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江西省、洪都中学等六校 2019-2020 学年高二数学上
学期期末联考试题 理
第 I 卷（选择题)
一、单选题（共 12*5=60 分）
1．已知点 的极坐标为 ，则它的直角坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．函数 y＝x－ 的导数是( )
A．1－ B．1－ C．1＋ D．1＋
3．已知双曲线 （ ）的一个焦点与抛物线 的焦点重合，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．
4．下列命题中错误的是（ ）
A．命题“若 ，则 ”的逆否命题是真命题
B．命题“ ”的否定是“ ”
C．若 为真命题，则 为真命题
D．在 中，“ ”是“ ”的充要条件
5． 是 的导函数，若 的图象如图所示，则 的图象可能是( )
A． B． C．
D．
A 22, 3
π
(1, 3) (1, 3)− ( 1, 3)− ( 1, 3)− −
1
x
2
1
x
1
x 2
1
x
1
x
2 2
2 13
x y
a
− = 0a > 2 8y x= a =
13 19
x y= sin sinx y=
( )0 0 00, , 1x lnx x∃ ∈ +∞ = − ( )0, ,ln 1x x x∀ ∈ +∞ ≠ −
2 4 0a − ≥ 2a ≥
ABC∆ A B> sin sinA B>- 2 -
6．已知曲线 在点 处切线的倾斜角为 ，则 等于（ ）
A．2 B．-2 C．3 D．-1
7．已知函数 在区间（0，2）上不是单调函数，则 b 的取值范围是（ ）
A．（一∞，0） B．（一∞，-2） C．（-2,0） D．（-2,+∞）
8.若函数 在区间 内有两个零点， 则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．过双曲线 x2－ =1 的右焦点 F 作直线 l 交双曲线于 A，B 两点，若|AB|=4，则这 样的直
线 l 有（ ）
A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．4 条
10．已知函数 在 上可导，且 ，则函数 的解析式为（ ）
A． B． C． D．
11．如果函数 f(x)＝ x3－x 满足：对于任意的 x1，x2∈[0,2]，都有|f(x1)－f(x2)|≤a2 恒成
立，则 a 的取值范围是( )
A．[－ ， ] B．[－ ， ]
C．(－∞，－ ]∪[ ，＋∞) D．(－∞，－ ]∪[ ，＋∞)
12．已知函数 ， 与 的图象上存在关于 轴对称的点，
则实数 的取值范围是( )
A． B． C． D．
第 II 卷（非选择题)
二、填空题（共 4*5=20 分）
13．设函数 ，则 在 点 处的切线方程为________．
14．函数 的单调递减区间是__________.
( ) 3 2 2f x x ax= − + ( )( )1, 1f 3
4
π a
3 2( ) 2 3 1f x x ax= − + (0, )+∞ a
( ,1)−∞ (1, )+∞ (0,1) (1,2)
2
2
y
( )f x R 2( ) 2 '(2)f x x xf= + ( )f x
2( ) 8f x x x= + 2( ) 8f x x x= − 2( ) 2f x x x= + 2( ) 2f x x x= −
1
3
6
3
6
3
2 3
3
2 3
3
6
3
6
3
2 3
3
2 3
3
( ) 3 1f x x a= − + + 1 ,x ee
∈
( ) 3lng x x= x
a
30, 4e − 3
10, 2e
+
3
3
1 2, 4ee
+ −
)3 4,e − +∞
( ) cosf x x x= − ( )y f x= ( )0 1P −，
( ) e xf x x −=- 3 -
15．已知函数 是奇函数， ，当 时， 则不等式
的解集为_______．
16．对于函数 ,若其定义域内存在两个不同的实数 ， 使得
成立，则称函数 具有性质 ,若函数 具有性质 ，则实数 的取值
范围是__________．
三、解答题(第 17 题 10 分，18-22 每题 12 分，共 70 分）
17．（10 分）在直角坐标系 中，曲线 （ 为参数），在以坐标原点为
极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 .
