高一数学 第 1 页(共 4 页)
吉林市普通高中 2019—2020 学年度高一年级上学期期末调研测试
数 学
本试卷共 22 小题，共 120 分，共 4 页，考试时间 120 分钟。考试结束后，请将答题卡和
试题卷一并交回。
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项符合题目要求。
1. 已知全集 ，集合 ，则
A． B． C． D．
2. 函数 的定义域是
A. B. C. D.
3. 过点 和点 的直线的斜率为
A. B. C. D.
4. 已知 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，在下面给出的条件中，能得到
的是
A. B.
C. D. ∥
5. 若直线 与直线 平行，则实数 的值为
A. B. C. D.
6. 某几何体的正视图与侧视图都是边长为 的正方形，且体积为 ,那么该几何体的俯视图
是
A. B. C. D.
7. 若 是一个圆的方程，则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
{0,1,2,3,4}U = {0,1,2}, {2,3,4}A B= = ( )U A B =
{0,1} {3,4} {2} {0,1,3,4}
( ) lg(2 1)f x x= +
(0, )+∞ (1, )+∞ 1( , )2
− +∞ ( ,1)−∞
( 2,3)A − (0, 1)B −
2− 1
2
− 1
2 2
,m n ,α β
m β⊥
,mα β α⊥ ⊂ ,m α α β⊥ ⊥
,m n n β⊥ ⊂ m ,n n β⊥
2 3 0x y+ + = 4 0kx y− + = k
2− 1
2
− 1
2 2
1 1
2
2 2 0x y x y m+ − + − = m
1
2m < − 1
2m ≥ − 1
2m > − 2m > −高一数学 第 2 页(共 4 页)
8. 如图，在长方体 中， ,
, 则异面直线 与 所成角为
A. B.
C. D.
9. 某食品加工厂 2018 年获利 20 万元，经调整食品结构，开发新产品，计划从 2019 年开始
每年比上一年获利增加 20%，问从哪一年开始这家加工厂年获利超过 60 万元(已知 lg2＝
0.301 0，lg 3＝0.477 1).
A．2023 年 B．2024 年 C．2025 年 D．2026 年
10. 如图，直线 垂直于 所在的平面， 内接于 ，
为直径，点 为线段 的中点，给出以下三个结论：
① ；② ∥平面 ；③点 到平面 的
距离等于线段 的长，其中正确的是
A. ①② B. ①②③
C. ① D. ②③
11. 已知圆 的方程为 ，若圆 上恰有 个点到直线 的距离为 ，
则 的方程可能是
A. B.
C. D.
12. 已知 表示不超过 的最大整数，如： ， 为取
整函数， 是函数 的零点，则 等于
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分。
13. 如右图，正方体 的所有棱中，其所在的直线
与直线 成异面直线的共有 条.
1 1 1 1ABCD A B C D− 1AB BC= =
1 2AA = 1 1A B 1BD
15° 30°
45° 60°
PA O ABC∆ O
AB M PB
BC PC⊥ OM APC B PAC
BC
C 2 2 4 6 9 0x y x y+ − + + = C 3 l 1
l
3 4 1 0x y+ + = 4 3 1 0x y+ + =
4 3 5 0x y− − = 3 4 5 0x y− − =
[ ]x x [1] 1,[3.5] 3,[ 1.5] 2= = − = − ( ) [ ]g x x=
0x 2( ) lnf x x x
= − 0( )g x
1 2 3 4
1 1 1 1ABCD A B C D−
1BA
A B
CD
A B
CD 11
1 1
A B
C
O
M
P
A B
CD
A B
CD1 1
1
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14. 已知 ，则 .
15. 设直线 与圆 相交于 两点，若 ，则
.
16. 给出下列结论:
① 若集合 ，则 ；
② 函数 的图象关于原点对称；
③ 函数 在其定义域上是单调递减函数；
④ 若函数 在区间 上有意义，且 ，则 在区间 上有
唯一的零点.
其中正确的是 ．（只填序号）
17. 若三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上， 平面 , ,
,且三棱锥 的体积为 ，则球 的体积为 .
三、解答题：本大题共 5 小题，共 52 分，解答题应根据要求写出必要的文字说明，证明过程
或演算步骤。
18．（10 分）
已知圆 过点 ，且圆心 在直线 上，求圆 的方程.
