理数试题
本试题卷分客观题和主观题两部分，共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟。
考生注意：
1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号、考试类别用黑色字迹的签字笔或钢笔分
别填写在试题卷和答题卡规定的位置上。
2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题卡相应的位置上规范作答，
在本试题卷上的作答一律无效。
客观题部分
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。每小题列出的四个备选项中只有一
个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）
1．已知集合 ， ，则 为( )
A. B. C. D.
2.设 i 是虚数单位，复数1＋ai
2－i
为纯虚数，则实数 a 为 ( ) ( )
A．－1
2 B．－2 C.1
2 D．2
3．已知随机变量 服从正态分布 ， ，则 （ ）
A． B． C． D，
4．从 5 名男医生、4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都
有，则不同的组队方案共有（ ）
A.70 种 B.80 种 C.100 种 D.140 种
5、已知向量 ，若 ，则实数 的值是（ ）
A．-4 B．4 C. -1 D．1
6．已知函数 f（x）=log2（x+a）+log2（x﹣a）（a∈R）．命题 p：∃a∈R，
函数 f（x）是偶函数；命题 q：∀a∈R，函数 f（x）在定义域内是增函
数．那么下列命题为真命题的是（ ）
A．¬q B．p∧q C．（¬p）∧q D．
p∧（¬q）
7、下列命题中不正确的个数是( )
①若直线 上有无数个点不在平面 内，则 ；
②和两条异面直线都相交的两条直线异面；
③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平
面平行；
④一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面．
A．0 B．1 C．2 D．3
{ }2 , 0xM y y x= = > M N{ })3lg( 2xxyxN −==
( )3,1 ( )+∞,1 [ )+∞,3 [ )+∞,1
ξ 2(2 )N σ， ( 4) 0.84P ξ =≤ ( 0)P ξ =≤
0.16 0.32 0.68 0.84
)6,3(),2,( −== bma baba −=+ m
l α α//l8. 某程序框图如右图所示，该程序运行后输出的
值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．某锥体的三视图下图所示，该锥体的体积为( )．
A．16 B．8 C．48 D．24
10、若双曲线 的一条渐近线经过点（3，- ），则此双曲线的离心率为( )
A B C D
11.将函数 y=sin(2x+ )的图象向左平移 个单位，再向上平移 2 个单位，则所得图象的函
数解析式是( )
A．y=2cos2(x+ ) B．y=2sin2(x+ ) C．y=2-sin(2x- ) D．y=cos2x
12. 设 f(x)、g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，当 x＜0 时，f′(x)·g(x)＋
f(x)·g′(x)＞0，且 f(－3)·g(－3)＝0，则不等式 f(x)·g(x)＜0 的解集是( )
A．(－3,0)∪(3，＋∞) B．(－3,0)∪ (0,3)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(0,3)
二、填空题：（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）
13.在 的展开式中 x5 的系数是 ．
14．若在区域 内任取一点 P，则点 P 落在单位圆 内的概率
为 .
15、下面四个命题：其中所有正确命题的序号是
2 2
2 2 1x y
a b
− = 7
5
3
5
4
4
3
7
3
4
π
4
π
8
π
8
π
4
π
72 )2)(1( −+ xx
3 4 0
0
0
x y
x
y
+ − ≤
≥
≥
，
， 2 2 1x y+ =①函数 的最小正周期为 ；
②在△ 中，若 ，则△ 一定是钝角三角形；
③函数 的图象必经过点（3，2）；
④若命题“ ”是假命题，则实数 的取值范围为 ；
⑤ 的图象向左平移 个单位，所得图象关于 轴对称.
16、已知四面体 P- ABC 的外接球的球心 O 在 AB 上，且 平面 ABC， ，
若四面体 P - ABC 的体积为 ，则该球的表面积为_________．
主观题部分
三、简答题：（17 题至 21 题，每题 12 分；22 题 10 分）
17、已知数列 的前 项和 ，数列 为等比数列，且满足 ，
.
（1）求数列 ， 的通项公式.
（2）求数列 的前 项和.
