数学试题(理科)
（满分 150 分，考试时间 120 分钟）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效.
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题列出的四个选项中，只有一
项是最符合题目要求的．
1.设集合 ， ，则 （ ）
（A） （B） （C） （D）
2.已知 是虚数单位，复数 ，则复数 的虚部为（ ）
（A） （B） （C） （D）
3.已知向量 ， ， ，若 ，则 的值
为（ ）
（A） （B） （C） （D）
4.已知 ，则 的值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
5.函数 的图象大致为( )
6.用数字 可以组成没有重复数字的四位偶数的个数是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
7.若正整数 除以正整数 后的余数为 ，则记为 ，例如 ．如
图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的
《中国剩余定理》．执行该程序框图，则输出的 等于（ ）
（A） （B）
（C） （D）
{ }2| + 2 0A x x x= − < { }3| log 0B x x= < A B =
( 2,1)− (0,1) ( ,1)−∞ ( 1,1)−
i
2
1 2
iz i
= + z
2
5 i 2
5
1
5 i− 1
5
−
( )2,1a =r ( )2,sin 1b α= − ( )2,cosc α= − ( )a b c+ ∥ tanα
2 1
2
1
2
− 2−
6sin( )4 6
π α− = sin 2α
1
3
2
3
3
3 3
5
( ) ( )3 2ln 1f x x x x= + + −
0,1,2,3
24 12
10 6
N m n ( )modN n m= ( )10 2 mod 4=
n
20 21
22 23F
E
D
C
B
A
8.某公司租地建仓库，每月土地占用费 与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运
费 与到车站的距离成正比，如果在距离车站 处建仓库，这两项费用 和 分别为 2
万元和 8 万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在距离车站（ ） 处.
（A） （B） （C） （D）
9.若直线 与圆 相交于 两点，且 的面积为 ，则
( )
（A） （B） （C） （D）
10.已知 ， ， ，则 的大小关系为（ ）
（A） （B） （C） （D）
11.已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点 在椭圆上，
为坐标原点，若 ，且 ，则该椭圆的离心率为（ ）
（A） （B） （C）
（D）
12. 如图，正四棱锥 与 的顶点 恰为正方体上、下底面的中心，点
分别在正方体四个侧面上，若正方体棱长为 2，现有以下结论：
①正四棱锥 与 全等；
②当 分别为四个侧面的中心时，异面直线
与 所成角为 ；
③当 分别为四个侧面的中心时，
正四棱锥 的内切球半径为 ；
④八面体 的体积的取值范围为 .
则正确的结论的个数为（ ）
（A） （B） （C） （D）
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分．
1y
2y 10km 1y 2y
km
4 5 6 7
1y kx= − 2 2: 2 2 0C x y x y+ − − = ,A B ABC△ 1
k =
3
4 1− 1
2
− 3
2
5log 2a = 0.5log 0.2b = 0.20.5c = , ,a b c
a c b< < a b c< < b c a< < c a b< <
( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = > > ( ) ( )1 22,0 , 2,0F F− P
O 2OP = 2
1 2PF PF a⋅ =
3
4
3
2
1
2
2
2
E ABCD− F ABCD− ,E F
, , ,A B C D
E ABCD− F ABCD−
, , ,A B C D
AE DF 60°
, , ,A B C D
E ABCD− 3 1
2
−
EABCDF 4 8,3 3
1 2 3 413.已知实数 满足 ，则 的最大值为________．
14. 的展开式中的常数项的值是__________．（用数字作答）
15.在 中， ， ， ，则 __________．
16. 已 知 函 数 在 有 零 点 ， 则 实 数 的 取 值 范 围 是
________．
三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第 17-21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分.
