2020高考文科数学二轮分层特训卷主观题专练选考部分（13）（Word版带解析）

选考部分(13) 1．[2019·湖北宜昌调考]在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 1 的参数方程为Error!(α 为参数)．以平面直角坐标系的原点 O 为极 点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρsin (θ－π 6)＝1. (1)求曲线 C1 的普通方程和曲线 C2 的直角坐标方程； (2)若曲线 C1 上恰好存在三个不同的点到曲线 C2 的距离相等， 求这个点的极坐标． 解析：(1)由Error!消去参数 α，得 x2＋y2＝4， 即曲线 C1 的普通方程为 x2＋y2＝4. 由 ρsin (θ－π 6)＝1 得 ρ (sin θcos π 6 －cos θsin π 6)＝1， 故曲线 C2 的直角坐标方程为 x－ 3y＋2＝0. (2)由(1)知，曲线 C1 为圆，设圆的半径为 r， ∵圆心 O 到曲线 C2：x－ 3y＋2＝0 的距离 d＝ |2| 12＋( 3)2 ＝1 ＝1 2 r， ∴直接 x－ 3y＋4＝0 与曲线 C1 的切点 A 以及直线 x－ 3y＝ 0 与圆的两个交点 B，C 即为所求． 连接 OA，则 OA⊥BC，则 kOA＝－ 3，直线 OA 的倾斜角为 2π 3 ， 即 A 点的极角为2π 3 ，所以 B 点的极角为2π 3 －π 2 ＝π 6 ，C 点的极 角为2π 3 ＋π 2 ＝7π 6 ， 故所求点的极坐标分别为 (2，2π 3 )， (2，π 6)， (2，7π 6 ). 2．[2019·益阳市，湘潭市高三 9 月调研考试]在平面直角坐标 系中，曲线 C 的参数方程为Error!(α 为参数)．以直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标 方程为 ρcos (θ＋π 3)＝1 2 .直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点． (1)求直线 l 的直角坐标方程； (2)设点 P(1,0)，求|PA|·|PB|的值． 解析：(1)由 ρcos (θ＋π 3)＝1 2 得 ρcosθcosπ 3 －ρsinθsinπ 3 ＝1 2 ， 又 ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，∴直线 l 的直角坐标方程为 x－ 3y－1＝0. (2)由Error!(α 为参数)得曲线 C 的普通方程为 x2＋4y2＝4， ∵P(1,0)在直线 l 上，故可设直线 l 的参数方程为Error!(t 为参 数)， 将其代入 x2＋4y2＝4 得 7t2＋4 3t－12＝0， ∴t1·t2＝－12 7 ， 故|PA|·|PB|＝|t1|·|t2|＝|t1·t2|＝12 7 . 3．[2019·湖北省四校高三上学期第二次联考试题]在平面直角 坐标系 xOy 中，直线 l 过点 P(1,0)且倾斜角为π 3 ，在以 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 ρ＝ 4sin (θ＋π 6). (1)求直线 l 的参数方程与曲线 C 的直角坐标方程； (2)若直线 l 与曲线 C 的交点分别为 M，N，求 1 |PM| ＋ 1 |PN| 的 值． 解析：(1)由题意知，直线 l 的参数方程为Error!(t 为参数)． ∵ρ＝4sin(θ＋π 6 )＝2 3sinθ＋2cosθ， ∴ρ2＝2 3ρsinθ＋2ρcosθ. ∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴x2＋y2＝2 3y＋2x， ∴曲线 C 的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－ 3)2＝4.(2)将直线 l 的参数方程Error!(t 为参数)代入曲线 C 的直角坐 标方程(x－1)2＋(y－ 3)2＝4， 得 t2－3t－1＝0，∴t1＋t2＝3，t1t2＝－1