数学试题
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的）
1．复数 在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是
A．任意一个有理数，它的平方是有理数 B．任意一个无理数，它的平方不是有理数
C．存在一个有理数，它的平方是有理数 D．存在一个无理数，它的平方不是有理数
3．已知向量 且 互相垂直，则 k＝（ ）
A． B．1 C． D．
4．已知变量 与 正相关，且由观测数据算得样本平均数 ， ，则由该观测的数
据算得的线性回归方程可能是 （ ）
A． B． C． D．
5．已知椭圆 : 的右顶点、上顶点分别为 、 ，坐标原点到直线 的距离
为 ，且 ，则椭圆 的方程为（ ）
A． B． C． D．
6．曲线 在点 处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
7．将某选手的 6 个得分去掉 1 个最高分，去掉一个最低分，4 个剩余分数 的平均分为 91．现
场作的 6 个分数的茎叶图后来有 1 个数据模糊，无法辨认，在图中以 表示，则 4 个剩余分
数的方差为（ ）
A． B． C． D．
8．在一项自“一带一路”沿线 20 国青年参与的评选中“高 铁”、
“支付宝”、“共享单车”和“网购”被称作中国“新四大发明”，曾以古代“四大发明”推动世界进步
的中国，正再次以科技创新向世界展示自己的发展理念．某班假期分为四个社会实践活动小
1 2
1 2
i
i
−
+
( ) ( )1,1,0 , 1,0,2 ,a b= = − 2ka b a b+ − 与
7
5
3
5
1
5
x y 3x = 3.5y =
0.4 .3ˆ 2y x= + 2 2.4ˆy x= − 9ˆ 2 .5y x= − + 0.3 4.4ˆy x= − +
x
6 1 3
2 4
8 7
9 3 0 0 1| x组，分别对“新四大发明”对人们生活的影响进行调查．于开学进行交流报告会．四个小组随
机排序，则“支付宝”小组和“网购”小组不相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．定义在 上的函数 满足： ， ，则不等式
的解集为 （ ）
A． B． C． D．
10．方程 与 的曲线在同一坐标系中的示意图应是（ ）
A． B． C． D．
11．如图正方体 的棱长为 a，以下结论不正确的是（ ）
A．异面直线 与 所成的角为 B．直线 与 垂直
C．直线 与 平行 D．三棱锥 的体积为
12．已知 是定义在区间 内的单调函数，且对任意
，都有 ，设 为 的导函
数，则函数 的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。把正确答案填写在答题卡
上）
13．某学校高一、高二、高三年级的学生人数成等差数列，现用分层抽样的方法从这三个年
级中抽取 90 人，则应从高二年级抽取的学生人数为___________.
14．某公司三个分厂的职工情况为：第一分厂有男职工 4000 人，女职工 1600 人；第二分厂
有男职工 3000 人，女职工 1400 人；第三分厂有男职工 800 人，女职工 500 人．如果从该公
司职工中随机抽选 1 人，则该职工为女职工或为第三分厂职工的概率为________．
15．已知四面体 ， ， ， ，
1
6
1
6
1
3
1
2
R ( )f x ( ) ( ) 1f x f x′+ > (0) 3f = ( ) 2x xe f x e> +
(0, )+∞ ( ,0) (3, )−∞ ∪ +∞ ( ,0) (0, )−∞ +∞ (3, )+∞
1 1 1 1ABCD A B C D−
1A D 1AB 60 1A D 1BC
1A D 1BD 1CDA A− 31
6 a
( )f x (0, )+∞
(0, )x∈ +∞ [ ( ) ln ] 1f f x x e− = + ' ( )f x ( )f x
'( ) ( ) ( )g x f x f x= −
P ABC− 60PAB BAC PAC∠ = ∠ = ∠ = ° 1AB = 2AC =，则 __________．
16、设 是双曲线 : 的右焦点， 是 左支上的点，已知 ，则 周
长的最小值是_______．
三、解答题（本大题共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知集合 ，集合 .
（Ⅰ）若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围；
（Ⅱ）若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围.