17. （本小题满分 12 分）
已知等比数列 为递减数列，且 ， ．
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）设 ，求数列 的前 项和 ，并求 的最大值．
18. （本小题满分 12 分）
某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间进行分析研究，他们分别
记录了 12 月 1 日至 12 月 5 日的每天昼夜温差与实验室每天每 100 棵种子中的发芽数，得到
如下资料：
日期 12 月 1 日 12 月 2 日 12 月 3 日 12 月 4 日 12 月 5 日
温差 摄氏
度 10 11 13 12 8
发芽 颗 23 25 30 26 16
该农科所确定的研究方案是：先从这 5 组数据中选取 3 组数据求线性回归方程，再用剩下的 2
组数据进行检验．
（Ⅰ）若选取的 3 组数据中含有来自连续几天的数据，则将最大连续天数记为 ( 表示数
据来自不连续的三天)，求 的分布列及期望；
（Ⅱ）根据 12 月 2 日至 4 日数据，求出发芽数 关于温差 的线性回归方程 ．由
,x y
2 2 0
2 2 0
x y
x y
y x
+ − ≥
− − ≤
≤
z x y= +
5
3
12 x
x
−
ABC△ 2a = 3b = 4c = sin 2
sin
A
C
=
( ) 1
1
xf x e ax
= + −+ ( )1,− +∞ a
{ }na 2
4 732a a= ( )2 12 5n n na a a+ ++ =
{ }na
23logn nb a= { }nb n nS nS
/x
/y
ξ =1ξ
ξ
y x ˆy bx a= +所求得线性回归方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差均不超过 2 颗，则认为得到的
线性回归方程是可靠的，试问所得的线性回归方程是否可靠？
附：参考公式： ， ．
19．（本小题满分 12 分）
如图，四棱锥 的底面 为直角梯形， ，且
为等边三角形，平面 平面 ；点 分别为 的
中点．
（Ⅰ）证明： 平面 ；
（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值．
20.（本小题满分 12 分）
抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 与抛物线交于 两点（ 不为抛物
线的顶点），过 分别作抛物线的切线 与 轴的交于 ， 交点为 .
（Ⅰ）求证：当 变化时，经过 三点的圆过定点；
（Ⅱ）求线段 长度的最小值.
21.(本小题满分 12 分)
已知函数 .
（Ⅰ）若 时， ，求 的取值范围；
（Ⅱ）证明： .
1
2
1
( )( )
ˆ
( )
n
i i
i
n
i
i
x x y y
b
x x
=
=
− −
=
−
∑
∑
xbya ˆˆ −=
P ABCD− ABCD //BC AD 2 2 2,AD AB BC= = =
90 ,BAD PAD∠ = ° ∆ ABCD ⊥ PAD ,E M ,PD PC
//CE PAB
DM ABM
2 8x y= F (1,2)P l ,M N ,M N
,M N 1 2,l l x ,B C 1 2,l l A
l , ,A B C
FA
(1 )( ) ln(1 ) 1
x xf x x x
λ+= + − +
0x ≥ ( ) 0f x ≤ λ
1 1 1 1 1 1 1ln 21 2 2 1 2 2 4n n n n n n n
+ + + < < + + + ++ + + + ( )n N+∈（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一
题计分.
22. [选修 4－4：坐标系与参数方程]（10 分）
在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），已知点 ，
点 是曲线 上任意一点，点 为 的中点，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建
立极坐标系.
（Ⅰ）求点 的轨迹 的极坐标方程；
（Ⅱ）已知直线 ： 与曲线 交于 两点，若 ，求 的值.
23. [选修 4－5：不等式选讲]（10 分）
已知 .若函数 的最小值为 .
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）证明: .
xOy 1C 2cos ,
2sin ,
x
y
θ
θ
=
=
θ (4,0)Q
P 1C M PQ x
M 2C
l y kx=
2C ,A B 3OA AB = k
0, 0, 0a b c> > > ( )f x x a x b c= + + − + 2
a b c+ +
1 1 1 9
4a b b c c a
+ + ≥+ + +数学理科答案
1.设集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
解不等式 得 ，即 ；
由 得 ，即 ；所以 .
