解析几何(10)
1．[2019·重庆西南大学附中检测]已知圆 C：x2＋y2＋2x－4y＋
3＝0.
(1)若直线 l 过点(－2,0)且被圆 C 截得的弦长为 2，求直线 l 的
方程；
(2)从圆 C 外一点 P 向圆 C 引一条切线，切点为 M，O 为坐标
原点，满足|PM|＝|PO|，求点 P 的轨迹方程．
解析：(1)x2＋y2＋2x－4y＋3＝0 可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝2.
当直线 l 的斜率不存在时，其方程为 x＝－2，
易求得直线 l 与圆 C 的交点为 A(－2,1)，B(－2,3)，|AB|＝2，
符合题意；
当直线 l 的斜率存在时，设其方程为 y＝k(x＋2)，即 kx－y＋2k
＝0，
则圆心 C 到直线 l 的距离 d＝|－k－2＋2k|
k2＋1
＝1，
解得 k＝3
4
，
所以直线 l 的方程为 3x－4y＋6＝0.
综上，直线 l 的方程为 x＝－2 或 3x－4y＋6＝0.
(2)如图，PM 为圆 C 的切线，连接 MC，PC，
则 CM⊥PM，
所以△PMC 为直角三角形，
所以|PM|2＝|PC|2－|MC|2.
设 P(x，y)，由(1)知 C(－1,2)，
|MC|＝ 2.
因为|PM|＝|PO|，
所以(x＋1)2＋(y－2)2－2＝x2＋y2，
化简得点 P 的轨迹方程为 2x－4y＋3＝0.
2．[2019·贵州省适应性考试]已知椭圆 G： x2
a2
＋y2
b2
＝1(a>b>0)在 y 轴上的一个顶点为 M，两个焦点分别是 F1，F2，∠F1MF2＝120°，
△MF1F2 的面积为 3.
(1)求椭圆 G 的方程；
(2)过椭圆 G 长轴上的点 P(t,0)的直线 l 与圆 O：x2＋y2＝1 相
切于点 Q(Q 与 P 不重合)，交椭圆 G 于 A，B 两点．若|AQ|＝|BP|，
求实数 t 的值．
解析：(1)由椭圆性质，知|MF2|＝a，
于是 c＝asin 60°＝ 3
2
a，b＝acos 60°＝1
2
a.
所以△MF1F2 的面积 S＝1
2
·(2c)·b＝ 1
2
·( 3a)·
(
1
2a )＝ 3，
解得 a＝2，b＝1.
所以椭圆 G 的方程为x2
4
＋y2＝1.
(2)显然，直线 l 与 y 轴不平行，可设其方程为 y＝k(x－t)．
由于直线 l 与圆 O 相切，
则圆心 O 到 l 的距离 d＝ |kt|
k2＋1
＝1，
即 k2t2＝k2＋1， ①
联立Error!化简得(1＋4k2)x2－8tk2x＋4(t2k2－1)＝0.
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝ 8tk2
1＋4k2
.
设 Q(x0，y0)，有Error!解得 x0＝ tk2
1＋k2
.
由已知可得，线段 AB，PQ 中点重合，即有 x1＋x2＝t＋x0.
因此 8tk2
1＋4k2
＝t＋ tk2
1＋k2
，
化简得 k2＝1
2
，
将其代入①式，可得 t＝± 3.
3．[2019·安徽五校联盟质检]已知椭圆 C： x2
a2
＋y2
b2
＝1(a>b>0)
的左、右焦点分别为 F1(－1,0)，F2(1,0)，P 为椭圆 C 上一点，满
足 3|PF1|＝5|PF2|，且 cos∠F1PF2＝3
5
.(1)求椭圆 C 的标准方程；
(2) 设 直 线 l ： y ＝ kx ＋ m 与 椭 圆 C 交 于 A ， B 两 点 ， 点
Q
(
1
4
，0)，若|AQ|＝|BQ|，求 k 的取值范围．
解析：(1)由题意设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则 3r1＝5r2，又 r1＋r2
＝2a，
∴r1＝5
4
a，r2＝3
4
a.