18．河南省某市公安局交警支队依据《中华人民共和国道路交通安全法》第 条规定：所有
主干道路凡机动车途经十字口或斑马线，无论转弯或者直行，遇有行人过马路，必须礼让行
人，违反者将被处以 元罚款，记 分的行政处罚．如表是本市一主干路段监控设备所抓拍
的 个月内，机动车驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据：
月份
违章驾驶员人数
（Ⅰ）请利用所给数据求违章人数 与月份 之间的回归直线方程 ；
（Ⅱ）预测该路段 月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数．
参考公式： ， ．
19．某工厂生产的产品 的直径均位于区间 内（单位： ).若生产一件产品 的
直径位于区间 内该厂可获利分别为 10，30，20，10(单
位：元），现从该厂生产的产品 中随机抽取 200 件测量它们的直径，得到如图所示的频率分
布直方图.
3AP = AB AP AC+ + =
F C
2 2
116 9
x y− = P C (1,3)A PAF∆
{ }2| 8 20 0M x x x= − − < { }| ( 1)( 1) 0N x x m x m= − + − − <
x M∈ Rx C N∈ m
Rx C M∈ Rx C N∈ m
90
100 3
5
1 2 3 4 5
120 105 100 90 85
y x y bx a= +
7
( )( )
( )
1 1
2 22
11
n n
i i i i
i i
nn
i
ii i
x y nxy x x y y
b
x xx nx
= =
==
− − −
= =
−−
∑ ∑
∑∑
a y bx= −
A [ ]110,118 mm A
[ ) [ ) [ ) [ ]110,112 , 112,114 , 114,116 , 116,118
A（1）求 的值，并估计该厂生产一件 产品的平均利润；
（2）现用分层抽样法从直径位于区间 内的产品中随机抽取一个容量为 5 的样本，从
样本中随机抽取两件产品进行检测，求两件产品中至多有一件产品的直径位于区间
内的概率.
20．如图三棱柱 中，侧面 为菱形， .
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）若 ， ，AB=BC，求二面角 的余弦值.
21．已知椭圆 ： （ ）的离心率为 ， ， ， ，
的面积为 1.
（1）求椭圆 的方程；
（2）设 是椭圆 上一点，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，求证：
为定值.
a A
[ )112,116
[ )114,116
C
2 2
2 2 1x y
a b
+ = 0a b> > 3
2
( ,0)A a (0, )B b (0,0)O
OAB∆
C
P C PA y M PB x N
| | | |AN BM⋅22．已知函数 ．
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）是否存在实数 ，使函数 在 上单调递增？若存在，求出
的取值范围；若不存在，请说明理由．
21( ) 2 ln ( 2)2f x x a x a x= + − +
1a = ( )f x
a 34( ) ( ) 9g x f x ax x= + + (0, )+∞
a数学答案
1、【答案】C
【解析】∵ ，
∴复数 在复平面内对应的点的坐标为（ ），位于第三象限．故选：C．
2、【答案】B
【解析】由命题的否定的定义知，“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是“任意一
个无理数，它的平方不是有理数”．
3、【答案】A
【解析】因为 互相垂直，所以
，选 A.
4、【答案】A
【解析】因为 与 正相关，排除选项 C、D，又因为线性回归方程恒过样本点的中心
，故排除选项 B；故选 A．
5、【答案】D
【解析】椭圆右顶点坐标为 ，上顶点坐标为 ，故直线 的方程为 ，即
，依题意原点到直线的距离为 ，且 ，由此解得 ，
故椭圆的方程为 ，故选 D.
6、【答案】B
【解析】 ，当 时， ，所以切线方程是
，整理为 ，故选 B.
