概率(7)
1．[2019·吉林长春市实验中学开学考试]针对国家提出的延迟
退休方案，某机构进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支
持”“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示：
支持 保留 不支持
50 岁以下 8 000 4 000 2 000
50 岁及以上 1 000 2 000 3 000
(1)在所有参与调查的人中，按其态度采用分层抽样的方法抽
取 n 个人，已知从持“不支持”态度的人中抽取了 30 人，求 n 的
值；
(2)在参与调查的人中，有 10 人给这项活动打分，打出的分数
如下：9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2,8.3,9.7，把这 10 个人打出的分
数看作一个总体，从中任取一个数，求该数与总体平均数之差的
绝对值超过 0.6 的概率．
解析：(1)参与调查的总人数为 8 000＋4 000＋2 000＋1 000＋
2 000＋3 000＝20 000.
因为持“不支持”态度的有 2 000＋3 000＝5 000(人)，且从其
中抽取了 30 人，所以 n＝20 000× 30
5 000
＝120.
(2)总体的平均数 x－
＝ 1
10
×(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0
＋8.2＋8.3＋9.7)＝9，
与总体平均数之差的绝对值超过 0.6 的数有 8.2,8.3,9.7，
所以任取一个数，该数与总体平均数之差的绝对值超过 0.6 的
概率 P＝ 3
10
.
2．[2019·安徽示范高中联考]某市为了鼓励居民节约用水，拟
确定一个合理的月用水量阶梯收费标准，规定一位居民月用水量
不超过 a 吨的部分按平价收费，超出 a 吨的部分按议价收费．为
了解居民的月均用水量(单位：吨)，现随机调查 1 000 位居民，并
对收集到的数据进行分组，具体情况见下表：
月均 [0， [0.5， [1， [1.5， [2， [2.5， [3， [3.5， [4，用水
量/
吨
0．5) 1) 1．5) 2) 2．5) 3) 3．5) 4) 4．5)
居民
数 50 80 5x 220 250 80 60 x 20
(1)求 x 的值，并画出频率分布直方图；
(2)若该市希望使 80%的居民月均用水量不超过 a 吨，试估计
a 的值，并说明理由；
(3)根据频率分布直方图估计该市居民月用水量的平均值．
解析：(1)由已知得 6x＝1 000－(50＋80＋220＋250＋80＋60
＋20)，解得 x＝40.
则月均用水量的频率分布表为
月均
用水
量/
吨
[0，
0．5)
[0.5，
1)
[1，
1．5)
[1.5，
2)
[2，
2．5)
[2.5，
3)
[3，
3．5)
[3.5，
4)
[4，
4．5)
频率 0.05 0.08 0.20 0.22 0.25 0.08 0.06 0.04 0.02
画出频率分布直方图如图所示．
(2)由(1)知前 5 组的频率之和为 0.05＋0.08＋0.20＋0.22＋0.25
＝0.80，故 a＝2.5.
(3) 由 样 本 估 计 总 体 ， 该 市 居 民 月 用 水 量 的 平 均 值 为
0.25×0.05＋0.75×0.08＋1.25×0.20＋1.75×0.22＋2.25×0.25＋
2.75×0.08＋3.25×0.06＋3.75×0.04＋4.25×0.02＝1.92.
3．[2019·河北唐山摸底]某厂分别用甲、乙两种工艺生产同一
种零件，尺寸(单位：mm)在[223,228]内的零件为一等品，其余为
二等品，在使用两种工艺生产的零件中，各随机抽取 10 个，其尺
寸的茎叶图如图所示．(1)分别计算抽取的用两种工艺生产的零件尺寸的平均数；
(2)已知用甲工艺每天可生产 300 个零件，用乙工艺每天可生
产 280 个零件，一等品利润为 30 元/个，二等品利润为 20 元/个，
视频率为概率，试根据抽样数据判断采用哪种工艺生产该零件每
天获得的利润更高．
解析：(1)使用甲工艺生产的零件尺寸的平均数x－
甲＝ 1
10
×(217
＋218＋222＋225＋226＋227＋228＋231＋233＋234)＝226.1，
使用乙工艺生产的零件尺寸的平均数 x－
乙＝ 1
10
×(218＋219＋
221＋224＋224＋225＋226＋228＋230＋232)＝224.7.
(2)由抽样的样本可知，用甲工艺生产的零件为一等品的概率
为2
5
，为二等品的概率为3
5
，故采用甲工艺生产该零件每天获得的
利润为 W 甲＝300×2
5
×30＋300×3
5
×20＝7 200(元)；用乙工艺生
产的零件为一等品、二等品的概率均为1
2
，故采用乙工艺生产该零
件每天获得的利润为 W 乙＝280×1
2
×30＋280×1
2
×20＝7 000(元)．
因为 W 甲>W 乙，所以采用甲工艺生产该零件每天获得的利润
更高．
4．[2019·沈阳市教学质量检测]为考查某种疫苗预防疾病的效
果，进行动物实验，得到统计数据如下：
未发
病 发病 总计
未注射疫
苗 20 x A
注射疫苗 30 y B
总计 50 50 100
现从所有试验动物中任取一只，取到“注射疫苗”动物的概率为2
5
.
