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江西省、洪都中学等六校 2019-2020 学年高二数学上
学期期末联考试题 文
第 I 卷（选择题)
一、单选题(共 12*5=60 分）
1．已知点 的极坐标为 ，则它的直角坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．函数 y＝x－ 的导数是( )
A．1－ B．1－ C．1＋ D．1＋
3．已知双曲线 （ ）的一个焦点与抛物线 的焦点重合，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．
4．下列命题中错误的是（ ）
A．命题“若 ，则 ”的逆否命题是真命题
B．命题“ ”的否定是“ ”
C．若 为真命题，则 为真命题 D．在 中“ ”是“ ”
的充要条件
5． 是 的导函数，若 的图象如图所示，则 的图象可能是( )
A． B． C．
D．
6．已知曲线 在点 处切线的倾斜角为 ，则 等于（ ）
A．2 B．-2 C．3 D．-1
A 22, 3
π
(1, 3) (1, 3)− ( 1, 3)− ( 1, 3)− −
1
x
2
1
x
1
x 2
1
x
1
x
2 2
2 13
x y
a
− = 0a > 2 8y x= a =
13 19
x y= sin sinx y=
( )0 0 00, , 1x lnx x∃ ∈ +∞ = − ( )0, ,ln 1x x x∀ ∈ +∞ ≠ −
2 4 0a − ≥ 2a ≥ ABC∆ A B> sin sinA B>
( ) 3 2 2f x x ax= − + ( )( )1, 1f 3
4
π a- 2 -
7．已知函数 在区间（0，2）上不是单调函数，则 b 的取值范围是（ ）
A．（一∞，0） B．（一∞，-2） C．（-2,0） D．（-2,+∞）
8．若函数 在区间 内有两个零点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．过双曲线 x2－ =1 的右焦点 F 作直线 l 交双曲线于 A，B 两点，若|AB|=4，则这样的直
线 l 有（ ）
A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．4 条
10．已知函数 在 上可导，且 ，则函数 的解析式为（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a 在 x＝1 处取得极大值 10，则a
b的值为( )
A．－2
3 B．－2 C．－2 或－2
3 D．2 或－2
3
12．如果函数 f(x)＝ x3－x 满足：对于任意的 x1，x2∈[0,2]，都有|f(x1)－f(x2)|≤a2 恒成
立，则 a 的取值范围是( )
A．[－ ， ] B．[－ ， ]
C．(－∞，－ ]∪[ ，＋∞) D．(－∞，－ ]∪[ ，＋∞)
第 II 卷（非选择题)
二、填空题（共 4*5=20 分）
13．设函数 ，则 在点 处的切 线方程为__________．
14．已知函数 则它的递减区间为__________.
15．已知函数 是奇 函数， ，当 时则不等式
的解集为___．
3 2( ) 2 3 1f x x ax= − + (0, )+∞ a
( ,1)−∞ (1, )+∞ (0,1) (1,2)
2
2
y
( )f x R 2( ) 2 '(2)f x x xf= + ( )f x
2( ) 8f x x x= + 2( ) 8f x x x= − 2( ) 2f x x x= + 2( ) 2f x x x= −
1
3
6
3
6
3
2 3
3
2 3
3
6
3
6
3
2 3
3
2 3
3
( ) cosf x x x= − ( )y f x= ( )0 1P −，
( ) exf x x= − ( )f x
( ) exf x x= −
0)()( >′+ xfxxf- 3 -
16．对于函数 ,若其定义域内存在两个不同的实数 ， 使得
成立，则称函数 具有性质 ,若函数 具有性质 ，则实数 的取值
范围是__________．
三、解答题（共 70 分，第 17 题 10 分，18-22 每题 12 分）
17．（10 分）在直角坐标系 中，曲线 （ 为参数），在以坐标原点为
极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 .
（1）求 的普通方程和 的直角坐标方程；
（2）若过原点的直线 与曲线 ， 分别相交于异于原点的点 ， ，求 的最大值.