故选 A
2.已知 是虚数单位，复数 ，则复数 的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
∵ ，
∴复数 的虚部为 ．
故选 B．
3.已知向量 ， ， ，若，则 的值为（ D ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
， ，
4.已知 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
{ }2| + 2 0A x x x= − < { }3| log 0B x x= < A B =
( 2,1)− (0,1) ( ,1)−∞ ( 1,1)−
2 + 2 0x x − < 2 1x− < < ( )2,1A = −
2 0log x < 0 1x< < ( )B 0,1= ( )A B 2,1∪ = −
i
2
1 2
iz i
= + z
2
5 i 2
5
1
5 i− 1
5
−
1 (1 2 ) 1 2
1 2 (1 2 )(1 2 ) 5 5
iz ii i i
− − −= = = − ++ + −
z 2
5
( )2,1a =r ( )2,sin 1b α= − ( )2,cosc α= − tanα
2 1
2
1
2
− 2−
(4 sin )a b α+ = ， ( )a b c+ ∥
4 sin= tan 22 cos
α αα∴ ⇒ = −−
6sin( )4 6
π α− = sin 2α
1
3
2
3
3
3 3
5【答案】B
【解析】
因为 ，故选 B.
5.函数 的图象大致为( )
【答案】C
【解析】因为 的定义域为 ，且 , ，
所 以 为 奇 函 数 ， 图 象 关 于 原 点 对 称 ， 排 除 B ， D ， 因 为
，所以排除 A.
6.用数字 可以组成没有重复数字的四位偶数的个数是 C
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分类：①个位排 ，前三位有 种排法；②个位排 ，前三位有 种排
法．共有 种排法．
7.若正整数 除以正整数 后的余数为 ，则记为 ，例如 ．如
图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．执行该程序框图，则输出的
等于( )．
2 2sin 2 cos 2 1 2sin2 4 3
π πα α α = − = − − =
( ) ( )3 2ln 1f x x x x= + + −
( )f x R ( ) ( )3 2ln 1f x x x x− = − + + + ( ) ( ) 0f x f x+ − =
( )f x
( ) ( )1 1 ln 2 1 ln 0
2 1
ef = + − = >
+
0,1,2,3
24 12 10 6
0 3
3 6A = 2 2
22 4A =
10
N m n ( )modN n m= ( )10 2 mod 4=
nA. B. C. D.
【答案】C
【解析】由已知中的程序框图得：该程序的功能是利用循环结构计算出并输出同时满足条件：
①被 3 除余 1，②被 5 除余 2，最小为两位数，所输出的 ，故选 C.
8. 某公司租地建仓库，每月土地占用费 与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运
费 与到车站的距离成正比，如果在距离车站 处建仓库，这两项费用 和 分别为 2
万元和 8 万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在距离车站（ B ） 处.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设仓库建在距离车站 km 处， 两项费用之和为 ，则
，当 时取最小值．
9.若直线 与圆 相交于 两点，且 的面积为 ，则
( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
20 21 22 23
22n =
1y
2y 10km 1y 2y
km
4 5 6 7
x ( )f x
( ) 20 4 20 42 85 5f x x xx x
= + ≥ ⋅ = 5x =
1y kx= − 2 2: 2 2 0C x y x y+ − − = ,A B ABC△ 1
k =
3
4 1− 1
2
− 3
2F
E
D
C
B
A
圆 : ， ∵ 的 面 积 为 ， ∴ ∴ 圆 心 到 直 线
的距离为 ，则 ，解 ．
10.已知 ， ， ，则 的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
， ， ，故
，
所以 ．
11.已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点 在椭圆上，
为坐标原点，若 ，且 ，则该椭圆的离心率为 （ D ）
A. B. C.
D.
【答案】D
【解析】 ， ，
， ,
12. 如图，正四棱锥 与 的顶点 恰为正方体上、下底面的中心，点
分别在正方体四个侧面上，若正方体棱长为 2，现有以下结
论：
①正四棱锥 与 全等；
②当 分别为四个侧面的中心时，异面直线
与 所成角为 ；
③当 分别为四个侧面的中心时，正四棱锥
C ( ) ( )2 21 1 2x y− + − = ABC△ 1 AC BC⊥ C
1 0kx y− − = 1 2
2 1
1
k
k
− =
+
3
4k =
5log 2a = 0.5log 0.2b = 0.20.5c = , ,a b c
a c b< < a b c< < b c a< < c a b< <
5 5
1log 2 log 5 2a = < < 0.5 0.5log 0.2 log 0.25 2b = > = 1 0.2 00.5 0.5 0.5< <
1 12 c< <
a c b< <
( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = > > ( ) ( )1 22,0 , 2,0F F− P
O 2OP = 2
1 2PF PF a⋅ =
3
4
3
2
1
2
2
2
1 2PF PF⊥ 2 2 2
1 2 4 16PF PF c+ = =
2 2 2
1 2( ) (2 ) 4PF PF a a+ = = 2 216 2 4 2 2a a a+ = ⇒ = 2
2
ce a
= =
E ABCD− F ABCD− ,E F
, , ,A B C D
E ABCD− F ABCD−
, , ,A B C D
AE DF 60°
, , ,A B C D的内切球半径为 ；
④八面体 的体积的取值范围为 .