在△PF1F2 中，由余弦定理得，cos∠F1PF2＝r21＋r22＋|F1F2|2
2r1r2
＝
(
5
4a )2＋(
3
4a )2－22
2 × 5
4a × 3
4a
＝3
5
，得 a＝2，∵c＝1，∴b2＝a2－c2＝3，
∴椭圆 C 的标准方程为x2
4
＋y2
3
＝1.
(2)联立方程，得Error!消去 y 得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝
0，
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝－8km
3＋4k2
，x1x2＝4m2－12
3＋4k2
，
且 Δ＝48(3＋4k2－m2)>0， ①
设 AB 的中点为 M(x0，y0)，连接 QM，则 x0＝x1＋x2
2
＝－4km
3＋4k2
，
y0＝kx0＋m＝ 3m
3＋4k2
，
∵|AQ|＝|BQ|，∴AB⊥QM，又 Q
(
1
4
，0)，M 为 AB 的中点，
∴k≠0，直线 QM 的斜率存在，∴k·kQM＝k·
3m
3＋4k2
－4km
3＋4k2－1
4
＝－1，解得
m＝－3＋4k2
4k
， ②
把②代入①得 3＋4k2>
(－3＋4k2
4k )
2，整理得 16k4＋8k2－3>0，即(4k2－1)(4k2＋3)>0，得 k>1
2
或 kb>0)
的离心率为 3
2
，右焦点为 F，且该椭圆过点(1，－ 3
2
)．
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)当动直线 l 与椭圆 C 相切于点 A，且与直线 x＝4 3
3
相交于
点 B 时，求证：△FAB 为直角三角形．
解析：(1)由题意得c
a
＝ 3
2
， 1
a2
＋ 3
4b2
＝1，又 a2＝b2＋c2，所以 b2
＝1，
a2＝4，所以椭圆 C 的方程为x2
4
＋y2＝1.
(2)由题意可得直线 l 的斜率存在，
设直线 l 的方程为 y＝kx＋m，联立得Error!
得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
Δ＝64k2m2－16(4k2＋1)(m2－1)＝0 得 m2＝4k2＋1>0.
设 A(x1，y1)，则 x1＝ －8km
2(4k2＋1)
＝－8km
2m2
＝－4k
m
，y1＝kx1＋m＝
－4k2
m
＋m＝1
m
，即 A
(－4k
m
，1
m).
易得 B
(
4 3
3
，4 3
3 k＋m)，F( 3，0)，
则FA→
＝
(－4k
m
－ 3，1
m)，FB→
＝
(
3
3
，4 3
3 k＋m)，
FA→
·FB→
＝ 3
3 (－4k
m
－ 3)＋ 1
m(
4 3
3 k＋m)＝－4 3k
3m
－1＋ 4 3k
3m
＋1
＝0，
所以FA→
⊥FB→
，即△FAB 为直角三角形．
5．[2019·河南郑州一测]设 M 为圆 C：x 2＋y2＝4 上的动点，点 M 在 x 轴上的投影为 N.动点 P 满足 2PN→
＝ 3 MN→
，动点 P 的轨
迹为 E.
(1)求 E 的方程；
(2)设 E 的左顶点为 D，若直线 l：y＝kx＋m 与曲线 E 交于 A，
B 两点(A，B 不是左、右顶点)，且满足|DA→
＋DB→
|＝|DA→
－DB→
|，求
证：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标．
解析：(1)设点 M(x0，y0)，P(x，y)，由题意可知 N(x0,0)，
∵2PN→
＝ 3 MN→
，∴2(x0－x，－y)＝ 3(0，－y0)，
即 x0＝x，y0＝ 2
3
y，
又点 M 在圆 C：x2＋y2＝4 上，∴x20＋y20＝4，
将 x0＝x，y0＝ 2
3
y 代入得x2
4
＋y2
3
＝1，
即轨迹 E 的方程为x2
4
＋y2
3
＝1.
