热点(八) 平面向量
1．(平面向量基本定理)设 D 为△ABC 的边 BC 的延长线上一
点，BC→
＝3CD→
，则( )
A.AD→
＝1
3AB→
－4
3AC→
B.AD→
＝4
3AB→
＋1
3AC→
C.AD→
＝－1
3AB→
＋4
3AC→
D.AD→
＝4
3AB→
－1
3AC→
答案：C
解析：AD→
＝AB→
＋BD→
＝AB→
＋4
3BC→
＝AB→
＋4
3
(AC→
－AB→
)＝－1
3AB→
＋
4
3AC→
，故选 C.
2．(向量共线的坐标表示)已知向量 a＝(4,2)，向量 b＝(x,3)，
且 a∥b，则 x＝( )
A．9 B．6
C．5 D．3
答案：B
解析：因为向量 a＝(4,2)，向量 b＝(x,3)且 a∥b，
所以 4×3＝2x，x＝6，故选 B.
3．(向量的模)已知|a|＝1，|b|＝2，a＝λb，λ∈R，则|a－b|等
于( )
A．1 B．3
C．1 或 3 D．|λ|
答案：C解析：由 a＝λb 可知 a∥b，即 a 与 b 的夹角为 0 或 π，
|a－b|2＝a2＋b2－2|a|·|b|cos 0＝|a|2＋|b|2－2|a|·|b|＝1＋4－4＝1，
或|a－b|2＝a2＋b2－2|a|·|b|cos π＝|a| 2＋|b|2＋2|a|·|b|＝1＋4＋4
＝9，
∴|a－b|＝1 或 3，故选 C.
4．(数量积的应用)设向量 a＝(1，cos θ)与 b＝(－1,2cos θ)垂
直，则 cos 2θ 等于( )
A. 2
2
B.1
2
C．－1 D．0
答案：D
解析：向量 a＝(1，cos θ)与 b＝(－1,2cos θ)垂直，可得 2cos2θ
－1＝0，故 cos 2θ＝2cos2θ－1＝0，故选 D.
5．(向量的线性运算)在△ABC 中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝
60°，AD 为 BC 边上的高，O 为 AD 的中点，若AO→
＝λAB→
＋μBC→
，
则 λ＋μ＝( )
A．1 B.1
2
C.1
3
D.2
3
答案：D
解析：在△ABD 中，BD＝1
2
AB＝1.
又 BC＝3，所以 BD＝1
3
BC，∴AD→
＝AB→
＋BD→
＝AB→
＋1
3BC→
.
∵O 为 AD 的中点，∴AO→
＝1
2AD→
＝1
2AB→
＋1
6BC→
.
∵AO→
＝λAB→
＋μBC→
，∴λ＝1
2
，μ＝1
6
，∴λ＋μ＝2
3
，故选 D.
6．(共线定理的推广＋角平分线性质)在△AOB 中，G 为 AB
边上一点，OG 是∠AOB 的平分线，且OG→
＝2
5OA→
＋mOB→
，m∈R，则
|OA→
|
|OB→
|
＝( )
A.1
2
B．1
C.3
2
D．2
答案：C
解析：如图所示，△AOB 中，OG→
＝2
5OA→
＋mOB→
，由平面向量
的基本定理得2
5
＋m＝1，解得 m＝3
5
，∴OG→
＝2
5OA→
＋3
5OB→
，∴AG→
－
AO→
＝2
5OA→
＋3
5
(AB→
－AO→
)，∴AG→
＝3
5AB→
，∴
|AG→
|
|AB→
|
＝3
5
，∴
|BG→
|
|AB→
|
＝2
5
，又
OG 是∠AOB 的平分线，∴
|OA→
|
|OB→
|
＝
|AG→
|
|BG→
|
，∴
|OA→
|
|OB→
|
＝3
2
.故选 C.
7．(向量的夹角)已知向量 a，b 满足|a＋b|＝|a－b|，且|a|＝
3，|b|＝1，则向量 b 与 a－b 的夹角为( )
A.π
3
B.2π
3
C.π
6
D.5π
6
答案：B
解析：因为|a＋b|＝|a－b|，所以 a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，
即 a·b＝0.
因此 cos〈b，a－b〉＝b·(a－b)
|b||a－b|
＝ －b2
b2 (a－b)2
＝－ |b|
a2＋b2
＝－1
2
.所以向量 b 与 a－b 的夹角为2π
3
，故选 B.
8．(数量积的应用)已知向量 a＝( 2，－ 2)，b＝(cos α，sin
α)，则|a－b|的最大值为( )
A．1 B. 5
C．3 D．9
答案：C
解 析 ： 因 为 |a － b| ＝ ( 2－cos α)2＋(－ 2－sin α)2＝
5＋2 2(sin α－cos α)＝ 5＋4sin(α－π
4)，
所以当 sin
(α－π
4)＝1 时，|a－b|取得最大值，最大值为 5＋4＝
3，故选 C.
9．(数量积的应用)在△ABC 中，设|AC→
|2－|AB→
|2＝2AM→
·BC→
，则
动点 M 的轨迹必通过△ABC 的( )
A．垂心 B．内心
C．重心 D．外心
答案：D
解析：|AC→
|2－|AB→
|2＝(AC→
＋AB→
)·(AC→
－AB→
)＝(AC→
＋AB→
)·BC→
＝2
AM→
·BC→
，
∴BC→
·(AC→
＋ AB→
－ 2AM→
) ＝ 0 ⇒ BC→
·(AC→
－ AM→
＋ AB→
－ AM→
) ＝
BC→
·(MC→
＋MB→
)＝0，
设 E 为 BC 的中心，则MC→
＋MB→
＝2ME→
，
∴BC→
·2ME→
＝0⇒BC→
⊥ME→
⇒ME 为 BC 的垂直平分线，
∴M 的轨迹必过△ABC 的外心，故选 D.