则正确的结论的个数为 C
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】正确结论②③④
① 可以上下移动，正四棱锥 与 不一定全等，故①不正确；
② 为等边三角形，则 ，又有 ，异面直线 与 所成角为
，故②正确；
③正四棱锥 的内切球半径 即
底边长 高为 的等腰三角形的内切圆半径，考虑等腰三角形的面积
，故③正确；
④当 位于正方体各个面的中心时取最小值 ，当 位于正方体四条竖直方
向的棱的中点时取最大值 ，故④正确.
13.已知实数 满足 ，则 的最大值为________．
【答案】4
【解析】
不等式组对应的可行域如图所示，
E ABCD− 3 1
2
−
EABCDF 4 8,3 3
1 2 3 4
, , ,A B C D E ABCD− F ABCD−
DCF△ 60DFC∠ = ° / /AE FC AE DF
60°
E ABCD− r
2 1
62 21 3 122 12 2 2S r r
+ × −= × × = ⋅ ⇒ =
, , ,A B C D 4
3
, , ,A B C D
8
3
,x y
2 2 0
2 2 0
x y
x y
y x
+ − ≥
− − ≤
≤
z x y= +当直线 经过点 时，直线的纵截距最大， 最大.
联立 得 ,所以 .
14. 的展开式中的常数项的值是__________．（用数字作答）
【答案】
【解析】
因为 ，
令 得 ，即常数项为
15.在 中， ， ， ，则 ．
【答案】
【解析】
16. 已 知 函 数 在 有 零 点 ， 则 实 数 的 取 值 范 围 是 ____
____．
【答案】
【解析】
y x z= − + A z
2 2 0
y x
x y
=
− − =
( )2,2A max 2 2 4z = + =
5
3
12 x
x
−
40−
15 5
5 5 6
1 5 53
1(2 ) ( ) (2) ( 1)
r
r r r r r r
rT C x C x
x
−
− −
+ = − = −
15 5
06
r−
= 3r = 2
5
3 3( 1) 402C − = −
ABC△ 2a = 3b = 4c = sin 2
sin
A
C
=
8
7
7
8
2 2 2sin 2 sin2 cos 7
8sin sin
A A a b c aAC C c bc
+ −= ⋅ = ⋅ =
( ) 1
1
xf x e ax
= + −+ ( )1,− +∞ a
[ )2,+∞
[ )2,+∞
( ) 2
1' ( 1)
xf x e x
= − +- 0 +
极小值
当 时， 有一个零点 ．
当 时, , ，则在 存在一个零点．
，则在 存在一个零点．
（17）（本小题 12 分）
已知等比数列 为递减数列，且 ， ．
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）设 ，求数列 的前 项和 ，并求 的最大值．
【解析】（Ⅰ）对于数列 ，由题得 （ ， ）…………
2 分
解得 或 ，…………4 分
又 为递减数列，则 ， ，…………6 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ，
当 时， ，
故 是首项为 ，公差为 的单调递减等差数列. …………10 分
又 ，所以数列 的前 项为正数，
x ( - 1, 0) 0 (0, )+∞
( )'f x
( )f x
2a = ( )f x 0x =
2a >
111( 1 ) 0af ea
− +− + = > (0) 2 0f a= − < 11 ,0)a
− +（
1(ln ) 01 lnf a a
= >+ 0,ln )a（
{ }na 2
4 732a a= ( )2 12 5n n na a a+ ++ =
{ }na
23logn nb a= { }nb n nS nS
{ }na ( )
2
1 1
6 6
2
32
2 5n n n
a q a q
a a q a q
= + =
1 0a q ≠ *n N∈
1 32
1
2
a
q
= =
1 32
2
a
q
=
=
{ }na
1 32
1
2
a
q
= =
∴
61
2
n
na
− =
18 3nb n= −
2≥n 1 3n nb b −− = −
{ }nb 1 15b = 3−
6 0b = { }nb 5所以当 或 时， 取得最大值，且最大值为 ．…………12 分
18. （本小题满分 12 分）某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间
进行分析研究，他们分别记录了 12 月 1 日至 12 月 5 日的每天昼夜温差与实验室每天每 100
