2019～2020 学年度高二数学寒假检测 2
一、选择题（本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．）
1．曲线 在点 处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知 为函数 的极小值点，则 （ ）
A． 4 B． 2 C．4 D．2
3．函数 的单调递减区间为（ ）
A．(－1,1] B．(0,1] C． [1,+ ) D．(0,+ )
4．设函数 ，则（ ）
A． 为 的极大值点 B． 为 的极小值点
C． 为 的极大值点 D． 为 的极小值点
5．已知点 在曲线 上， 为曲线在点 处的切线的倾斜角，则 的取值范围是（ ）
A．[0, ) B． C． D．
6．已知函数 的图像是下列四个图像之一，且其导函数 的图像
如
右图所示，则该函数的图像是（ ）
7．若 ， ，且函数 在 处有极值，则 的最大值等于（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
8．设直线 与函数 ， 的图像分别交于点 ，则当 达到最小时
的值为（ ）
A．1 B． C． D．
9．（多选题）已知函数 ，则（ ）
A． 在 单调递增 B． 在 单调递减
C． 的图像关于直线 对称 D． 的图像关于点 对称
10．（多选题）设直线 ， 分别是函数 ，图象上点 ， 处的切线， 与
垂直相交于点 ，且 ， 分别与 轴相交于点 ， ，则 的面积可能是（ ）
1 0x y− − π − = 2 2 1 0x y− − π − =
2 2 1 0x y+ − π + = 1 0x y+ − π + =
xxy ln2
1 2 −=
∞ ∞
( ) xf x xe=
1x = ( )f x 1x = ( )f x
1x = − ( )f x 1x = − ( )f x
2sin cosy x x= + ( , 1)π −
a 3( ) 12f x x x= − a =
− −
P 4
1xy e
= +
α P α
4
π
[ , )4 2
π π 3( , ]2 4
π π 3[ , )4
π π
( )y f x= ( )y f x′=
0a > 0b > 3 2( ) 4 2 2f x x ax bx= − − + 1x = ab
x t= 2( )f x x= ( ) lng x x= ,M N MN t
1
2
5
2
2
2
( ) ln ln(2 )f x x x= + −
( )f x (0,1) ( )f x (1,2)
( )y f x= 1x = ( )y f x= (1,0)
1l 2l ln , 0 1( ) ln , 1
x xf x x x
− < 1P 2P 1l 2l
P 1l 2l y A B PAB∆A． B． C． D．
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 请将答案填写在答题卡相应的位置上．）
11．已知函数 为 的导函数，则 的值为____.
12．函数 在 =______处取得极小值．
13．在平面直角坐标系 中，若曲线 (a，b 为常数)过点 ，且该曲线在点 P 处的
切线与直线 平行，则 的值是 ．
14 ． 已 知 函 数 ， ( 其 中 ) ． 对 于 不 相 等 的 实 数 ， 设 ＝
， ＝ ．现有如下命题：①对于任意不相等的实数 ，都有 ；
②对于任意的 及任意不相等的实数 ，都有 ；③对于任意的 ，存在不相等的实数
，使得 ；④对于任意的 ，存在不相等的实数 ，使得 ．其中真命题
有___________(写出所有真命题的序号)．
三、解答题（本大题共 2 小题，共 30 分. 请将答案填写在答题卡相应的位置上．）
15．设函数
（I）求曲线 在点 处的切线方程；
（II）设 ，若函数 有三个不同零点，求 c 的取值范围．
16．已知函数 ．
（Ⅰ）求 的极小值和极大值；
（Ⅱ）当曲线 的切线 的斜率为负数时，求 在 轴上截距的取值范围．
xOy x
baxy += 2 )5,2( −P
0327 =++ yx ba +
( ) 3 2 .f x x ax bx c= + + +
( ).y f x= ( )( )0, 0f
4a b= = ( )f x
2( ) xf x x e−=
( )f x
( )y f x= l l x
1 2
2
2+ 3
4 1 ln3+
( ) (2 +1) , ( )xf x x e f x′= ( )f x (0)f ′
3 2( ) 3 1f x x x= − + x
( ) 2xf x = 2( )g x x ax= + a∈R 1 2,x x m
1 2
1 2
( ) ( )f x f x
x x
−
− n 1 2
1 2
( ) ( )g x g x
x x
−
− 1 2,x x 0m >
a 1 2,x x 0n > a
1 2,x x m n= a 1 2,x x m n= −参考答案与解析
1．选 C 由 ，得 ，所以 ，所
以 曲 线 在 点 处 的 切 线 方 程 为 ， 即
．
2．选 D 因为 ，令 ， ，当
时 ， 单 调 递 增 ； 当 时 ， 单 调 递 减 ； 当
时 ， 单调递增．所以 ．故选 D．
3．选 B∵ ,∴ ,由 ，解得 ，又 ，∴ 故
选 B．
4．选 D ， ， 恒成立，令 ，则 ，当