18．（12 分）设命题 ：函数 无极值．命题
，
（1）若 为真命题，求实数 的取值范围；
（2）若 是 的充分不必要条件，求实 数 的取值范围。
( )y f x= 1 2,x x ( ) 1i ix f x =
( )1,2i = ( )f x P ( ) xef x a
= P a
xOy 1
cos: 1 sin
xC y
α
α
=
= +
α
x 2 : 2 3 cos ( )C ρ θ ρ= ∈R
1C 2C
l 1C 2C A B AB
p ( ) ( )3 23 31 93 2
af x x x x
−= + +
( )( ): 1 0q x k x k− − + <
p a
p¬ q¬ k- 4 -
19．（12 分）在圆 上任取一点 ，过点 作 轴的垂线段 ， 为垂
足．当点 在圆上运动时，线段 的中点 形成轨迹 ．
（1）求轨迹 的方程；
（2）若直线 与曲线 交于 两 点， 为曲线 上一动 点，求 面积的最大值
20．（12 分）设函数 f（x）=lnx-x2+x.
（1）求 f（x）的单调区间；
（2）求 f（x）在区间[ ，e]上的最大值.
21．（12 分）已知函数 有极值.
（1）求 的取值范围；
（2）若 在 处取得极值，且当 时， 恒成立，求 的取值范
围.
:O 2 2 4x y+ = P P y PD D
P PD M C
C
y x= C AB Q C ABQ△
1
2
( ) 3 21 1
3 2f x x x cx d= − + +
c
( )f x 2x = 0x < ( ) 21 26f x d d< + d- 5 -
22．（12 分）函数 .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）当 时，方程 在区间 内有唯一实数解，求实数 的取值范围．
高二文科数学参考答案
1-5 CCACC 6-10 ACBCB 11-12 AD
13． 14． (注：右开闭均可）
15． 16． .
17．（1） ， ；（2）4
（1） 消去 得到
，等式两边同乘 可得 ，
且 代入化简得 .............5 分
（2）由曲线 ， 的极坐标方程为 ， .
，当 时取得等号.故最大
值为 4.........10 分
18．(1) (2)
【详解】
（1）由题意，命题 真时，则 恒成立，
所以 ，解得 ........5 分
（2）命题 真： ，设集合 A={ }，集合 B={ }
因为 是 的充分不必要条件，所以 是 的充分不必要条件，
( ) ( ) ( )21 1 ln 02f x ax a x x a= − + + ≥
( )f x
0a = ( )f x mx= 21,e m
1 0x y− − = ( ],0−∞
1 ,0e
−
22 ( 1) 1yx + − = 2 2( 3) 3x y− + =
1
cos: 1 sin
xC y
α
α
=
= +
α 2 2
1 : ( 1) 1C x y+ − =
2 : 2 3 cosC ρ θ= ρ 2 2 3 cosρ ρ θ=
2 2 2x yρ = + cos xρ θ = 2 2
2 :( 3) 3C x y− + =
1C 2C 1 : 2sinC ρ θ=
2 : 2 3 cosC ρ θ=
1 2| | | 2sin 2 3 cos | 4 sin 43AB
πρ ρ θ θ θ ∴ = − = − = −
5
6
πθ =
1 5 a≤ ≤ 2 5k≤ ≤
p ( ) ( )2 3 3 9 0f x x a x= + − + ≥′
( )29 3 36 0a∆ = − − ≤ 1 5a≤ ≤
q 1k x k− < < |1 5x x≤ ≤ | 1x k x k− < <
p¬ q¬ q p- 6 -
即 B A，则有 ，解得 ，即 实数 的取值范围是 .........12 分
19．（1） ；（2）面积最大为 。
【详解】(1)设 ，由题意 ，
为线段 的中点， 即
又 在圆 上， ，即 ，
所以轨迹 为椭圆，且方程为 ........4 分
(2)联立直线 和椭圆 ，得到 ，即
即有
方法一）设过 且与直线 平行的直线为 ，
当直线与椭圆相切时，两直线的距离取最大，
将 代入椭圆方程得：
由相切的条件得
解得 ，
则所求直线为 或 ，
故与直线 的距离为 ，
方法二）用椭圆的参数方程求椭圆上一点到直线 的最大距离为
≠
⊂ 1 1
5
k
k
− ≥
≤ 2 5k≤ ≤ k 2 5k≤ ≤
2
2 14
yx + = 2
( ),M x y ( ),0D x ( )1,0P x
M PD 1 0 2y y∴ + = 1 2y y=
( )1,P x y 2 2 4x y+ = 2 2
1 4x y∴ + = 2 24 4x y∴ + =
2