7、【答案】C
【解析】去掉最低分 87，若 x≥3，则 90+x 被去掉，
此时剩余的分数为 90,90,91,93，平均数为 91，满足条件，
此时的方差为 .故选：C。
( )( )
( )( )
1 2 1 21 2 1 4 4 3 4
1 2 1 2 1 2 5 5 5
i ii i ii i i
− −− − −= = = − −+ − +
1 2
1 2
i
i
−
+
3 4
5 5
− −，
2ka b a b+ − 与
( ) ( ) 71, ,2 3,2, 2 0 3 3 2 4 0, 5k k k k k− ⋅ − = ∴ − + − = =
2 2 2 21 3[(90 91) (90 91) (91 91) (93 91) ]4 2
− + − + − + − =8、【答案】D
【解析】将“支付宝”小组，“网购”小组，“高铁”小组，“共享单车”小组分别记为 ， ，
， ．则四个小组随机排序的所有情况有： ， ，
， ， ， ， ，
， ， ， ， ，
， ， ， ， ，
， ， ， ， ，
， ，共 24 种，
其中“支付宝”小组与“网购”小组不相邻的有 12 种，
由古典概型的概率公式得所求概率为 ．故选：D．
9、【答案】A
【解析】设 ，则
,
, , 又 ，
所以 , 在定义域上单调递增,
对于不等式 可转化成 ，
, 又 ， ,
, 而 在定义域上单调递增, ，故选：A.
10、【答案】A
【解析】方程 即 ，表示抛物线，
方程 表示椭圆或双曲线，
当 和 同号时，抛物线开口向左，
方程 表示焦点在 轴的椭圆，无符合条件的选项；
1A 2A
1B 2B ( )1 2 1 2, , ,A A B B ( )1 2 2 1, , ,A A B B
( )2 1 1 2, , ,A A B B ( )2 1 2 1, , ,A A B B ( )1 1 2 2, , ,A B A B ( )1 2 2 1, , ,A B A B ( )2 1 1 2, , ,A B A B
( )2 2 1 1, , ,A B A B ( )1 1 2 2, , ,B A A B ( )1 2 1 2, , ,B A A B ( )2 1 2 1, , ,B A A B ( )2 2 1 1, , ,B A A B
( )1 1 2 2, , ,A B B A ( )1 1 2 2, , ,A B B A ( )2 1 2 1, , ,A B B A ( )2 2 1 1, , ,A B B A ( )1 2 1 2, , ,B B A A
( )1 2 2 1, , ,B B A A ( )2 1 1 2, , ,B B A A ( )2 1 1 2, , ,B B A A ( )1 1 2 2, , ,B A B A ( )1 2 2 1, , ,B A B A
( )2 1 1 2, , ,B A B A ( )2 2 1 1, , ,B A B A
1
2
( ) ( ) ( )x xg x e f x e x R= − ∈
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1x x x xg x e f x e f x e e f x f x′ ′ ′ = + − = + −
( ) ( ) 1f x f x′+ > ( ) ( ) 1 0f x f x′∴ + − > 0xe >
( ) 0g x′ > ( )y g x∴ =
( ) 2x xe f x e> + ( ) 2x xe f x e− >
( ) 2g x∴ > (0) 3f = (0)g∴ = 0 0(0) 3 1 2e f e− = − =
( ) (0)g x g∴ > ( )y g x= 0x∴ >当 和 异号时，抛物线 开口向右，
方程 表示双曲线，选择 A.
11、【答案】C
【解析】如图所示，建立空间直角坐标系．
A．A1（a，0，a），D（0，0，0），A（a，0，0），B1（a，a，a）．
∴ （﹣a，0，﹣a）， （0，a，a），
∴ ，
∴异面直线 A1D 与 AB1 所成的角为 60°．
B．C1（0，a，a），B（a，a，0）．
（﹣a，0，﹣a）•（﹣a，0，a）＝a2﹣a2＝0．
∴直线 A1D 与 BC1 垂直．
C．D1（0，0，a）．
∵ （﹣a，0，﹣a）•（﹣a，﹣a，a）＝a2﹣a2＝0，∴直线 A1D 与 BD1 垂直，不平
行；
D．三棱锥 A﹣A1CD 的体积 ．
综上可知：只有 C 不正确．故选：C．
12、【答案】B
【解析】对任意的 x∈（0，+∞），都有 f[f（x）﹣lnx]＝e+1，
又由 f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，则 f（x）﹣lnx 为定值，
1A D =
1AB =
2
1 1
1 1
1 1
1
22 2
A D AB acos A D AB
a aA D AB
⋅ −= = = −
⋅
＜ ， ＞
1 1A D BC⋅ =
1 1A D BD⋅ =
1
2 31 1 1
3 2 6C A ADV a a a−= = × ⋅ =设 t＝f（x）﹣lnx，则 f（x）＝lnx+t，
又由 f（t）＝e+1，即 lnt+t＝e+1，解得：t＝e，
则 f（x）＝lnx+e，f′（x）＝ ＞0，
故 g（x）＝lnx+e﹣ ，则 g′（x）＝ + ＞0，
故 g（x）在（0，+∞）递增，
而 g（1）＝e﹣1＞0，g（ ）＝﹣1＜0，
存在 x0∈（ ，1），使得 g（x0）＝0，
故函数 g（x）有且只有 1 个零点，故选：B．
13、【答案】30
【解析】设高一、高二、高三年级的学生人数分别为 ，因为 成等差数列，所以
，所以 ， ，所以应从高二年级抽取 30 人.
