文科数学
本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟
考生注意：
1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，
并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试
卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1.已知集合 A＝{1，2，3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)＜0，x∈Z}，则 A∪B 等于
A.{1} B.{1，2} C.{0，1，2，3} D.{－1，0，1，2，3}
2.设复数 z 满足(1＋i)z＝2i，则|z|＝
A. B. C. D.2
3.某文体局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了 2018 年 1 月至 2018 年 11 月
期间“跑团”每月跑步的平均里程(单位：公里)的数据，绘制了下面的折线图。根据折线图，
下列结论正确的是
A.月跑步平均里程的中位数为 6 月份对应的里程数
B.月跑步平均里程逐月增加
C.月跑步平均里程高峰期大致在 8、9 月
D.1 月至 5 月的月跑步平均里程相对于 6 月至 11 月，波动性更小，变化比较平稳
4.边长为 m 的正方形内有一个半径为 n(n＜ )的圆，向正方形中随机扔一粒豆子(忽略大小，
1
2
2
2 2
2
m视为质点)，若它落在该圆内的概率为 ，则圆周率 π 的值为
A. B. C. D.
5.执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为
A.2 B. C. D.
6.若点 P(cosθ，sinθ)在直线 3x－4y＝0 上，则 cos2θ＝
A. B. C. D.
7.已知等比数列{an}满足 a1＋a2＝6，a4＋a5＝48，则数列{an}前 10 项的和为 S10＝
A.1022 B.1023 C.2047 D.2046
8.若函数 f(x)＝excosx 在点(0，f(0))处的切线与直线 2x－ay＋1＝0 互相垂直，则实数 a 等于
A.－2 B.－1 C.1 D.2
9.某几何体的三视图如图所示(单位相同)，记该几何体的体积为 V，则 V＝
A. B.243 C. D.729
10.设 F 是双曲线 C： 的一个焦点，若 C 上存在点 P，使线段 PF 的中点恰
3
4
3
4
m
n
2
2
3
4
m
n
3
4
n
m
2
2
3
4
n
m
3
2
5
3
8
5
7
25
− 7
25
7
25
± 16
25
243
2
729
2
2 2
2 1( 0)9
y x bb
− = >为虚轴的一个端点，则 C 的离心率为
A.2 B. C.5 D.
11.下列命题正确的是
A.函数 的零点在区间( )内
B.命题“ ”的否定是“ ”
C.已知实数 a、b，则“a>b”是“a2>b2”的必要不充分条件
D.设 m，n 是两条直线，α，β 是空间中两个平面。若 ，则 α⊥β
12.设函数 f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝lnx＋x2－3。若实数 a，b 满足 f(a)＝0，g(b)＝0，则
A.0＜g(a)＜f(b) B.f(b)＜0＜g(a) C.g(a)＜0＜f(b) D.f(b)＜g(a)＜0
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.若向量 满足| |＝ ，| |＝2， ⊥( － )，则 与 的夹角为 。
14.已知等差数列{an}的前 n 项为 Sn，且 a1＋a5＝－14，S9＝－27，则使得 Sn 取最小值时的 n
为 。
15.已知三点 O(0，0)，A(－2，1)，B(2，1)，曲线 C 上任意一点 M(x，y)，满足 ＝
，则曲线 C 的方程为 。
16.在三棱锥 P－ABC 中，平面 PAB⊥平面 ABC，△ABC 是边长为 6 的等边三角形，△PAB
是以 AB 为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为 。
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共 60 分。
17.(12 分)
为更好地落实农民工工资保证金制度，南方某市劳动保障部门调查了 2018 年下半年该市
100 名农民工(其中技术工、非技术工各 50 名)的月工资，得到这 100 名农民工的月工资均在[25，
55](百元)内，且月工资收入在[45，50)(百元)内的人数为 15，并根据调查结果画出如图所示的
频率分布直方图：
2 5
1
3 1( ) ( )2
xf x x= − 1 1,3 2
2, 1 0x R x∀ ∈ − > 2
0 0, 1 0x R x∃ ∈ − <
, ,m n m nα β⊂ ⊂ ⊥
,a b a 3 b a a b a b
MA MB+
( ) 2OM OA OB⋅ + + (1)求 n 的值；
(2)已知这 100 名农民工中月工资高于平均数的技术工有 31 名，非技术工有 19 名。
①完成如下所示 2×2 列联表
②则能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为是不是技术工与月工资是否高于平均数
有关系？
参考公式及数据： ，其中 n＝a＋b＋c＋d。
18.(12 分)
已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c。
(1)若 A＝ ，a＝3，C＝ ，求 b；
(2)若 A＝ ，a＝2，求△ABC 的周长的范围。
19.(12 分)
如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AC＝AA1＝2，D 为棱 CC1 的中点，AB1∩A1B＝O。
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + +
4
π
3
π
3
π
(1)证明：C1O∥平面 ABD；
(2)已知 AC⊥BC 且 AC＝BC，E 为线段 A 1B 上一点，且三棱锥 C－ABE 的体积为 ，求
。
20.(12 分)
已 知 函 数 在 [1 ， ＋ ∞) 上 为 增 函 数 ， 且 θ ∈ (0 ， π) ，
，(其中 m>0)。
(1)求 θ 的值；
(2)设函数 F(x)＝f(x)－g(x)，若 F(x)在(0，2)上有两个极值点，求 m 的取值范围。
21.(12 分)
已知 P(－3，0)，椭圆 C： 的离心率为 ，直线 l 与 C 交于 A，B
两点，AB 长度的最大值为 4。
(1)求 C 的方程；
(2)直线 l 与 x 轴的交点为 M，当直线 l 变化(l 不与 x 轴重合)时，若 ，求点 M 的
坐标。
(二)选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题
计分。
22.[选修 4－4：坐标系与参数方程](本小题满分 10 分)
在极坐标系中，射线 l：θ＝ 与圆 C：ρ＝2 交于点 A，椭圆 Γ 的方程为： ，
以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴建立平面直角标系 xOy。
2
3
1
BE
BA
1( ) lnsing x xxθ= +⋅
1( ) lnmf x mx xx
−= − −
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 1
2
PA MA
PB MB
=
6
π 2
2
3
1 2sin
ρ θ= +(1)求点 A 的直角坐标和椭圆 Γ 的参数方程；
(2)若 B 为椭圆 Γ 的下顶点，M 为椭圆 Γ 上任意一点，求 的最大值。
23. [选修 4－5：不等式选讲](本小题满分 10 分)
已知 a＞0，b＞0，a3＋b3＝2。证明：
(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；
(2)a＋b≤2。
AB AM⋅
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