棵种子中的发芽数，得到如下资料：
日期 12 月 1 日 12 月 2 日 12 月 3 日 12 月 4 日 12 月 5 日
温差 摄氏
度
10 11 13 12 8
发芽 颗 23 25 30 26 16
该农科所确定的研究方案是：先从这 5 组数据中选取 3 组数据求线性回归方程，再用剩下的 2
组数据进行检验．
（Ⅰ）若选取的 3 组数据中含有来自连续几天的数据，则将最大连续天数记为 ( 表示数
据来自不连续的三天)，求 的分布列及期望；
（Ⅱ）根据 12 月 2 日至 4 日数据，求出发芽数 关于温差 的线性回归方程 ．由
所求得线性回归方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差均不超过 2 颗，则认为得到的
线性回归方程是可靠的，试问所得的线性回归方程是否可靠？
附：参考公式： ， ．
解：（Ⅰ）由题意知， ；
则 , , …………4 分
∴ 的分布列为：
1 2 3
5n = 6 nS 5 6 45S S= =
/x
/y
ξ =1ξ
ξ
y x y bx a= +
1
2
1
( )( )
ˆ
( )
n
i i
i
n
i
i
x x y y
b
x x
=
=
− −
=
−
∑
∑
xbya ˆˆ −=
1,2,3ξ =
( ) 3
5
1 11 10P C
ξ = = = ( ) 3
5
6 32 5P C
ξ = = = ( ) 3
5
3 33 10P C
ξ = = =
ξ
ξ数学期望为 ； …………6 分
（Ⅱ）由题意，计算 ， ，
，
所以 ，
∴ 关于 的线性回归方程为 ； …………10 分
当 时， ，且 ，
当 时， ，且 ．
∴所求得线性回归方程是可靠的．…………12 分
19．（本小题满分 12 分）
如图，四棱锥 的底面 为直角梯形， ，且
为等边三角形，平面 平面 ；点 分别为 的
中点．
（Ⅰ）证明： 平面 ；
（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值．
【详解】（Ⅰ）设 的中点为 ，连接 ，
为 的中点，所以 为 的中位线，
则可得 ，且
； ………..2 分
在梯形 中， ，且 ，
，
P 1
10
3
5
3
10
11
5Eξ =
11 13 12 123x
+ += = 25 30 26 273y
+ += =
3
1
( )( ) 5i i
i
x x y y
=
− − =∑ 3
2
1
( ) 2i
i
x x
=
− =∑
3
1
3
2
1
( )( ) 5ˆ
2( )
i i
i
i
i
x x y y
b
x x
=
=
− −
= =
−
∑
∑
5ˆˆ 27 12 32a y bx= − = − × = −
y x 5 32y x= −
10x = 22y = 22 23 2− <
8x = 17y = 17 16 2− <
P ABCD− ABCD //BC AD 2 2 2,AD AB BC= = =
90 ,BAD PAD∠ = ° ∆ ABCD ⊥ PAD ,E M ,PD PC
//CE PAB
DM ABM
PA N ,EN BN
E PD EN PAD△
//EN AD
1
2EN AD=
ABCD //BC AD 1
2BC AD=
// ,BC EN BC EN∴ =所以四边形 是平行四边
形， ………..4 分
，又 平面 ， 平面 ，
平面
． ………..6
分
法二：设 为 的中点，连接 ，
为 的中点，
所以 是 的中位线，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
平面
， ………..2
分
又在梯形 中， ，且 ，
所以四边形 是平行四边形，
，
又 平面 ， 平面 ，
平面
， ………..4 分
又 ，
所以平面 平面 ，
又 平面 ，
平面
． ………..6 分
ENBC
//CE BN∴ BN ⊂ PAB CE ⊄ PAB
//CE∴
PAB
O AD ,CO OE
E PD
OE ADP△ //OE AP
OE ⊄ PAB AP ⊂ PAB
//OE∴
PAB
ABCD //BC AD 1
2BC AD=
BAOC
//BC BA∴
OC ⊄ PAB AB Ì PAB
//OC∴
PAB
OE OC O∩ =
//OEC PAB
CE ⊂ PAB
//CE∴
PAB（Ⅱ）设 的中点为 ，又 ．
因 平面 平面 ，交线为 ， 平面 ，
平面 ，
又由 ， ，
．
即有 两两垂直，如图，以点 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建
立坐标系．
………..7 分
已知点
， ……..