故答案为：30.
14、【答案】
【解析】第一分厂有男职工 4000 人，女职工 1600 人；第二分厂有男职工 3000 人，女职工 1400
人；第三分厂有男职工 800 人，女职工 500 人．
记事件 A 为该职工为女职工或为第三分厂职工，由概率公式得：
，
则该职工为女职工或为第三分厂职工的概率为 ，故答案为： ．
15、【答案】5
【解析】∵四面体 ， ， ， ，
，∴
，
∴ .故答案为：5。
1
x
1
x
1
x 2
1
x
1
e
1
e
, ,a b c , ,a b c
2b a c= + 1
3 3
b b
a b c b
= =+ +
1 90 303
× =
43
113
( ) 1600 1400 800 500 43
4000 1600 3000 1400 800 5
4300
00 11300 113P A
+ + += = =+ + + + +
43
113
43
113
P ABC− 60PAB BAC PAC∠ = ∠ = ∠ = ° 1AB = 2AC =
3AP = 1 2 cos60 1 2 3 cos60 3AB AC AC AP= × × ° = = × × ° =
， ，
31 3 cos60 2AB AP = × × ° =
( )2
1 4 9 2 6 3 5AB AP AC AB AP AC+ + = + + = + + + + + = 16、【答案】
【解析】设左焦点为 ，根据双曲线的定义可知 ，所以三角形
的周长为 ，当 三点共线时， 取得最小
值，三角形 的周长取得最小值. ，故三角形周长的最小值
为 .
17、【解析】 ，
（Ⅰ）依题意，
∴ 或
∴ 或
（Ⅱ）依题意， 即
∴ ∴ .
18、【解析】（Ⅰ）由表中数据，计算； ，
，
，
所以 与 之间的回归直线方程为 ；
（Ⅱ） 时， ，
预测该路段 月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数为 人．
19、【解析】（1）由频率分布直方图得 ，所以 ，
直径位于区间 的频数为 ，位于区间 的频数为
，位于区间 的频数为 ，位于区间 的频
3 5 13+
( )1 5,0F − 12PF a PF= + PAF
1 13PF PA AF PF PA+ + = + + 1APF 1PF PA+
PAF ( )2 2
1 1 5 3 3 5AF = + + =
3 5 13+
{ }| 2 10M x x= − < <
( ) ( ){ } { }|[ 1 [ 1 0 | 1 1N x x m x m x m x m = − − − + < = − < < +
{ }| 1 1RM C N x x m x m≠
⊂ = ≤ − ≥ +或
1 10m − ≥ 1 2m + ≤ −
3m ≤ − 11m ≥
R RC M C N≠
⊂ N M≠
⊂
1 2
1 10
m
m
− ≥ −
+ ≤ 1 9m− ≤ ≤
1 (1 2 3 4 5) 35x = × + + + + =
1 (120 105 100 90 85) 1005y = × + + + + =
1
22
1
1 120 2 105 3 100 4 90 85 5 5 3 10! 1415 1500 8.51 4 9 16 25 5 9 55 45
n
i i
i
n
i
i
x y nxy
b
x nx
=
=
− × + × + × + × + × − × × −= = = = −+ + + + − × −−
∑
∑
100 8.5 3 125.5a y bx= − = + × =
y x 8.5 125.5y x= − +
7x = 8.5 125.5 66y x= − + =
7 66
( ): 2 0.050 0.150 0.075 1a× + + + = 0.225a =
[ )110,112 200 2 0.050 20× × = [ )112,114
200 2 0.150 60× × = [ )114,116 200 2 0.225 90× × = [ ]116,118数为 ，∴生产一件 产品的平均利润为
（元）.
