2020高考文科数学二轮分层特训卷主观题专练函数与导数（11）（Word版带解析）

函数与导数(11) 1．[2018·北京卷]设函数 f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex. (1)若曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与 x 轴平行，求 a； (2)若 f(x)在 x＝2 处取得极小值，求 a 的取值范围． 解析：(1)因为 f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex， 所以 f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex. 所以 f′(1)＝(1－a)e. 由题设知 f′(1)＝0，即(1－a)e＝0，解得 a＝1. 此时 f(1)＝3e≠0. 所以 a 的值为 1. (2)由(1)得 f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex ＝(ax－1)(x－2)ex. 若 a>1 2 ，则当 x∈ ( 1 a ，2)时，f′(x)0. 所以 f(x)在 x＝2 处取得极小值． 若 a≤1 2 ，则当 x∈(0,2)时，x－20)， ①若 a≤0，则 f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增． ②若 a>0，则当 0e a 时，f′(x)0，所以只需证 f(x)≤ex x －2e， 由(1)知，当 a＝e 时，f(x)在(0,1)上单调递增， 在(1，＋∞)上单调递减， 所以 f(x)max＝f(1)＝－e. 设 g(x)＝ex x －2e(x>0)，则 g′(x)＝(x－1)ex x2 ， 所以当 00 时，f(x)≤g(x)， 即 f(x)≤ex x －2e， 即 xf(x)－ex＋2ex≤0. 解法二　(1)同解法一． (2)证明：由题意知， 即证 exln x－ex2－ex＋2ex≤0(x>0)， 从而等价于 ln x－x＋2≤ex ex . 设函数 g(x)＝ln x－x＋2，则 g′(x)＝1 x －1. 所以当 x∈(0,1)时，g′(x)>0； 当 x∈(1，＋∞)时，g′(x)0 时，g(x)≤h(x)，即 xf(x)－ex＋2ex≤0. 3．[2019·甘肃第二次诊断]已知函数 f(x)＝2x 2－ax＋1＋ln x(a∈R)． (1)若 a＝0，求曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)若 a＝5，求 f(x)的单调区间； (3)若 30，所以 f(x)在 (0，1 4)和(1，＋ ∞)上单调递增． 当 x∈ ( 1 4 ，1)时，f′(x)