时， ，函数单调减，当 时， ，函数单调增，则 为
的极小值点，故选 D．
5．选 D 因为 ，即 tan ≥－1，所以 ．
6．选 B 由导函数图像可知函数的函数值在[ 1,1]上大于零，所以原函数递增，且导
函数值在[ 1,0]递增，即原函数在[ 1,1]上切线的斜率递增，导函数的函数值
在[0,1]递减，即原函数在[0,1]上切线的斜率递减，所以选 B．
7．选 D ，由 ，即 ，得 ．
由 ， ，所以 ，当且仅当 时取等号．选 D．
8．选 D 由题 不妨令 ，则 ，令
解得 ，因 时， ，当 时， ，
所以当 时， 达到最小．即 ．
9．选 ABC 由 ， 知， 在 上单调递增，A 正确；在
上单调递减，B 正确；又 ，所以 的图象关于
对称，C 正确； ，D 不正确
10．选 BC 设 （不妨设 ），则由导数的几何
意 义 易 得 切 线 的 斜 率 分 别 为 由 已 知 得
切线 的方程分别为 ，切线
的方程为 ，即 ．分别令 得
又 与 的 交 点 为 ． ∵
2cos siny x x′ = − π 2cos π sin π=-2xy =′ = −
(π, 1)− 1 2( π)y x+ = − −
2 2 1 0x y+ − π + =
( ) xf x xe= 0>xe 1−=x 1−x 1x = − ( )f x
2sin cosy x x= +
2sin cosy x x= +
2( ) 3 12 3( 2)( 2)f x x x x′ = − = + − ( ) 0f x′ = 2x = ± ( , 2)x ∈ −∞ −
( ) 0f x′ > ( )f x ( 2,2)x ∈ − ( ) 0f x′ < ( )f x
( 2, )x ∈ − +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x 2a =
21 ln2y x x= − 1y x x
′ = − 0y′ 1 1x− 0x > 0 1x<
( ) ( 1)xf x e x′ = + ( ) 0f x′ =
( ) 0f x′ < ( ) 0f x′ >
'
2
4 4 1( 1) 2
x
x x x
ey e e e
− −= = ≥ −+ + + α 3
4
π α π≤ ≤
−
− −
2( ) 12 2 2f x x ax b′ = − − (1) 0f ′ = 12 2 2 0a b− − = 6a b+ =
0a > 0b > 2( ) 92
a bab
+ =≤ 3a b= =
2| | lnMN x x= − ( 0)x > 2( ) lnh x x x= − 1'( ) 2h x x x
= −
'( ) 0h x = 2
2x = 2(0, )2x∈ '( ) 0h x < 2( , )2x∈ +∞ '( ) 0h x >
2
2x = | |MN 2
2t =
2(1 )( ) (2 )
xf x x x
−′ = − 0 2x< < ( )f x (0,1) (1,2)
(2 ) ln(2 ) ln ( )f x x x f x− = − + = ( )f x 1x =
(2 )+ ( ) 2[ln(2 ) ln ] 0f x f x x x− = − + ≠
( ) ( )1 1 1 2 2 2, ln , , lnP x x P x x− 1 21, 0 1x x> < <
1 2,l l 1 2
1 2
1 1, .k kx x
= = −
1 2 1 2 2
1
11, 1, .k k x x x x
= − ∴ = ∴ = ∴ 1l ( )1 1
1
1lny x x xx
− = −
2l ( )2 2
2
1lny x x xx
+ = − − 1 1
1
1lny x x x x
− = − −
0x =
( ) ( )1 10 , 1 ln , 0 ,1 ln .A x B x− + + 1l 2l
2
1 1
1 2
1 1
2 1( ,ln )1 1
x xP xx x
−++ +， ∴ ， ∴ ， 故 选
BC．
11．3 ．
12．2 由题意 ，令 得 或 ．因 或
时， ， 时， ．∴ 时 取得极小值．
13．－3 由题意可得 ①又 ，过点 的切线的斜率
②，由①②解得 ，所以 ．
14 ． ①④ 因 为 在 上 是 单 调 递 增 的 ， 所 以 对 于 不 相 等 的 实 数 ，
恒成立，①正确；
因为 ，所以 = ，正负不定，②错误；
由 ， 整 理 得 ． 令 函 数
， 则 ， 令 ， 则
，又 ，
，从而存在 ，使得 ，于是
有 极 小 值 ， 所 以 存 在
，使得 ，此时 在 上单调递增，故不存在不相
等的实数 ，使得 ，不满足题意，③错误；
由 得 ， 即 ， 设 ， 则
， 所 以 在 上 单 调 递 增 的 ， 且 当 时 ，
，当 时， ，所以对于任意的 ， 与 的
图象一定有交点，④正确．
15．（本题满分 15 分）（I）由 ，得 ．┄┄┄┄2
分
因为 ， ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ．┄┄┄┄5 分
（II）当 时， ，所以 ．
令 ，得 ，解得 或 ．┄┄┄┄8 分
与 在区间 上的情况如下：
)5,2( −P
1 1x >
2
1 1
2 2
1 1
2 11 | | | | 12 1 1PAB A B P
x xS y y x x x∆