（2）由频率分布直方图得：直径位于区间 和 的频率之比为 ，∴应从直
径位于区间 的产品中抽取 件产品，记为 ，从直径位于区间 的产品中
抽取 件产品，记为 ，从中随机抽取两件，所有可能的取法有
共 种，∴两件产品
中至多有一件产品的直径位于区间 内的取法有 种.∴所求概率为 .
20、【解析】（1）连接 ，交 于点 ，连接 ，因为侧面 为菱形，所以
，且 为 及 的中点，又 ， ，所以 平面 ．由
于 平面 ，故 ．又 ，故 ．
（2）因为 ，且 为 的中点，所以 ．又因为 ，所以
，故 ，从而 两两相互垂直， 为坐标原点， 的方向为 轴
正方向， 为单位长，建立如图所示空间直角坐标系 ．
200 2 0.075 30× × = A
10 20 30 60 20 90 10 30 20.5200
× + × + × + × =
[ )112,114 [ )114,116 2 :3
[ )112,114 2 ,A B [ )114,116
3 , ,a b c
{ } { } { } { } { } { } { } { } { } { }, , , , , , , , , , , , , , , , , , ,A B A a A b A c B a B b B c a b a c b c 10
[ )114,116 7 7
10P =因为 ，所以 为等边三角形，又 ，则 ，
． ， ，设
是平面 的法向量，则 ，即 ，所以可取 ，
设 是平面 的法向量，则 ，同理可取 ， ，
所以二面角 的余弦值为．
21、【解析】
（Ⅰ）由题意得 解得 .
所以椭圆 的方程为 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，
设 ，则 .
当 时，直线 的方程为 .令 ，得 ，从而 .
直线 的方程为 .
令 ，得 ，从而 .
所以
.
当 时， ，
所以 .综上， 为定值.
22、【解析】（1）当 时， ．
所以
令 ，则 或 ，令 ，则 ，
所以 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 。
（2）存在 ，满足题设，
因为函数
所以
要使函数 在 上单调递增，
即 ， ，
令 ， ，
1a = 21( ) 2ln 3 ( 0)2f x x x x x= + − >
2( ) 3f x x x
′ = + − = 2 3 2 ( 2)( 1)x x x x
x x
− + − −=
( ) 0f x′ ≥ 0 1x< ≤ 2x ≥ ( ) 0f x′ < 1 2x< <
( )f x ( ]0,1 [ )2,+∞ ( )1,2
7
24a ≥
34( ) ( ) 9g x f x ax x= + + = 2 31 42 ln 22 9x a x x x+ − +
22 4( ) 2 3
ag x x xx
′ = + − +
( )g x 0, ∞（ + ） 22 4( ) 2 0, (0, )3
ag x x x xx
′ = + − ≥+ ∈ +∞
3 24 3 6 6 0x x x a+ − + ≥ (0, )x∈ +∞ ⇔ 3 24 3 6
6
x x xa
+ −≥ − (0, )x∈ +∞
3 24 3 6( ) 6
x x xh x
+ −= (0, )x∈ +∞则 ，
所以当 时， ， 在 上单调递减，
当 时， ， 在 上单调递增，
所以 是 的极小值点，也是最小值点，且 ，
∴ 在 上的最大值为 ．
所以存在 ，满足题设．
2( ) 2 1 (2 1)( 1)h x x x x x′ = + − = − +
10, 2x ∈ ( ) 0h x′ < ( )h x 10, 2
1 ,2x ∈ +∞ ( ) 0h x′ > ( )h x 1 ,2
+∞
1
2x = ( )h x 1 7
2 24h = −
3 24 3 6
6
x x x+ −− (0, )+∞ 7
24
7
24a ≥
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