2 14
yx + =
C
2
2 14
yx + =
y x= 2
2 14
yx + = 25 4x = 2 5
5x = ±
2 5 2 5 2 5 2 5, , ,5 5 5 5A B
− −
2 2
2 5 2 5 2 5 2 5 4 10
5 5 5 5 5AB
∴ = + + + =
Q y x= y x t= +
y x t= + 2 25 8 4 4 0x tx t+ + − =
( )2 264 4 5 4 4 0t t∆ = − × × − =
5t = ±
5y x= + 5y x= −
y x= 5 10
22
d = =
y x= 5 10
22
d = =- 7 -
则 的面积的最大值为 .........12 分
20．（I）因为 f（x）=lnx-x2+x 其中 x>0
所以 f '（x） = -2x+1=-
所以 f（x）的增区间为（0，1），减区间为（ 1，+∞）. ........6 分
（II）由（I）f（x）在[ ，1]单调递增，在[1，e]上单调递减，
∴f（x）max=f（1）=0，f（x）min=f（e）=1-e2+e. ........12 分
21．（1） ；（2） 。
【详解】
（1）∵ ，∴ ，
因为 有极值，则方程 有两个相异实数解，
从而 ，∴ 。∴c 的取值范围为 .........5 分
（2）∵ 在 处取得极值，
∴ ，∴ .
∴ ，
∵
∴当 时， ，函数单调递增；当 时， ，函数单调
递减.∴当 x
7d < − 1d＞ ( ) ( )7 1,−∞ − ∪ +∞，
2
21 1m e
− ≤ < − 1 1m e
= −- 8 -
（1） ，
（i）当 时， ，令 ,得 ，令 ,得 ，
函数 在 上单调递增， 上单调递减；
（ii）当 时，令 ，得 ,
令 ,得 ，令 ,得 ，
函数 在 和 上单调递增， 上单调递减；
（iii）当 时， ，函数 f(x)在 上单调递增；
（iv）当 时，
令 ,得 ，令 ,得
函数 在 和 上单调递增， 上单调递减；
综上所述：当 时，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
当 时，函数 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ；
当 时，函数 的单调递增区间为 ；
当 时，函数 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 .......6
分
（2）当 时， ，由 ，得 ，
又 ，所以 ，要使方程 在区间 上有唯一实数解，
只需 有唯一实数解，
令 ，∴ ，
( ) ( ) ( )( )1 111 , 0ax xf x ax a xx x
− −′ = − + + = >
0a = ( ) 1 xf x x
−′ = ( ) 0f x′ > 0 1x< < ( ) 0f x′ < 1x >
( )f x ( )0,1 ( )1,+∞
0 1a< < ( ) 0f x′ = 1 1x = 2
1 1x a
= >
( ) 0f x′ > 10 1,x x a
< < > ( ) 0f x′ < 11 x a
< <
( )f x ( )0,1 1 ,a
+∞
11, a
1a = ( ) 0f x′ ≥ ( )0, ∞+
1a > 10 1a
< <
( ) 0f x′ > 10 , 1x xa
< < > ( ) 0f x′ < 1 1xa
< <
( )f x 10, a
( )1,+∞ 1 ,1a
0a = ( )f x ( )0,1 ( )1,+∞
0 1a< < ( )f x ( )0,1 1 ,a
+∞
11, a
1a = ( )f x ( )0, ∞+
1a > ( )f x 10, a
( )1,+∞ 1 ,1a
0a = ( ) lnf x x x= − + ( )f x mx= lnx x mx− + =
0x > ln 1xm x
= − ( )f x mx= 21,e
ln 1xm x
= −
( ) ( )2ln 1 1xg x x ex
= − ≤ ≤ ( ) 2
1 ln xg x x
−′ =- 9 -
由 得 ； 得 ，
∴ 在区间 上是增函数，在区间 上是减函数.
， ， ，故 或 ........12 分
( ) 0g x′ > 1 x e< < ( ) 0g x′ < 2e x e< <
( )g x [ ]1,e 2,e e
( )1 1g = − ( ) 1 1g e e
= − ( )2
2
2 1g e e
= − 2
21 1m e
− ≤ < − 1 1m e
= −
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