8 分
设平面 的法向量为：
则有 ，可得平面 的一个法向量为 ，
， …
……..10 分
为
AD O ,PA PD PO AD= ∴ ⊥
PAD ⊥ ABCD AD PO ⊂ PAD
PO∴ ⊥ ABCD
//CO BA 90BAD∠ = °
CO AD∴ ⊥
, ,OA OC OP O OA x OP y OC z
( ) ( ) ( ) ( )3 1 3 11,0,0 , 1,0,1 , 0, , , 1,0,0 , 0,0,1 , 1, ,2 2 2 2A B M D AB AM
− = = −
ABM ( ), ,m x y z=
0
3 1 02 2
m AB z
m AM x y z
⋅ = =
⋅ = − + + =
ABM ( )3,2,0m =
3 11, ,2 2DM
=
可得：
， ..11 分
所以直线 与平面 所成角的正弦值为
． ………..12 分
20. （本小题满分 12 分）抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 与抛物线交于
两点（ 不为抛物线的顶点），过 分别作抛物线的切线 与 轴的交于 ，
交点为 .
（Ⅰ）求证：当 变化时，经过 三点的圆过定点；
（Ⅱ）求线段 长度的最小值.
解：（Ⅰ）设
，令 ，得 点坐标 …………2 分
，
同理 …………4 分
经过 三点的圆过焦点 . …………6 分
（Ⅱ）设直线
联立直线与抛物线
则 ， …………8 分
设 ，由 得 ，
( ) 2 22 2 2 2
3 13 1 2 0 422 2cos< , 73 13 2 0 1 2 2
m DMm DM
m DM
× + × + ×⋅= = =
⋅ + + ⋅ + +
>
DM ABM
42
7
2 8x y= F (1,2)P l
,M N ,M N ,M N 1 2,l l x ,B C
1 2,l l A
l , ,A B C
FA
2 2
1 1 2 2
1 1, , ,8 8M x x N x x
2
1 1
1 1: ( )4 8
x xl y x x= − + 0y = B 1( ,0)2
xB
1
1 1
2 0 4 140 2
AB FB
xk k x x
−⋅ = = ⋅ − = −
−
FB AB⊥
FC AC⊥
, ,A B C F
: ( 1) 2l y k x= − +
2 8 (8 16) 0x kx k− + − =
1 2 8x x k+ = 1 2 8 16x x k= −
( ),A x y
2
1 1
1
2
2 2
2
( )4 8
( )4 8
x xy x x
x xy x x
= − +
= − +
1 2
1 2
2
8
x xx
x xy
+ =
=，消去 得， …………10 分
点 在定直线 上.
线段 长度的最小值为点 到直线 的距离，
线段 长度的最小值为 . …………12 分
21. (本小题满分 12 分)
已知函数 .
（Ⅰ）若 时， ，求 的取值范围；
（Ⅱ）证明： .
解：（Ⅰ）注意到 ， ， ............1 分
若 ，则当 时， ，所以 ；..........2 分
若 ，则当 时， ，所以 ；..........4 分
若 ，则当 时， ，所以 .
故 的取值范围是 ...............6 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知： ， ..............8 分
令 得：
.............