+= − ⋅ = < =+ + 0 1PABS∆< <
( ) (2 +3) , (0) 3xf x x e f′ ′= ∴ =
2( ) 3 6 3 ( 2)f x x x x x′ = − = − ( ) 0f x′ = 0x = 2x = 0x < 2x >
( ) 0f x′ > 0 2x< < ( ) 0f x′ < 2x = ( )f x
5 4 2
ba− = + 2( ) 2 bf x ax x
′ = −
74 4 2
ba − = − 1, 2a b= − = − 3a b+ = −
( ) 2xf x = R 1 2,x x
1 2
1 2
2 2 0
x x
m x x
−= >−
2( )g x x ax= +
2 2
1 1 2 2
1 2
( )x ax x axn x x
+ − += − 1 2x x a+ +
m n= 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x− = −
2( ) ( ) ( ) 2xp x f x g x x ax= − = − − ( ) 2 ln 2 2xp x x a′ = − − ( ) ( )t x p x′=
2( ) 2 (ln 2) 2xt x′ = − 2(1) 2(ln 2) 2 0t′ = − <
2(3) 8(ln 2) 2 0t′ = − > 0 (1,3)x ∈ 0 2
0( ) 2 (ln 2) 2 0xt x′ = − = ( )p x′
0
0 0 2 2
2 2( ) 2 ln 2 2 2logln 2 (ln 2)
xp x x a a′ = − − = − −
2 2
22log (ln 2)a = − 2( ) 0ln 2p x′ = > ( )p x R
1 2,x x 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x− = −
m n= − ( ) ( )f x g x′ ′= − 2 ln 2 2xa x− = + ( ) 2 ln 2 2xh x x= +
2( ) 2 (ln 2) 2 0xh x′ = + > ( )h x R x → +∞
( )h x → +∞ x → −∞ ( )h x → −∞ a y a= − ( )y h x=
( ) 3 2f x x ax bx c= + + + ( ) 23 2f x x ax b′ = + +
( )0f c= ( )0f b′ =
( )y f x= ( )( )0, 0f y bx c= +
4a b= = ( ) 3 24 4f x x x x c= + + + ( ) 23 8 4f x x x′ = + +
( ) 0f x′ = 23 8 4 0x x+ + = 2x = − 2
3x = −
( )f x ( )f x′ ( ),−∞ +∞
x ( ), 2−∞ − 2− 22, 3
− −
2
3
− 2 ,3
− +∞
( )f x′ + 0 − 0 +┄┄┄┄10 分
所以，当 且 时，存在 ， ， ，
使得 ．┄┄┄┄13 分
由 的单调性知，当且仅当 时，函数 有三个
不同零点．
┄┄┄┄15 分
16．（本题满分 15 分）
（Ⅰ） 的定义域为 ， ① ┄┄┄┄2 分
当 或 时， ；当 时，
所以 在 ， 单调递减，在 单调递增．┄┄┄┄4 分
故当 时， 取得极小值，极小值为 ；
当 时， 取得极大值，极大值为 ． ┄┄┄┄6 分
（Ⅱ）设切点为 ，则 的方程为
所以 在 轴上的截距为 ┄┄┄┄10 分
由已知和①得 ．
令 ， 则 当 时 ， 的 取 值 范 围 为 ； 当
时， 的取值范围是 ． ┄┄┄┄13 分
所以当 时， 的取值范围是 ．
综上， 在 轴上截距的取值范围 ． ┄┄┄┄15 分x
( )f x c
32
27c −
0c > 32 027c − < ( )1 4, 2x ∈ − − 2
22, 3x ∈ − − 3
2 ,03x ∈ −
( ) ( ) ( )1 2 3 0f x f x f x= = =
( )f x 320, 27c ∈
( ) 3 24 4f x x x x c= + + +
( )f x ( ),−∞ +∞ ( ) ( )2xf x e x x−′ = − −
( ),0x∈ −∞ ( )2,x∈ +∞ ( ) 0f x′ < ( )0,2x∈ ( ) 0f x′ >
( )f x ( ),0−∞ ( )2,+∞ ( )0,2
0x = ( )f x ( )0 0f =
2x = ( )f x ( ) 22 4f e−=
( )( ),t f t l ( )( ) ( )y f t x t f t′= − +
l x ( ) ( )
( )
22 32 2
f t tm t t t tf t t t
= − = + = − + +′ − −
( ) ( ),0 2,t ∈ −∞ +∞
( ) ( )2 0h x x xx
= + ≠ ( )0,x∈ +∞ ( )h x [2 2, )+∞
( ), 2x∈ −∞ − ( )h x ( ), 3−∞ −
( ) ( ),0 2,t ∈ −∞ +∞ ( )m t ( ),0 [2 2 3, )−∞ + +∞
l ( ),0 [2 2 3, )−∞ + +∞
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