热点(五) 基本不等式
1．(基本不等式)已知 x>0，y>0，且 2x＋y＝1，则 xy 的最大
值是( )
A.1
4
B．4
C.1
8
D．8
答案：C
解析：∵2xy≤
(
2x＋y
2 )
2＝
(
1
2 )
2＝1
4
，∴xy≤1
8
，故选 C.
2．(基本不等式)若正实数 a，b 满足 a＋b＝1，则( )
A.1
a
＋1
b
有最大值 4 B．ab 有最小值1
4
C．a2＋b2 有最小值 2
2
D. a＋ b有最大值 2
答案：D
解析：对于 A，取 a＝0.01，b＝0.99，则1
a
＋1
b
>100>4，故 A
错误；对于 B，取 a＝0.01，b＝0.99，则 ab＝0.009 90，b>0，且 a＋b＝1，则2
a
＋ 1
2b
的最小值
为( )
A．5 B.9
2C．4 D.7
2
答案：B
解析：∵a>0，b>0，a＋b＝1，∴2
a
＋ 1
2b
＝(a＋b)·
(
2
a
＋ 1
2b)＝2＋
a
2b
＋2b
a
＋1
2
＝5
2
＋ a
2b
＋2b
a
≥5
2
＋2 a
2b·
2b
a
＝9
2
，当且仅当 a＝2b 时等号
成立，∴2
a
＋ 1
2b
的最小值为9
2
，故选 B.
4．(基本不等式)若 ab>0，且3
a
＋4
b
＝1，则 a＋b 的最小值是( )
A．4 3 B．7＋4 3
C．8 3 D．7＋8 3
答案：B
解析：a＋b＝(a＋b)
(
3
a
＋4
b)＝3b
a
＋4a
b
＋7≥2 3b
a ·
4a
b
＋7＝4 3＋
7，当且仅当 b＝2 3＋4，a＝3＋2 3时，取“＝”，故选 B.
5．(基本不等式)已知 a>0，b>0，且 2a＋b＝1，则2
a
＋1
b
的最小
值为( )
A．7 B．8
C．9 D．10
答案：C
解析：依题意得 2
a
＋1
b
＝
(
2
a
＋1
b)(2a＋b)＝5＋ 2b
a
＋2a
b
≥5＋2
2b
a ·
2a
b
＝5＋4＝9，当且仅当 a＝b＝1
3
时，等号成立．故选 C.
6．(基本不等式)若正数 x，y 满足 x＋4y－xy＝0，则 x＋y 的
最小值为( )
A．9 B．8
C．5 D．4
答案：A
解析：∵x>0，y>0，x＋4y＝xy，∴4
x
＋1
y
＝1，∴x＋y＝(x＋y)
(
4
x
＋1
y)＝5＋x
y
＋4y
x
≥5＋2 x
y·
4y
x
＝9，当且仅当 x
＝6，y＝3 时，取等号，∴x＋y 的最小值为 9，故选 A.
7．(基本不等式)已知 08
3
，
验证可得，当 m＝2，n＝4 时， 1
m
＋9
n
取最小值，为11
4
，故选
B.
13．(基本不等式)已知 x>0，y>0，且 x＋y＝1，若不等式 a≤1
x
＋9
y
恒成立，则实数 a 的最大值为________．
答案：16
解析：∵x>0，y>0，且 x＋y＝1，
∴1
x
＋9
y
＝(x＋y)
(
1
x
＋9
y)＝10＋y
x
＋9x
y
≥10＋2 y
x·
9x
y
＝16，当且仅
当 y＝3x＝3
4
时取等号．
∵不等式 a≤1
x
＋9
y
恒成立⇔
(
1
x
＋9
y)min≥a，
∴a∈(－∞，16]，即实数 a 的最大值为 16.
14．(基本不等式)已知 a，b∈R，且 2a－3b＝1，则 9a＋ 1
27b
的
最小值是________．
答案：2 3
解析：因为 2a－3b＝1，所以 9a＋ 1
27b
≥2 9a·
1
27b
＝2 32a－3b＝
2 3，当且仅当 9a＝ 1
27b
，即 2a＝－3b＝1
2
时，取等号，所以 9a＋ 1
27b
的最小值是 2 3.
15．(基本不等式)已知 x，y 均为正实数，且 2x＋y
xy
＝1
2
(7＋
2 6)，则 x＋3y 的最小值为________．答案：2
解析：∵2x＋y
xy
＝2
y
＋1
x
＝1
2
(7＋2 6)，
∴x＋3y＝
2(x＋3y)
(
2
y
＋1
x)7＋2 6
＝
2(7＋2x
y
＋3y
x )7＋2 6
.
又∵x，y 均为正实数，∴2x
y
＋3y
x
≥2 2x
y ·
3y
x
＝2 6，
当且仅当2x
y
＝3y
x
时，取“＝”，
∴x＋3y≥2(7＋2 6)
7＋2 6
＝2.∴x＋3y 的最小值为 2.
16．(与函数结合)已知函数 f(x)＝|x－2|－|x－1|，若正数 a，b
满足 a＋2b＝f(－1)，求2
a
＋1
b
的最小值．
答案：8
解析：由题意，a＋2b＝f(－1)＝1，
所以2
a
＋1
b
＝
(
2
a
＋1
b)(a＋2b)＝4＋4b
a
＋a
b
≥4＋2 4＝8，
当且仅当 a＝1
2
，b＝1
4
时，等号成立，
所以2
a
＋1
b
的最小值为 8.
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