..10 分
4
2
x k
y k
=
= − k 4 8 0x y− − =
A 4 8 0x y− − =
FA F 4 8 0x y− − =
FA 16 17
17
(1 )( ) ln(1 ) 1
x xf x x x
λ+= + − +
0x ≥ ( ) 0f x ≤ λ
1 1 1 1 1 1 1ln 21 2 2 1 2 2 4n n n n n n n
+ + + < < + + + ++ + + + ( )n N+∈
(0) 0f = 2
(1 2 )( ) (1 )
x xf x x
λ λ− −′ = + 0x ≥
0λ ≤ ( )0,x∈ +∞ ' ( ) 0f x > ( )( ) 0 0f x f> =
10 2
λ< < 10 2x λ< < − ' ( ) 0f x > ( ) 0f x >
1
2
λ ≥ 0x ≥ ( ) 0f x′ ≤ ( )( ) 0 0f x f≤ =
λ 1 ,2
+∞
( )
11 2ln 11 1
x xx xx x
+ < +
1x k
=
( )
1 111 1 1 1 1 1 1 12ln 11 1 2 1 1 2 11
k k k
k k k k k k k k
k
+ + < < = + = + − + + + + + +
2 1 2 1 2 11 1 1 1 1 1ln1 1 2 1
n n n
k n k n k n
k
k k k k k
− − −
= = =
+ < < + − + + +
∑ ∑ ∑..............12 分
22.（本小题满分 10 分）[选修 4-4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），已知点 ，
点 是曲线 上任意一点，点 为 的中点，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立
极坐标系.
（Ⅰ）求点 的轨迹 的极坐标方程；
（Ⅱ）已知直线 ： 与曲线 交于 两点，若 ，求 的值.
解：（Ⅰ）设 ， .且点 ，由点 为 的中点，
所以
……3 分
整理得 .即 ，
化为极坐标方程为
. ……5 分
（Ⅱ）设直线 ： 的极坐标方程为 .设 ， ，
因为 ，所以 ，即
. ……6 分
联立 整理得
. ……7 分
则 解得
1 1 1 1 1 1 1ln 21 2 2 1 2 2 4n n n n n n n
+ + + < < + + + ++ + + +
xOy 1C 2cos ,
2sin ,
x
y
θ
θ
=
=
θ (4,0)Q
P 1C M PQ x
M 2C
l y kx=
2C ,A B 3OA AB = k
( )2cos ,2sinP θ θ ( ),M x y ( )4,0Q M PQ
2cos 4 2 ,2
2sin ,2
x cos
y sin
θ θ
θ θ
+ = = +
= =
( )2 22 1x y− + = 2 2 4 3 0x y x+ − + =
2 4 cos 3 0ρ ρ θ− + =
l y kx= θ α= ( )1,A ρ α ( )2,B ρ α
3OA AB= 4 3OA OB=
1 24 3ρ ρ=
2 4 3 0,
,
cosρ ρ θ
θ α
− + =
=
2 4cos 3 0ρ α ρ− ⋅ + =
1 2
1 2
1 2
4 ,
3,
4 3 ,
cosρ ρ α
ρ ρ
ρ ρ
+ =
=
=. ……9 分
所以 ，则
. ……10 分
23.（本小题满分 10 分）已知 .若函数 的最小
值为 .
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）证明:
解：（Ⅰ）∵
当且仅当 时,等号成立, …………3 分
∴ 的最小值为 ,∴ . …………5 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知, ,且 都是正数,
所以
…………9 分
当且仅当 时,取等号,所以 得证 …………10 分
7cos 8
α =
2 2
2
1 15tan 1cos 49k α α= = − =
15
7k = ±
0, 0, 0a b c> > > ( )f x x a x b c= + + − +
2
a b c+ +
1 1 1 9
4a b b c c a
+ + ≥+ + +
( ) ( ) ( )f x x a x b c x a x b c a b c= + + − + ≥ + − − + = + +
a x b− ≤ ≤
( )f x a b c+ + 2a b c+ + =
2a b c+ + = , ,a b c
( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 1 9
4 4a b b c c aa b b c c a a b b c c a
+ + = + + + + + + + ≥ + + + + + +
1a b c= = = 1 1 1 9
4a b b c c a
+ + ≥+ + +
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