解析几何(9)
1．[2019·山东夏津一中月考]已知圆 C 的圆心在直线 x＋y＋1
＝0 上，半径为 5，且圆 C 经过点 P(－2,0)和点 Q(5,1)．
(1)求圆 C 的标准方程；
(2)求过点 A(－3,0)且与圆 C 相切的切线方程．
解析：(1)设圆 C：(x－a)2＋(y－b)2＝25，点 C 在直线 x＋y＋1
＝0 上，
则有 a＋b＋1＝0.圆 C 经过点 P(－2,0)和点 Q(5,1)，则Error!解
得 a＝2，b＝－3.所以圆 C：(x－2)2＋(y＋3)2＝25.
(2)设所求直线为 l.①若直线 l 的斜率不存在，则直线 l 的方程
是 x＝－3，与圆 C 相切，符合题意．
②若直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y＝k(x＋3)，即 kx
－y＋3k＝0.
由题意知，圆心 C(2，－3)到直线 l 的距离等于半径 5，即
|2k＋3＋3k|
k2＋1
＝5，解得 k＝ 8
15
，故切线方程是 y＝ 8
15
(x＋3)．
综上，所求切线方程是 x＝－3 或 y＝ 8
15
(x＋3)．
2．[2019·四川省南充市高考适应性考试]
如图所示，已知抛物线 C：y2＝4x 的焦点为 F，直线 l 经过点
F 且与抛物线 C 相交于 A，B 两点．
(1)若线段 AB 的中点在直线 y＝2 上，求直线 l 的方程；
(2)若线段|AB|＝20，求直线 l 的方程．
解析：(1)由已知，得抛物线的焦点为 F(1,0)．因为线段 AB 的
中点在直线 y＝2 上，
所以直线 l 的斜率存在，设直线 l 的斜率为 k，A(x 1，y1)，
B(x2，y2)，AB 的中点 M(x0，y0)，
由Error!得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，所以 2y0k＝4.
又 y0＝2，所以 k＝1，故直线 l 的方程是 y＝x－1.
(2)设直线 l 的方程为 x＝my＋1，与抛物线方程联立得Error!消
去 x，得 y2－4my－4＝0，
所以 y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，Δ＝16(m2＋1)>0.
|AB|＝ m2＋1|y1－y2|
＝ m2＋1· (y1＋y2)2－4y1y2
＝ m2＋1· (4m)2－4 × (－4)
＝4(m2＋1)．
所以 4(m2＋1)＝20，解得 m＝±2，所以直线 l 的方程是 x＝±2y
＋1，即 x±2y－1＝0.
3．[2019·河北衡水模拟]如图，在平面直角坐标系 xOy 中，
点 F
(
1
2
，0)，直线 l：x＝－1
2
，点 P 在直线 l 上移动，R 是线段 PF
与 y 轴的交点，RQ⊥FP，PQ⊥l.
(1)求动点 Q 的轨迹 C 的方程；
(2)设圆 M 过 A(1,0)，且圆心 M 在曲线 C 上，TS 是圆 M 在 y
轴上截得的弦，当 M 运动时，|TS|是否为定值？请说明理由．
解析：(1)依题意知，R 是线段 FP 的中点，且 RQ⊥FP，
∴RQ 是线段 FP 的垂直平分线．
连接 QF，∵点 Q 在线段 FP 的垂直平分线上，∴|PQ|＝|QF|.
又 PQ⊥l，∴|PQ|是点 Q 到直线 l 的距离，
故动点 Q 的轨迹 C 是以 F 为焦点，l 为准线的抛物线，其方
程为 y2＝2x.
(2)|TS|为定值．理由如下：
取曲线 C 上点 M(x0，y0)，点 M 到 y 轴的距离 d＝|x0|＝x0，圆
的半径 r＝|MA|＝ (x0－1)2＋y20，
则|TS|＝2 r2－d2＝2 y20－2x0＋1，
∵点 M 在曲线 C 上，∴x0＝y20
2
，∴|TS|＝2 y20－y20＋1＝2，是定值．
4．[2019·江西南昌一中模拟]已知椭圆 C： x2
a2
＋y2
b2
＝1(a>b>0)
的离心率为 3
2
，短轴长为 2.
(1)求椭圆 C 的标准方程；
(2)设直线 l：y＝kx＋m 与椭圆 C 交于 M，N 两点，O 为坐标
原点，若 kOM·kON＝5
4
，求原点 O 到直线 l 的距离的取值范围．
解析：(1)由题意知 e＝c
a
＝ 3
2
，2b＝2，又 a2＝b2＋c2，所以 b
＝1，a＝2，所以椭圆 C 的标准方程为x2
4
＋y2＝1.
(2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，由Error!得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2
－4＝0.
则 Δ＝(8km)2－4(4k2＋1)(4m2－4)>0，化简得 m2b>0)的离
心率为1
2
，点 P
( 3， 3
2 )在 C 上．
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)设 F1，F2 分别是椭圆 C 的左、右焦点，过 F2 的直线 l 与椭
圆 C 交于不同的两点 A，B，求△F 1AB 的内切圆的半径的最大
值．
解析：(1)依题意有Error!得Error!
故椭圆 C 的方程为x2
4
＋y2
3
＝1.
(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，△F1AB 的内切圆半径为 r，
由题意知△F1AB 的周长为|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝8，
所以 S△F1AB＝1
2
×4a×r＝4r.
解法一 根据题意知，直线 l 的斜率不为零，故可设直线 l 的
方程为 x＝my＋1，
由Error!得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，
Δ＝(6m)2＋36(3m2＋4)>0，
所以 y1＋y2＝ －6m
3m2＋4
，y1y2＝ －9
3m2＋4
，
所以 S△F1AB＝1
2
|F1F2|·|y1－y2|＝|y1－y2|＝ (y1＋y2)2－4y1y2＝
12 m2＋1
3m2＋4
，
令 t＝ m2＋1，则 t≥1，S△F1AB＝ 12t
3t2＋1
＝ 4
t＋1
3t
.
令 f(t)＝t＋1
3t
，则当 t≥1 时，f′(t)＝1－ 1
3t2
>0，f(t)单调递增，
所以 f(t)≥f(1)＝4
3
，S△F1AB≤3，
即当 t＝1，m＝0 时，S△F1AB 取得最大值，最大值为 3，此
时 rmax＝3
4
.故当直线 l 的方程为 x＝1 时，△F1AB 的内切圆的半径取得最
大值3
4
.
解法二 当直线 l 垂直于 x 轴时，可取 A
(1，3
2)，B
(1，－3
2)，
则 S△F1AB＝1
2
|F1F2|·|AB|＝3.
当直线 l 不垂直于 x 轴时，设直线 l 的方程为 y＝k(x－1)，
由Error!得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0.
Δ＝(－8k2)2－4(4k2＋3)(4k2－12)＝144(k2＋1)>0，
所以 x1＋x2＝ 8k2
4k2＋3
，x1x2＝4k2－12
4k2＋3
，
所 以 S△F1AB ＝ 1
2
|F1F2|·|y1 － y2| ＝ |y1 － y2| ＝ |k(x1 － x2)| ＝
k2 [(x1＋x2)2－4x1x2]＝ 16 × 9k2(k2＋1)
(4k2＋3)2
.
令 t＝4k2＋3，则 t≥3,0
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