19．（10分）
已知直线 的方程为 ．
（1）若直线 与 平行，且过点 ，求直线 的方程；
（2）若直线 与 垂直，且 与两坐标轴围成的三角形面积为 ，求直线 的方程．
2
3 , 0( ) log , 0
x xf x x x
≤= >
1
8( ( ))f f =
2y x a= + 2 2 2 2 0x y ay+ − − = ,A B | | 2 3AB =
a =
{ | 0}, { | 1 2}A x x B x x= > = − ≤ ≤ A B A=
2( ) 1
xf x x
= +
1( )f x x
=
( )f x [ , ]a b ( ) ( ) 0f a f b < ( )f x ( , )a b
P ABC− O PA ⊥ ABC 2AB AC= =
90BAC∠ = ° P ABC− 4 3
3 O
C (2, 3), ( 2, 5)A B− − − C : 2 3 0l x y− − = C
1l 3 4 12 0x y+ − =
2l 1l ( 1,3)− 2l
2l 1l 2l 4 2l高一数学 第 4 页(共 4 页)
20．（10 分）
某工厂生产一种产品，根据预测可知，该产品的产量平稳增长，记 2015 年为第 1 年，第
年与年产量 （万件）之间的关系如下表所示：
1 2 3 4
现有三种函数模型：
（1）找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后选取 这两年的数据求出
相应的函数解析式；
（2）因受市场环境的影响，2020 年的年产量估计要比预计减少 30%，试根据所建立的
函数模型，估计 2020 年的年产量.
21．（10 分）
如图，已知矩形 中， ，将矩形沿对角线 把 折起，
使 移到 点，且 在平面 上的射影 恰在 上，即 平面 ．
（1）求证： ；
（2）求证：平面 平面 ；
（3）求点 到平面 的距离．
22.（12 分）
已知函数 在区间 上有最小值 1，最大值 9.
（1）求实数 的值；
（2）设 ，若不等式 在区间 上恒成立，求实
数 的取值范围；
（3）设 ，若函数 有三个零点，求实数 的取
值范围.
x ( )f x
x
( )f x 4.00 5.52 7.00 8.49
0.5( ) , ( ) 2 , ( ) logxf x ax b f x a b f x x a= + = × + = +
1,3x =
ABCD 10, 6AB BC= = BD ABD∆
A 1A 1A BCD O CD 1A O ⊥ DBC
1BC A D⊥
1A BC ⊥ 1A BD
C 1A BD
2( ) 2 2( 0)f x ax ax b a= − + + > [ 2,0]−
,a b
( )( ) f xg x x
= 2 2(log ) log 0g x k x− ≥ [ 2,4]
k
( ) (| 2 1|) (| 2 1| 2)x xF x f λ= − + − − ( )F x λ
A B
CD
A
O
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吉林市普通中学 2019-2020 学年度上学期期末教学质量检测
高一数学参考答案与评分标准
一、选择题：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B C A D A C C D C B A B
二、填空题：
13. 6 ; 14. 15. ; 16. ②; 17. ;
三、解答题：
18．（10 分）
解：设圆的标准方程为 -----------------------------------------------2 分
所以 -------------------------------------------------5 分
(1)-(2)整理得： ，
与（3）联立得 ，解得： --------------------------------8 分
代入（1）得： ------------------------------------------------------------9 分
所以圆的方程为 -----------------------------------------------------10 分
19．（10分）
解：（1）设 的方程为 ， ----------------------------------------------------------2 分
由已知得： ，
∴直线 的方程为 ． -----------------------------------------------------------4 分
（2）设 的方程为 ， -----------------------------------------------------------6 分
1
27 2± 20 5
3
π
2 2 2( ) ( )x a y b r− + − =
2 2 2
2 2 2
(2 ) ( 3 ) (1)
( 2 ) ( 5 ) (2)
2 3 0 (3)
a b r
a b r
a b
− + − − =
− − + − − =
− − =
2 4 0a b+ + =
2 4 0
2 3 0
a b
a b
+ + =
− − = 1, 2a b= − = −
2 10r =
2 2( 1) ( 2) 10x y+ + + =
2l 3 4 0x y m+ + =
3 12 0, 9m m− + + = = −
2l 3 4 9 0x y+ − =
2l 4 3 0x y n− + =高一数学 第 6 页(共 4 页)
令 ，得 ； 令 ，得 ，
所以三角形面积 ，得 -----------------------9 分
∴直线 的方程是 或 --------------------------10 分
20．（10 分）
解：（1）符合条件的函数模型是
若模型为 ，由已知得 ，
-----------------------------------------------------------------2 分
所以 ，与已知差距较大； ------------------------------------------3 分
若模型为 ， 为减函数，与已知不符；---------------------------5 分
若模型为 ，由 -----------6 分
，所以 ，与已知符合较好.
