥 B1－A1BD＝V 三棱锥 A－A1BD ＝V 三棱锥 B－AA1D＝1 3 ×S△AA1D×BD＝1 3 ×1 2 ×2×1× 3＝ 3 3 ， 所以三棱锥 B1－A1BD 的体积为 3 3 .2．[2019·湖北部分重点中学联考]如图，在四棱锥 S－ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，SA⊥底面 ABCD，SA＝AB＝2，点 M 是 SD 的中点，AN⊥SC，且交 SC 于点 N. (1)求证：SB∥平面 ACM； (2)求点 C 到平面 AMN 的距离． 解析：(1)连接 BD 交 AC 于 E，连接 ME. ∵四边形 ABCD 是正方形，∴E 是 BD 的中点． ∵M 是 SD 的中点，∴ME 是△DSB 的中位线， ∴ME∥SB. 又 ME⊂平面 ACM，SB⊄平面 ACM，∴SB∥平面 ACM. (2)由条件知 DC⊥SA，DC⊥DA，∴DC⊥平面 SAD， ∴AM⊥DC. 又 SA＝AD，M 是 SD 的中点，∴AM⊥SD， ∴AM⊥平面 SDC，∴SC⊥AM. 由已知 SC⊥AN，∴SC⊥平面 AMN. 于是 CN⊥平面 AMN，则 CN 为点 C 到平面 AMN 的距离． 在 Rt△SAC 中，SA＝2，AC＝2 2，SC＝ SA2＋AC2＝2 3， 于是 AC2＝CN·SC⇒CN＝4 3 3 ，∴点 C 到平面 AMN 的距离为 4 3 3 . 3．[2019·江西名校联考]如图，三棱柱 ABC－A 1B1C1 中， AC⊥BC，AA1⊥A1C，平面 AA1C1C⊥平面 ABC，∠ACC1＝120°， AA1＝2，BC＝3. (1)求证：AA1⊥A1B. (2)求三棱柱 ABC－A1B1C1 的表面积．解析：(1)由题意知平面 AA1C1C⊥平面 ABC，平面 AA1C1C∩ 平面 ABC＝AC，且 BC⊥AC， 所 以 BC⊥ 平 面 AA1C1C ， 又 AA1 ⊂ 平 面 AA1C1C ， 所 以 BC⊥AA1， 又 AA1⊥A1C，A1C∩BC＝C，所以 AA1⊥平面 A1BC. 因为 A1B⊂平面 A1BC，所以 AA1⊥A1B. (2)易得∠C1A1C＝∠A1CA＝30°，所以在 Rt△AA1C 中，AC＝ 4，A1C＝2 3， 故四边形 AA1C1C 的面积 S1＝2×2 3＝4 3. △A1B1C1 和△ABC 的面积之和 S2＝2×1 2 ×3×4＝12，且 AB＝ 5. 又 AA1⊥A1B，所以 A1B＝ AB2－AA21＝ 21， 所以四边形 AA1B1B 的面积 S3＝2× 21＝2 21. 由(1)知 BC⊥平面 AA1C1C，所以 BC⊥CC1，故四边形 BB1C1C 的面积 S4＝2×3＝6. 故三棱柱 ABC－A1B1C1 的表面积 S＝S1＋S2＋S3＋S4＝4 3＋ 18＋2 21. 4. [2019·安徽六校第二次联考])如图，四边形 ABCD 为矩形，点 A，E，B，F 共面，且△ABE 和△ABF 均为等腰直角三角形，且∠BAE ＝∠AFB＝90°. (1)若平面 ABCD⊥平面 AEBF，证明平面 BCF⊥平面 ADF； (2)在线段 EC 上是否存在一点 G，使得 BG∥平面 CDF？若存 在，求出此时三棱锥 G－ABE 与三棱锥 G－ADF 的体积之比；若 不存在，请说明理由． 解析：(1)因为四边形 ABCD 为矩形，所以 BC⊥AB， 又平面 ABCD⊥平面 AEBF，BC⊂平面 ABCD，平面 ABCD∩ 平面 AEBF＝AB， 所以 BC⊥平面 AEBF. 因为 AF⊂平面 AEBF，所以 BC⊥AF. 因为∠AFB＝90°，即 AF⊥BF，且 BC⊂平面 BCF，BF⊂平面BCF，BC∩BF＝B， 所以 AF⊥平面 BCF. 又 AF⊂平面 ADF，所以平面 ADF⊥平面 BCF. (2)假设存在满足条件的点 G.因为 BC∥AD，AD⊂平面 ADF， 所以 BC∥平面 ADF. 因为△ABE 和△ABF 均为等腰直角三角形，且∠BAE＝∠AFB ＝90°， 所以∠FAB＝∠ABE＝45°，所以 AF∥BE，又 AF⊂平面 ADF，所以 BE∥平面 ADF， 因为 BC∩BE＝B，所以平面 BCE∥平面 ADF. 如图所示，延长 EB 到点 H，使得 BH＝AF，连接 CH，HF， AC，易证四边形 ABHF 是平行四边形， 又 BC 綊 AD，所以 HF 綊 AB 綊 CD，所以四边形 HFDC 是平 行四边形，所以 CH∥DF. 