概率与统计(8)
1．[2019·安徽合肥调研]某保险公司决定每月给推销员确定一
个具体的销售目标，对推销员实行目标管理，销售目标确定的适
当与否，直接影响公司的经济效益和推销员的工作积极性，为此
该公司随机抽取了 50 位推销员上个月的月销售额(单位：万元)，
绘制成如图所示的频率分布直方图([14,16)小组对应的数据缺失)：
(1)(ⅰ)根据图中数据，求出月销售额在[14,16)内的频率；
(ⅱ)根据频率分布直方图估计月销售额目标定为多少万元时，
能够使 70%的推销员完成任务，说明理由；
(2)该公司决定从月销售额在[22,24)和[24,26]两个小组的推销
员中，选取 2 位介绍销售经验，求选出的推销员来自同一个小组
的概率．
解析：(1)(ⅰ)月销售额在[14,16)内的频率为 1－2×(0.03＋0.12
＋0.18＋0.07＋0.02＋0.02)＝0.12.
(ⅱ)若 70%的推销员能完成月销售额目标，则意味着 30%的推
销员不能完成该目标，根据频率分布直方图知，[12,14)和[14,16)两
组的频率之和为 0.18，故估计月销售额目标应定为 16＋0.12
0.24
×2＝
17(万元)．
(2)根据频率分布直方图可知，[22,24)和[24,26]两组的频率之
和为 0.08，由 50×0.08＝4 可知待选的推销员一共有 4 人，设这 4
人分别为 A1，A2，B1，B2，则不同的选择有{A1，A2}，{A1，B1}，
{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{B1，B2}，一共 6 种情况，每一
种情况都是等可能的，而 2 人来自同一组的情况有 2 种，故选出的推销员来自同一个小组的概率为 P＝2
6
＝1
3
.
2．[2019·河北部分市联考]某教师统计甲、乙两位同学 20 次
考试的数学成绩(满分 150 分)，根据所得数据绘制茎叶图如图所示．
(1)根据茎叶图求甲、乙两位同学成绩的中位数；
(2)根据茎叶图比较甲、乙两位同学数学成绩的平均值及稳定
程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；
(3)现从甲、乙两位同学的不低于 140 分的成绩中任意选出 2
个，设事件 A 为“选出的 2 个成绩分别属于不同的同学”，求事件
A 发生的概率．
解析：(1)甲同学成绩的中位数是116＋112
2
＝119，乙同学的中
位数是128＋128
2
＝128.
(2)从茎叶图可以看出，乙同学成绩的平均值比甲同学成绩的
平均值高，乙同学的成绩比甲同学的成绩更稳定．
(3)甲同学的不低于 140 分的成绩有 2 个，分别设为 a，b，乙
同学的不低于 140 分的成绩有 3 个，分别设为 c，d，e.
从甲、乙两位同学的不低于 140 分的成绩中任意选出 2 个的
情况有{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，e}，{b，c}，{b，d}，{b，
e}，{c，d}，{c，e}，{d，e}，共 10 种，而选出的 2 个成绩分别
属于不同的同学的情况有{a，c}，{a，d}，{a，e}，{b，c}，{b，
d}，{b，c}，共 6 种，因此 P(A)＝ 6
10
＝3
5
.
3．[2019·河南名校联盟高三“尖子生”调研(二)]为了调查一
款电视机的使用寿命(单位：年)，研究人员对该款电视机进行了相
应的调查，得到的数据如下图所示．并对不同年龄层的市民对这
款电视机的购买意愿作出调查，得到的数据如下表所示．愿意购买
该款电视机
不愿意购买
该款电视机 合计
40 岁及以
上 800 1
000
40 岁以下 600
合计 1 200
(1)根据图中数据，试估计该款电视机的平均使用寿命；
(2)根据表中数据判断，是否有 99.9%的把握认为“是否愿意
购买该款电视机”与“市民的年龄”有关；
(3)若按照电视机的使用寿命进行分层抽样，从使用寿命在[0,4)
和[4,20]内的电视机中抽取 5 台，再从这 5 台中随机抽取 2 台进行
配件检测，求被抽取的 2 台电视机的使用寿命都在[4,20]内的概率．
附：K2＝ n(ad－bc)2
(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)
，n＝a＋b＋c＋d.
P(K2≥k0) 0.25 0.15 0.10 0.05 0.02
5
0.01
0
0.00
5 0.001
k0
1.32
3
2.07
2
2.70
6
3.84
1
5.02
4
6.63
5
7.87
9
10.82
8
解析：(1)依题意，平均使用寿命为 2×0.2＋6×0.36＋10×0.28
＋14×0.12＋18×0.04＝7.76(年)．
(2)依题意，完善表格如下表所示，
愿意购买该
款电视机
不愿意购买
该款电视机 合计
40 岁及以
上 800 200 1
000
40 岁以下 400 600 1
000
合计 1 200 800 2 000
故 K2＝2 000 × (800 × 600－200 × 400)2
1 000 × 1 000 × 1 200 × 800
≈333.333>10.828，
故有 99.9%的把握认为“是否原意购买该款电视机”与“市民
的年龄”有关．
(3)依题意知，抽取的 5 台电视机中使用寿命在[0,4)内的有 1
台，使用寿命在[4,20]内的有 4 台，则从 5 台电视机中随机抽取 2
台，所有的情况有 C25＝10(种)，其中满足条件的有 C24＝6(种)，故
所求概率 P＝ 6
10
＝3
5
.