18. 如图，四棱锥 中， ， ， ， ，
．
Ⅰ 求证：平面 平面 ABCD；
Ⅱ 求直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值．
}{ na n )( *2 NnnSn ∈= }{ nb 11 ab =
432 bb =
}{ na }{ nb
}{ nnba n
sin | |y x= π
ABC 0>⋅ BCAB ABC
2 log ( 2)( 0 1)ay x a a= + − > ≠且
2, 0x R x x a∃ ∈ + + < a 1[ , )4
+∞
cos siny x x= −
4
π
y
PO ⊥ 2 3AC AB=
3
219. 今年五一黄金周，记者通过随机询问某景区 110 名游客对景区的服务是否满意，得到如
下的列联表：
性别与对景区的服务是否满意 单位：名
男 女 总计
满意 50 30 80
不满意 10 20 30
总计 60 50 110
（1）从这 50 名女游客中按对景区的服务是否满意采取分层抽样，抽取一个容量为 5 的样本，
问样本中满意与不满意的女游客各有多少名？
（2）从（1）中的 5 名女游客样本中随机选取两名作深度访谈，求选到满意与不满意的女游
客各一名的概率.
（3）根据以上列联表，问有多大把握认为“游客性别与对景区的服务满意”有关?
注：
临界值表：
P( ) 0.05 0.025 0.010 0.005
3.841 5.024 6.635 7.879
20. 已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，长轴长是短轴长的 2 倍且经过点 M（2，1）,
平行于 OM 的直线 在 y 轴上的截距为 m（m≠0）， 交椭圆于 A、B 两个不同点.
（1）求椭圆的方程.
（2）求 m 的取值范围.
（3）求证直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形.
21、已知 在区间 上是增函数．
（1） 求实数 的值组成的集合 .
（2） 设关于 的方程 的两个非零实根为 ．试问：是否存在实数 ，
使得不等式 对任意 及 恒成立？若存在，求 的取
值范围；若不存在，请说明理由．
22．(10 分)一个口袋中有 5 个同样大小的球，编号为 3,4,5,6,7，从中同时取出 3 个小球，以
ξ 表示取出的球的最小号码，求 ξ 的分布列，均值，方差．
理数答案
( )
( )( )( )( )
2
2 n ad bck a b c d a c b d
−= + + + +
0
2 kk ≥
0K
l l
2 32( ) 4 ( )3f x x ax x x= + − ∈R [ 1, 1]−
a A
x 3
3
12)( xxxf += 1 2,x x m
21
2 1 xxtmm −≥++ Aa ∈ [ 1, 1]t ∈ − m1---5,ADAAB 6---10CDBBC 11---12CD
13. 644 14.
15. ②③④
16. 12π
17. （1） ------- 6 分
（2） ------------- 12 分
18.证明： Ⅰ ， ， ，
， ， ， ，
， ， ， ，
， ， 平面 PAD，
平面 ABCD， 平面 平面 ABCD． ------- 5 分
解： Ⅱ 取 AD 中点 O，连结 PO，则 ，且 ，
由平面 平面 ABCD，知 平面 ABCD，
以 O 为坐标原点，以过点 O 且平行于 BC 的直线为 x 轴，过点 O 且平行于 AB 的直线为 y
轴，
直线 PO 为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， -------- 7 分
则 ， ， ， 0， ，
0， ， ， ----- 8 分
设平面 PBC 的法向量 y， ，
则 ，取 ，得 ，
，
32
3π
12,12 −=−= n
nn bna
n
n nT 2)32(3 −+=， ----- 11 分
直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值为 ． -------- 12 分
19.解：（1）根据分层抽样可得：样本中满意的女游客为 名，样本中不满意的
女游客为 名。 ------------ 2 分
（2）所求概率 。 --------- 7 分
（3）假设 ：该景区游客性别与对景区的服务满意无关，则 应该很小。
根据题目中列联表得：
由 可知：有 99％的把握认为：该景区游客性别与对景区的服务满意
有关。 --------- 12 分
20. 解：（1）设椭圆方程为
则 ∴椭圆方程为
------4 分
（2）∵直线 l 平行于 OM，且在 y 轴上的截距为 m ； 又 KOM=
------ 5 分
由
∵直线 l 与椭圆交于 A、B 两个不同点，
------- 8 分
（3）设直线 MA、MB 的斜率分别为 k1，k2，只需证明 k1+k2=0 即可
33050
5 =×
22050
5 =×
5
3)( =AP
0H 2k
486.772
539
50603080
)10302050(110 2
2 ≈=×××
×−××=k
010.0)635.6( 2 =≥kP
)0(12
2
2
2
>>=+ bab
y
a
x
=
=
=+
=
2
8
114
2
2
2
22 b
a
ba
ba
解得 128
22
=+ yx
2
1
mxyl +=∴
2
1的方程为：
0422
128
2
1
22
22
=−++∴
=+
+=
mmxx
yx
mxy
0,22
,0)42(4)2( 22
≠
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