（1）求 的普通方程和 的直角坐标方程；
（2）若过原点的直线 与曲线 ， 分别相交于异于原点的点 ， ，求 的最大值.
18．（12 分）设命题 ：函数 无极值．命题
，
（1）若 为真命题，求实数 的取值范围；
（2）若 是 的充分 不必要条件，求实数 的取值范围。
19．（12 分）在圆 上任取一点 ，过点 作 轴的垂线段 ， 为垂
足．当点 在圆上运动时，线段 的中点 形成轨迹 ．
（1）求轨迹 的方程；
（2）若直线 与曲线 交于 两点， 为曲线 上一动点，求 面积的最大值
( )y f x= 1 2,x x ( ) 1i ix f x =
( )1,2i = ( )f x P ( ) xef x a
= P a
xOy 1
cos: 1 sin
xC y
α
α
=
= +
α
x 2 : 2 3 cos ( )C ρ θ ρ= ∈R
1C 2C
l 1C 2C A B AB
p ( ) ( )3 23 31 93 2
af x x x x
−= + +
( )( ): 1 0q x k x k− − + <
p a
p¬ q¬ k
:O 2 2 4x y+ = P P y PD D
P PD M C
C
y x= C AB Q C ABQ△
0)()( >′+ xfxxf- 4 -
20．（12 分）设函数 f（x）=lnx-x2+x.
（1）求 f（x）的单调区间；（2）求 f（x）在区间[ ，e]上的最大值.
21．（12 分）已知函数 有极值.
（1）求 的取值范围；
（2）若 在 处取得极值，且当 时， 恒成立，求 的取值
范围.
22．（12 分）已知函数
（1）当 a≤0 时,讨论函数 f（x）的单调性;
（2）是否存在实数 a,对任意的 x1,x2 （0,+∞）,且 x1≠x 2,都有 恒成立.
若存在,求出 a 的取 值范围;若不存在,说明理由.
1
2
( ) 3 21 1
3 2f x x x cx d= − + +
c
( )f x 2x = 0x < ( ) 21 26f x d d< + d
( ) ( )21 2 ln 22f x x a x a x= − + −
∈ ( ) ( )2 1
2 1
f x f x ax x
− >−- 5 -
高二理科数学参考答案
1-5 CCACC 6-10 ACBCB 11-12 DA
13． 14． 15． 16． .
17．（1） ， ；（2）4
【详解】
（1） 消去 得到
，等式两边同乘 可得 ，
且 代入化简得 ........5 分
（2）由曲线 ， 的极坐标方程为 ， .
，当 时取得等号.故最大
值为 4........10 分
18．(1) (2)
【详解】
（1）由题意，命题 真时，则 恒成立，
所以 ，解得 ........5 分
（2）命题 真： ，设集合 A={ }，集合 B={ }
因为 是 的充分不必要条件，所以 是 的充分不必要条件，
即 B A，则有 ，解得 ，即实数 的取值范围是 .........12 分
1 0x y− − = 1 ,0e
−
22 ( 1) 1yx + − = 2 2( 3) 3x y− + =
1
cos: 1 sin
xC y
α
α
=
= +
α 2 2
1 : ( 1) 1C x y+ − =
2 : 2 3 cosC ρ θ= ρ 2 2 3 cosρ ρ θ=
2 2 2x yρ = + cos xρ θ = 2 2
2 :( 3) 3C x y− + =
1C 2C 1 : 2sinC ρ θ=
2 : 2 3 cosC ρ θ=
1 2| | | 2sin 2 3 cos | 4 sin 43AB
πρ ρ θ θ θ ∴ = − = − = −
5
6
πθ =
1 5 a≤ ≤ 2 5k≤ ≤
p ( ) ( )2 3 3 9 0f x x a x= + − + ≥′
( )29 3 36 0a∆ = − − ≤ 1 5a≤ ≤
q 1k x k− < < |1 5x x≤ ≤ | 1x k x k− < <
p¬ q¬ q p
≠
⊂ 1 1
5
k
k
− ≥
≤ 2 5k≤ ≤ k 2 5k≤ ≤- 6 -
19．（1） ；（2）面积最大为 。
