数学试题
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。）
1．已知命题 ：“ ，都有 成立”，则命题 为（ ）
A． ，有 成立 B． ，有 成立
C． ，有 成立 D． ，有 成立
2．椭圆 + =1 的离心率是（ ）
A． B． C． D．
3．命题 ， ；命题 ，函数 的图象过点
，则（ ）
A． 假 真 B． 真 假 C． 假 假 D． 真 真
4．电脑芯片的生产工艺复杂，在某次生产试验中，得到 组数据 ， ， ， ，
， .根据收集到的数据可知 ，由最小二乘法求得回归直线方程为 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
5．从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”D．“至少有一个黑球”与“都是红球”
6．下面四个条件中，使 成立的充分而不必要的条件是
A． B． C． D．
7.一块各面均涂有油漆的正方体被锯成 27 个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地
搅混在一起，从中任意取出一个，则取出的小正方体两面涂有油漆的概率是( )
A. B. C. D.
8．“ ”是方程“ 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的( )
A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
9．如图， 分别为椭圆 的左、右焦点，点 在椭圆上， 是面积为
p 0a∀ > 1ae ≥ p¬
0a∃ ≤ 1ae < 0a∃ ≤ 1ae ≥
0a∃ > 1ae ≥ 0a∃ > 1ae q x 3 02
x
x
−
3a x a< < 0a > p 3a x a< < 0a >
1a = p 1 3x< <
3 02
x
x
− b>0)，
∵椭圆经过点 ，∴ ＋ ＝1.①，
由已知 e＝ ，∴ ＝ ，∴c＝ a，∴b2＝a2－c2＝a2－( a)2，即 b2＝ a2.②，
把②代入①，得 ＋ ＝1，解得 a2＝25，∴b2＝16，
∴椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.
（2）若焦点在 轴上，设方程为
因为椭圆过点 ,所以 ，又 ，
若焦点在 轴上，设方程为 因为椭圆过点 ，,所以
，又 ，
综上，所求的椭圆方程是 或 。
1 3
2 3
x
x
<
( )3,0P
2 2
2 2
3 0 1a b
+ = 2 3 2a b= × 3, 1a b∴ = =
2
2 19
x y∴ + =椭圆的方程为
y ( )2 2
2 2 1 0 .y x a ba b
+ = > > ( )3,0P
2 2
2 2
0 3 1a b
+ = 2 3 2a b= × 9, 3a b∴ = = 2 2
181 9
y x椭圆的方程为∴ + =
2
2 19
x y+ =
2 2
181 9
y x+ =21、【解析】（1）补全该市 1000 名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图，如下：
（2）中位数的估计值：
由 ， ，
所以中位数位于区间 中，
设中位数为 ，则 ，
解得 ，因为 ，
所以估计该市跑步爱好者多数人的周跑量多于样本的平均数．
（3）依题意可知，休闲跑者共有 人，
核心跑者 人，
精英跑者 人，
所以该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要
元．
22、【解析】（1）计算 10 件产品的综合指标 ，如下表：
5 0.02 5 0.024 5 0.026 0.35 0.5× + × + × = < 0.35 5 0.036 0.53 0.5+ × = >
[ )25 30，
x ( )0.35 25 0.036 0.5x+ − × =
29.2x ≈ 28.5 29.2<
( )5 0.02 5 0.024 1000 220× + × × =
( )5 0.026 5 0.036 5 0.044 5 0.030 1000 680× + × + × + × × =
1000 220 680 100− − =
220 2500 680 4000 100 4500 37201000
× + × + × =
Q其中 的有 共 6 件，故该样本的一等品率为 ，
从而估计该批产品的一等品率为 0.6.
（2）在该样本的一等品中，随机抽取 2 件产品的所有可能结果为：
共 15 种.
在该样本的一等品中，综合指标均满足 的产品编号分别为 ，
则事件 发生的所有可能结果为 共 3 种，
所以 .
23、【解析】（1）因为椭圆 的离心率为，所以 ，则 ．
因为线段 中点的横坐标为 ，所以 ．
所以 ，则 ， ．
所以椭圆的标准方程为 ．
（2）因为 ，
所以线段 的中垂线方程为： ．
又因为△ 外接圆的圆心 C 在直线 上，
所以 ．因为 ，
所以线段 的中垂线方程为： ．
由 C 在线段 的中垂线上，得 ，
整理得， ， 即 ．
因为 ，所以 ．
所以椭圆的离心率 ．
21 题答题卡上的图
5Q ≤ 1 2 4 6 9 10, , , , ,A A A A A A 6 0.610
=
{ } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { }1 2 1 4 1 6 1 9 1 10 2 4 2 6 2 9 2 10 4 6 4 9, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A
{ } { } { } { }4 10 6 9 6 10 9 10, , , , , , ,A A A A A A A A
4Q ≤ 1 9 10, ,A A A
B { }1 9 1 10, }, , ,A A A A { }9 10,A A
( ) 3 1
15 5P B = =
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