(2)由(1)可知 D(－2,0)，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立得Error!整理得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0，
Δ＝(8mk)2－4(3＋4k2)(4m2－12)＝16(12k2－3m2＋9)>0，
即 3＋4k2－m2>0，
∴x1＋x2＝－8mk
3＋4k2
，x1x2＝4(m2－3)
3＋4k2
，
y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝3m2－12k2
3＋4k2
，
∵|DA→
＋DB→
|＝|DA→
－DB→
|，∴DA→
⊥DB→
，即DA→
·DB→
＝0，
即(x1＋2，y1)·(x2＋2，y2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2＝0，
∴4m2－12
3＋4k2
＋2×－8mk
3＋4k2
＋4＋3m2－12k2
3＋4k2
＝0，
∴7m2－16mk＋4k2＝0，
解得 m＝2k 或 m＝2
7
k，均满足 3＋4k2－m2>0.
当 m＝2k 时，l 的方程为 y＝kx＋2k＝k(x＋2)，直线恒过点(－
2,0)，与已知矛盾；当 m＝2
7
k 时，l 的方程为 y＝kx＋ 2
7
k＝k
(x＋2
7)，直线恒过点
(－2
7
，0).
∴直线 l 过定点，定点坐标为
(－2
7
，0).
6．[2019·安徽合肥一检]设椭圆 C： x2
a2
＋y2
b2
＝1(a>b>0)的离心
率为 2
2
，圆 O：x2＋y2＝2 与 x 轴正半轴交于点 A，圆 O 在点 A 处
的切线被椭圆 C 截得的弦长为 2 2.
(1)求椭圆 C 的方程．
(2)设圆 O 上任意一点 P 处的切线交椭圆 C 于 M，N 两点，试
判断|PM|·|PN|是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，
请说明理由．
解析：(1)由椭圆的离心率为 2
2
知，b＝c，a＝ 2b，则椭圆 C
的方程为 x2
2b2
＋y2
b2
＝1.
易得 A( 2，0)，则由题意知点( 2， 2)在椭圆 C 上，所以 2
2b2
＋ 2
b2
＝1，
解得Error!所以椭圆 C 的方程为x2
6
＋y2
3
＝1.
(2)当过点 P 且与圆 O 相切的切线斜率不存在时，不妨设切线
方程为 x＝ 2，由(1)知，M( 2， 2)，N( 2，－ 2)，OM→
＝( 2，
2)，ON→
＝( 2，－ 2)，OM→
·ON→
＝0，所以 OM⊥ON.
当过点 P 且与圆 O 相切的切线斜率存在时，可设切线方程为 y
＝kx＋m，
M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则 |m|
k2＋1
＝ 2，即 m2＝2(k2＋1)．
联立直线和椭圆的方程，得Error!消去 y，得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0，
则Error!
又OM→
＝(x1，y1)，ON→
＝(x2，y2)，
所以OM→
·ON→
＝x1x2＋y1y2
＝x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)
＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2
＝(1＋k2)·2m2－6
2k2＋1
＋km·－4km
2k2＋1
＋m2
＝(1＋k2)(2m2－6)－4k2m2＋m2(2k2＋1)
2k2＋1
＝3m2－6k2－6
2k2＋1
＝3(2k2＋2)－6k2－6
2k2＋1
＝0，
所以 OM⊥ON.
综上所述，圆 O 上任意一点 P 处的切线交椭圆 C 于 M，N 两
点，都有 OM⊥ON.
在 Rt△OMN 中，易知△OMP～△NOP，所以|PM|·|PN|＝|OP|2
＝2，为定值．
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