所以相应的函数为 ------------------------------------7 分
（2）2020 年预计年产量为 -------------------------------------------9 分
， 所以 2020 年产量应为 万件 --------------------------10 分
21．（10 分）
解：（1） 平面 ， 平面
-----------------------------------------------------------------------------1 分
又
平面 ------------------------------------------------------------------------------2 分
平面
0y =
4
nx = − 0x =
3
ny =
1 | | | | 42 3 3
n nS = × − × = 2 96, 4 6n n= = ±
2l 4 3 4 6 0x y− + = 4 3 4 6 0x y− − =
( )f x ax b= +
( ) 2xf x a b= × + (1) 4 2 4,(3) 7 8 7
f a b
f a b
= + = ∴ = + =
1 , 32a b= =
1( ) 2 32
xf x∴ = × +
(2) 5, (4) 11f f= =
0.5( ) logf x x a= + ( )f x
( )f x ax b= + (1) 4 4 3 5, , ,(3) 7 3 7 2 2
f a b a bf a b
= + = ∴ = = = + =
3 5( ) 2 2f x x∴ = + (2) 5.5, (4) 8.5f f= =
3 5( ) 2 2f x x= +
3 5(6) 6 11.52 2f = × + =
11.5 (1 30%) 8.05× − = 8.05
1A O ⊥ DBC BC ⊂ DBC
1A O BC∴ ⊥
1,BC DC A O DC O⊥ =
BC∴ ⊥ 1A DC
1A D ⊂ 1A DC高一数学 第 7 页(共 4 页)
． ------------------------------------------------------------------------------3 分
（2）∵
∴ 平面 ------------------------------5 分
又 ∵ 平面
∴平面 平面 ------------------------6 分
（3）设 到平面 的距离为 ，
∵ ， ∴ --------------------------------8 分
在 中， , ,
又 ∵ ，，∴ ． ----------------------------------------------------10 分
22.（12 分）
解：（1）因为函数 对称轴为 ， ，
所以 在区间 上为单调递减 ---------------------------------------------------------1 分
所以 ， ，解得： -------------------------3 分
（2）
令
不等式 化为 -----------------------------------5 分
即 在 上恒成立 ---------------------------------------------------------6 分
因为 ，所以
所以 -------------------------------------------------------------------------------------7 分
1BC A D∴ ⊥
1 1 1 1, ,BC A D A D A B BC A B B⊥ ⊥ =
1A D ⊥ 1A BC
1A D ⊂ 1A BD
1A BC ⊥ 1A BD
C 1A BD h
1 1C A BD A DBCV V− −=
1 1
1 1
3 3A BD DBCS h S AO∆ ∆⋅ = ⋅
1A BC∆ 1 10, 6A B BC= = 1 8A C∴ = ∴ 1
6 8 24
10 5AO
×= =
1A BD DBCS S∆ ∆= 24
5h =
( )f x 1x = 0a >
( )f x [ 2,0]−
( 2) 9
(0) 1
f
f
− =
=
4 4 2 9
2 1
a a b
b
+ + + =
+ = 1, 1a b= = −
2 2 1 1( ) 2x xg x xx x
− += = + −
2
1log , [ ,2]2t x t= ∴ ∈
2 2(log ) log 0g x k x− ≥ 1 2 0t ktt
+ − − ≥
2
1 2 1k t t
≤ − + 1[ ,2]2
1 1[ ,2]2t
∈ 2
2
1 2 11 ( 1) 0t t t
− + = − ≥
0k ≤
A B
CD
A
O
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（3）函数 有三个零点
则方程 有三个不同根
设 其图象如右图 ----------------------------------8 分
由题意，关于 的方程：
即 有两根，且这两根有三种情况：
一根为 0，一根在 内；或一根为 1，一根在 内；或一根大于 1，一根在
内 ---------------------------------------------------------9 分
若一根为 0，一根在 内：
把 代入 中，得 ，
此时方程为 ，得 ，不合题意； -----------------------10 分
若一根为 1，一根在 内：
把 代入 中，得 ，
此时方程为 ，得 ，不合题意； ----------------------11 分
若一根大于 1，一根在 内：
设 ，由题意得
综上得： -----------------------------------------------------------------------------12 分
( )F x
(| 2 1|) (| 2 1| 2) 0x xf λ− + − − =
| 2 1|xm = −
m 2 2 1 ( 2) 0m m mλ− + + − =
2 ( 2) 1 2 0m mλ λ+ − + − =
(0,1) (0,1) (0,1)
(0,1)
0m = 2 ( 2) 1 2 0m mλ λ+ − + − = 1
2
λ =
2 3 02m m− = 30, 2m m= =
(0,1)
1m = 2 ( 2) 1 2 0m mλ λ+ − + − = 0λ =
2 2 1 0m m− + = 1 2 0m m= =
(0,1)
2( ) ( 2) 1 2h m m mλ λ= + − + − (0) 0
(1) 0
h
h
>
∴ <
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