【详解】(1)设 ，由题意 ， 为线段 的中点，
即 又 在圆 上，
，即 ，所以轨迹 为椭圆，且方程为 .........4 分
(2)联立直线 和椭圆 ，
得到 ，即 即有
方法一）设过 且与直线 平行的直线为 ，
当直线与椭圆相切时，两直线的距离取最大，
将 代入椭圆方程得：
由相切的条件得 解得 ，
则所求直线为 或 ，
故与直线 的距离为 ，
方法二）用椭圆的参数方 程求椭圆上一点到直线 的最大距离为 ，
则 的面积的最大值为 .........12 分
20．（I）因为 f（x）=lnx-x2+x 其中 x>0
2
2 14
yx + = 2
( ),M x y ( ),0D x ( )1,0P x M PD
1 0 2y y∴ + = 1 2y y= ( )1,P x y 2 2 4x y+ = 2 2
1 4x y∴ + =
2 24 4x y∴ + =
2
2 14
yx + = C
2
2 14
yx + =
y x= 2
2 14
yx + =
25 4x = 2 5
5x = ± 2 5 2 5 2 5 2 5, , ,5 5 5 5A B
− −
2 2
2 5 2 5 2 5 2 5 4 10
5 5 5 5 5AB
∴ = + + + =
Q y x= y x t= +
y x t= + 2 25 8 4 4 0x tx t+ + − =
( )2 264 4 5 4 4 0t t∆ = − × × − = 5t = ±
5y x= + 5y x= −
y x= 5 10
22
d = =
y x= 5 10
22
d = =
ABQ△ 1 4 10 10 22 5 2S = × × =- 7 -
所以 f '（x）= -2x+1=-
所以 f（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）. ........6 分
（II）由（I）f（x）在[ ，1]单调递增，在[1，e]上单调递减，
∴f（x）max=f（1）=0，f（x）min= f（e）=1-e2+e. ........12 分
21．（1） ；（2） 。
【详解】（1）∵ ，∴ ，
因为 有极值，则方程 有两个相异实数解，
从而 ，∴ 。∴c 的取值范围为 .........5 分
（2）∵ 在 处取得极值，∴ ，∴ .
∴ ，∵
∴当 时， ，函数单调递增；当 时， ，函数单调
递减.∴当 x
7d < − 1d＞ ( ) ( )7 1,−∞ − ∪ +∞，
( )0,+∞- 8 -
．
①当 时，
f（x）在（0，-a）上是增函数，在（- a,2）上是减函数，在 上是增函数．
②当 a=-2 时，在 上是增函数．
③ 时， 则 f（x）在（0，2）上是增函数，在（2，-a）上是减函数，
在 上是增函数．........5 分
（2） 假设存在实数 a, 对任意的 x1,x2 （0,+∞）,且 x1≠x2,都有 恒成立
不妨设 , 若 ，即 .
令 g（x）=f（x）-ax= -ax= .
只要 g（x）在（0,+∞）为增函数
要使 在（0,+∞）恒成立，只需-1-2a≥0， .
故存在 满足题意．........12 分
( ) ( ) ( )( )2 2 2 22 x a x a x x aaf x x ax x x
+ − −′ − += − + − = =
2 0a− < ≤
( )2,+∞
( )0,+∞
2a〈−
( ),a− +∞
∈ ( ) ( )2 1
2 1
f x f x ax x
− >−
1 20 x x〈 〈 ( ) ( )2 1
2 1
f x f x ax x
− >− ( ) ( )2 2 1 1f x ax f x ax− > −
( )21 2 ln 22 x a x a x− + − 21 2 ln 22 x a x x− + −
( ) ( )22 1 1 22 2 22 x aa x x ag x x x x x
− − −− −= − − =′ =
( ) 0g x′ ≥ 1
2a ≤ −
1, 2a ∈ −∞ −
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