过点 B 作 CH 的平行线，交 EC 于点 G，即 BG∥CH∥DF， 又 DF⊂平面 CDF， 所以 BG∥平面 CDF，即此点 G 为所求的点． 又 BE＝ 2AB＝2AF＝2BH，所以 EG＝2 3 EC. 易知 S△ABE＝2S△ABF，所以 V 三棱锥 G－ABE＝2 3 V 三棱锥 C－ABE＝4 3 V 三棱锥 C－ABF＝4 3 V 三棱锥 D－ABF＝4 3 V 三棱锥 B－ADF＝4 3 V 三棱锥 G－ADF，故 V 三棱锥 G－ABEV 三棱锥 G－ADF＝43. 5．[2019·江西宜春大联考]如图 1，四边形 ABCD 是矩形，AB ＝2π，AD＝4，E，F 分别为 DC，AB 上的点，且 DE＝2 3 DC，AF＝ 2 3 AB，将矩形 ABCD 卷成如图 2 所示的以 AD，BC 为母线的圆柱 的半个侧面，且 AB，CD 分别为圆柱的两底面的直径．(1)求证：平面 ADEF⊥平面 BCEF； (2)求四棱锥 D－BCEF 的体积． 解析：(1)因为 F 在底面圆周上，且 AB 为该底面半圆的直径， 所以 AF⊥BF. 由题易知，EF∥AD. 又 AD 为圆柱的母线，所以 EF 垂直于圆柱的底面，所以 EF⊥BF. 又 AF∩EF＝F，所以 BF⊥平面 ADEF. 因为 BF⊂平面 BCEF，所以平面 ADEF⊥平面 BCEF. (2)设圆柱的底面半径为 r， 由题设知，πr＝2π，所以 r＝2，所以 CD＝4. 因为在图 1 中 DE＝2 3 DC，AF＝2 3 AB， 所以在图 2 中结合题意易得∠CDE＝30°，DE⊥CE， 所以 CE＝1 2 CD＝2，DE＝2 3. 由题易知 BC⊥平面 DCE，所以 BC⊥DE， 又 BC∩CE＝C，所以 DE⊥平面 BCEF，所以 DE 为四棱锥 D －BCEF 的高． 又 AD＝BC＝4，所以 V 四棱锥 D－BCEF ＝1 3 S 四边形 BCEF×DE＝1 3 ×BC×CE×DE＝1 3 ×4×2×2 3＝16 3 3 . 6.[2019· 福建福州二检] 如图，四棱锥 E －ABCD 中，平面 ABCD⊥平面 ABE，四边形 ABCD 为矩形，AD＝6，AB＝5，BE＝ 3，F 为 CE 上的点，且 BF⊥平面 ACE. (1)求证：AE⊥BE； (2)设 M 在线段 DE 上，且满足 EM＝2MD，试在线段 AB 上确 定一点 N，使得 MN∥平面 BCE，并求 MN 的长． 解析：(1)因为四边形 ABCD 为矩形，所以 BC⊥AB. 因为平面 ABCD⊥平面 ABE，平面 ABCD∩平面 ABE＝AB， 且 BC⊂平面 ABCD， 所以 BC⊥平面 ABE， 又 AE⊂平面 ABE，所以 BC⊥AE. 因为 BF⊥平面 ACE，AE⊂平面 ACE，所以 BF⊥AE. 又 BC∩BF＝B，BC⊂平面 BCE，BF⊂平面 BCE，所以 AE⊥ 平面 BCE， 因为 BE⊂平面 BCE，所以 AE⊥BE. (2)方法一　如图，在△ADE 中，过点 M 作 MG∥AD 交 AE 于 点 G，在△ABE 中过点 G 作 GN∥BE 交 AB 于点 N，连接 MN. 因为 EM＝2MD，所以 EG＝2GA，BN＝2NA.下面证明此时 MN∥平面 BCE. 因为 NG∥BE，NG⊄平面 BCE， BE⊂平面 BCE，所以 NG∥平面 BCE. 因为 GM∥AD∥BC，GM⊄平面 BCE，BC⊂平面 BCE，所以 GM∥平面 BCE. 因为 MG∩GN＝G，MG⊂平面 MGN，GN⊂平面 MGN，所以 平面 MGN∥平面 BCE， 又 MN⊂平面 MGN，所以 MN∥平面 BCE. 因为 AD＝6，AB＝5，BE＝3， 所以 MG＝2 3 AD＝4，NG＝1 3 BE＝1.易知 MG⊥GN，所以 MN＝MG2＋NG2＝ 42＋12＝ 17. 方法二　过点 M 作 MG∥CD 交 CE 于点 G，连接 BG，在线 段 AB 上取点 N，使得 BN＝MG，连接 MN(如图)． 因为 AB∥CD，MG∥CD，EM＝2MD，所以 MG＝ 2 3 CD， MG∥BN，又 BN＝MG， 所以四边形 MGBN 是平行四边形，所以 MN∥BG， 又 MN⊄平面 BCE，BG⊂平面 BCE，所以 MN∥平面 BCE， 可得点 N 为线段 AB 上靠近点 A 的一个三等分点， 在△CBG 中，因为 BC＝AD＝6，CG＝1 3 CE＝1 3 62＋32＝ 5， cos∠BCG＝2 5 5 ， 所以 BG2＝36＋5－2×6× 5×2 5 5 ＝17，所以 MN＝BG＝ 17.