4．[2019·湖北武汉调研]某校学生参与一项社会实践活动，受
生产厂家的委托，采取随机抽样的方法调查某市市民对某新研发
品牌洗发水的满意度，被调查者在 0 分到 100 分的整数中给出自
己的认可分数．现将收集到的 100 位市民的认可分数分为[40,50)，
[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]6 组，并根据数据绘制
出如图所示的频率分布直方图．
(1)求这 100 位市民认可分数的中位数(精确到 0.1)，平均数(同
一组中的数据用所在区间的中点值代表)；
(2)生产厂家根据同学们收集到的数据，拟随机在认可分数为
80 及其以上的市民中选出 2 位市民当产品宣传员，求这 2 位宣传
员的认可分数都在[90,100]内的概率．
解析：(1)由于[40,50)，[50,60)，[60,70)这三组的频率分别为
0.1,0.2,0.3，故中位数位于[60,70)中，为 60＋10×2
3
≈66.7，
平均数为 10×(45×0.01＋55×0.02＋65×0.03＋75×0.025＋
85×0.01＋95×0.005)＝67.
(2)易知认可分数在[80,90)内的人数为 10，认可分数在[90,100]
内的人数为 5.从认可分数在[90,100]内的 5 人中随机选择 2 人的基本事件
有 1＋2＋3＋4＝10(个)，从认可分数在[80,90)和[90,100]内的 15 人
中随机选择 2 人的基本事件有 1＋2＋3＋…＋14＝105(个)．
故这 2 位宣传员的认可分数都在[90,100]内的概率为 P＝ 10
105
＝ 2
21
.
5．[2019·四川成都一诊]在 2018 年俄罗斯世界杯期间，莫斯
科的某商场推出了来自中国的某商品，该商品按等级分类，有等
级代码，为得到该商品的等级代码数值 x 与销售单价 y 之间的关
系，经统计得到如下数据：
等级代码数
值 x 38 48 58 68 78 88
销售单价 y/
元 16.8 18.8 20.8 22.8 24 25.8
(1)已知销售单价 y 与等级代码数值 x 之间存在线性相关关系，
求 y 关于 x 的线性回归方程(系数精确到 0.1)；
(2)若该商场销售的此商品的等级代码数值为 98，请估计该等
级的此商品的销售单价为多少元．
参考公式：对一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回
归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为
b^
＝
n
i＝1 (xi－ x－
)(yi－ y－
)
n
i＝1 (xi－ x－
)2
＝
n
i＝1xiyi－n x－
y－
n
i＝1x2i－n x－
2
，a^
＝ y－
－b^
x－
，
参考数据：
6
i＝1xiyi＝8 440，
6
i＝1x2i＝25 564.
解析：(1)由题意，得x－
＝38＋48＋58＋68＋78＋88
6
＝63， y－
＝
16.8＋18.8＋20.8＋22.8＋24＋25.8
6
＝21.5，
所以b^
＝
6
i＝1xiyi－6 x－
y－
6
i＝1x2i－6 x－
2
＝8 440－6 × 63 × 21.5
25 564－6 × 632
≈0.2，a^
＝ y－
－b^
x－
＝21.5－0.2×63＝8.9，
故所求线性回归方程为y^
＝0.2x＋8.9.
(2)由(1)知，当 x＝98 时，y^
＝0.2×98＋8.9＝28.5.
故估计该等级的此商品的销售单价为 28.5 元．
6．[2019·湖南一模]某校决定为本校上学所需
时间超过 30 分钟的学生提供校车接送服务(所有学生上学时间均
不超过 60 分钟)．为了解学生上学所需时间，从全校 600 名学生中
抽取 50 人统计上学所需时间(单位：分)，将 600 人随机编号，为
001,002，…，600，将抽取的 50 名学生的上学所需时间分成六组：
第一组(0,10]，第二组(10,20]，…，第六组(50,60]，得到如图所示
的频率分布直方图．
(1)若抽取的 50 个样本是用系统抽样的方法得到的，且第一个
抽取的编号为 006，则第 5 个抽取的编号是多少？
(2)若从 50 个样本中属于第四组和第六组的所有人中随机抽
取 2 人，设他们上学所需时间分别为 a 分钟，b 分钟，求满足|a－
b|>10 的概率．
(3)设学校配备的校车每辆可搭载 40 名学生，请根据抽样的结
果估计全校应有多少辆这样的校车？
解析：(1)因为 600÷50＝12，且第一个抽取的编号为 006，
所以第 5 个抽取的数是 6＋(5－1)×12＝54，即第 5 个抽取的
编号是 054.
(2)第四组的人数为 0.008×10×50＝4，设这 4 人分别为 A，
B，C，D，第六组的人数为 0.004×10×50＝2，设这 2 人分别为
x，y，
随机抽取 2 人的可能情况有 AB，AC，AD，BC，BD，CD，
xy，Ax，Ay，Bx，By，Cx，Cy，Dx，Dy，共 15 种，其中他们上学所需时间满足|a－b|>10 的情况有 Ax，Ay，Bx，By，Cx，Cy，
Dx，Dy，共 8 种．
所以满足|a－b|>10 的概率 P＝ 8
15
.
(3)全校上学所需时间超过 30 分钟的学生约有 600×(0.008＋
0.008＋0.004)×10＝120(人)，
所以估计全校应有 120÷40＝3 辆这样的校车．
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