(1)求 2×2 列联表中的数据 x，y，A，B 的值；
(2)绘制发病率的条形统计图，并判断疫苗是否有效？
(3)能够有多大把握认为疫苗有效？
附：K2＝ n(ad－bc)2
(a＋b)(a＋c)(c＋d)(b＋d)
，n＝a＋b＋c＋d
P(K2≥k0) 0.05 0.01 0.00
5 0.001
k0
3.84
1
6.63
5
7.87
9
10.82
8
解析：(1)设“从所有试验动物中任取一只，取到‘注射疫苗’
动物”为事件 E，由已知得 P(E)＝y＋30
100
＝2
5
，所以 y＝10，B＝40，
x＝40，A＝60.
(2)未注射疫苗发病率为40
60
＝2
3
，注射疫苗发病率为10
40
＝1
4
.
发病率的条形统计图如图所示，由图可以看出疫苗影响到发
病率，且注射疫苗的发病率小，故判断疫苗有效．
(3)K2＝100 × (20 × 10－30 × 40)2
50 × 50 × 40 × 60
＝50
3
≈16.667>10.828.
所以至少有 99.9%的把握认为疫苗有效．
5．[2019·南宁市高三毕业班适应性测试]从某居民区随机抽取
10 个家庭，获得第 i 个家庭的月收入 xi(单位：千元)与月储蓄 yi(单位：千元)的数据资料，算得
10
∑
i＝1
xi＝80，
10
∑
i＝1
yi＝20，
10
∑
i＝1
xiyi＝184，
10
∑
i＝1
x2i＝720.
(1)求家庭的月储蓄y^
对月收入 x 的线性回归方程y^
＝b^
x＋a^
；
(2)判断变量 x 与 y 之间是正相关还是负相关；
(3)若该居民区某家庭月收入为 7 千元，预测该家庭的月储
蓄．
解析：(1)由题意知 n＝10， x－
＝1
n
n
∑
i＝1
xi＝80
10
＝8， y－
＝1
n
n
∑
i＝1
yi＝
20
10
＝2，
又
n
∑
i＝1
x2i－n x－
2＝720－10×8 2＝80，
n
∑
i＝1
xiyi－n x－
y－
＝184－
10×8×2＝24，
由此得b^
＝24
80
＝0.3，a^
＝ y－
－b^
x－
＝2－0.3×8＝－0.4，
故所求线性回归方程为y^
＝0.3x－0.4.
(2)由于变量 y 的值随 x 值的增加而增加(b^
＝0.3>0)，故 x 与 y
之间是正相关．
(3)将 x＝7 代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为 y^
＝
0.3×7－0.4＝1.7(千元)．
6．[2019·河北省六校联考]某中学一教师统计甲、乙两位同学
高三学年的数学成绩(满分 150 分)，现有甲、乙两位同学的 20 次
成绩的茎叶图如图 1 所示．
(1)根据茎叶图求甲、乙两位同学成绩的中位数，并将图 2 中
乙同学成绩的频率分布直方图补充完整；(2)根据茎叶图比较甲、乙两位同学数学成绩的平均值及稳定
程度(不要求计算具体值，给出结论即可)；
(3)现从甲、乙两位同学不低于 140 分的成绩中任意选出 2 个
成绩，设事件 A 为“其中 2 个成绩分别属于不同的同学”，求事件
A 发生的概率．
解析：(1)甲同学成绩的中位数是 119，乙同学成绩的中位数
是 128.
乙同学成绩的频率分布直方图如图所示：
(2)从茎叶图可以看出，乙同学成绩的平均值比甲同学成绩的
平均值高，乙同学的成绩比甲同学的成绩更稳定．
(3)甲同学不低于 140 分的成绩有 2 个，分别设为 a，b，乙同
学不低于 140 分的成绩有 3 个，设为 c，d，e，
现从甲乙两位同学的不低于 140 分的成绩中任意选出 2 个成
绩有：(a，b)，(a，c)(a，d)(a，e)(b，c)(b，d)(b，e)(c，d)(c，
e)(d，e)共 10 种，
其中 2 个成绩分属不同同学的情况有： (a，c)(a，d)(a，e)(b，
c)(b，d)(b，e)共 6 种
因此事件 A 发生的概率 P(A)＝ 6
10
＝3
5
.
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