10．(向量运算与函数)如图，在平面四边形 ABCD 中，
AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1，若点 E 为边 CD
上的动点，则AE→
·BE→
的最小值为( )A.21
16
B.3
2
C.25
16
D．3
答案：A
解析：连接 BD，AC，由 AB⊥BC，AD⊥CD，得∠BCD＝
60°，
易证△ACD≌△ACB，所以 CD＝BC，所以△BCD 为等边三
角形，易知 BD＝ 3.设DE→
＝tDC→
(0≤t≤1)，
AE→
·BE→
＝(AD→
＋DE→
)·(BD→
＋DE→
)＝AD→
·BD→
＋DE→
·(AD→
＋BD→
)＋DE→
2＝3
2
＋BD→
·DE→
＋DE→
2＝3t2－3
2
t＋3
2
(0≤t≤1)．
所以当 t＝1
4
时，上式取得最大值21
16
，故选 A.
11．(数量积的定义)在正三角形 ABC 中，AB＝2，BD→
＝DC→
，
AE→
＝1
2EC→
，且 AD 与 BE 相交于点 O，则OA→
·OB→
＝( )
A．－4
5
B．－3
4
C．－2
3
D．－1
2
答案：B
解析：如图．因为BD→
＝DC→
，所以 D 是 BC 的中点，
所以AD→
＝1
2AB→
＋1
2AC→
，
因为AE→
＝1
2EC→
，所以AE→
＝1
3AC→
，
设AO→
＝λAD→
，λ>0，则AO→
＝1
2
λAB→
＋1
2
λAC→
，
因为 B，O，E 三点共线，所以存在实数 μ，使得
AO→
＝μAB→
＋(1－μ)AE→
＝μAB→
＋1
3
(1－μ)AC→
，
所以Error!解得Error!
所以AO→
＝1
4AB→
＋1
4AC→
，
BO→
＝BA→
＋AO→
＝－3
4AB→
＋1
4AC→
，
所以OA→
·OB→
＝AO→
·BO→
＝
(
1
4AB→
＋1
4AC→
)·
(－3
4AB→
＋1
4AC→
)＝－ 3
16
|AB→
|2－1
8AB→
·AC→
＋ 1
16
|AC→
|2
＝－ 3
16
×22－1
8
×2×2×cos 60°＋ 1
16
×22
＝－3
4
，故选 B.
12．[2018·浙江卷](向量的综合应用)已知 a，b，e 是平面向量，
e 是单位向量．若非零向量 a 与 e 的夹角为π
3
，向量 b 满足 b2－4e·b
＋3＝0，则|a－b|的最小值是( )
A. 3－1 B. 3＋1
C．2 D．2－ 3
答案：A
解析：解法一 ∵ b2－4e·b＋3＝0，
∴ (b－2e)2＝1，
∴ |b－2e|＝1.如图所示，把 a，b，e 的起点作为公共点 O，以 O 为原点，
向量 e 所在直线为 x 轴，则 b 的终点在以点(2,0)为圆心，半径为 1
的圆上，|a－b|就是线段 AB 的长度．
要求|AB|的最小值，就是求圆上动点到定直线的距离的最小值，
也就是圆心 M 到直线 OA 的距离减去圆的半径长，
因此|a－b|的最小值为 3－1.
故选 A.
解法二 设 O 为坐标原点，a＝ OA→
，b＝ OB→
＝(x，y)，e＝
(1,0)，由 b2－4e·b＋3＝0 得 x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1，
所以点 B 的轨迹是以 C(2,0)为圆心，1 为半径的圆．因为 a 与 e 的
夹角为π
3
，所以不妨令点 A 在射线 y＝ 3x(x>0)上，如图，数形结
合可知|a－b|min＝|CA→
|－|CB→
|＝ 3－1.故选 A.
解法三 由 b2－4e·b＋3＝0 得 b2－4e·b＋3e2＝(b－e)·(b－3e)
＝0.
设 b＝OB→
，e＝OE→
，3e＝OF→
，所以 b－e＝EB→
，b－3e＝FB→
，
所以EB→
·FB→
＝0，取 EF 的中点为 C，则 B 在以 C 为圆心，EF 为直
径的圆上，如图．设 a＝OA→
，作射线 OA，使得∠AOE＝π
3
，所以|a－b|＝|(a－2e)＋(2e－b)|≥|a－2e|－|2e－b|＝|CA→
|－|BC→
|≥ 3－1.故
选 A.
13．(向量的模)已知向量 a，b 满足 a＝(1，－1)，a＋b＝
(3,1)，则|b|＝________.
答案：2 2
解析：依题意 b＝(a＋b)－a＝(3,1)－(1，－1)＝(2,2)，故|b|＝
22＋22＝2 2.
14．(数量积)设 a，b 是互相垂直的单位向量，且(λa＋b)⊥(a＋
2b)，则实数 λ 的值是________．
答案：－2
解析：依题意，有|a|＝|b|＝1，且 a·b＝0，
又(λa＋b)⊥(a＋2b)，所以(λa＋b)·(a＋2b)＝0，
即 λa2＋2b2＋(2λ＋1)a·b＝0，即 λ＋2＝0，所以 λ＝－2.
15．(向量的夹角)已知非零向量 a，b 满足|2a＋b|＝|a＋2b|＝3
|a|，则 a，b 的夹角为________．
答案：2π
3
解析：由题意，知|2a＋b|＝|a＋2b|，
即(2a＋b)2＝(a＋2b)2，即 4a2＋4a·b＋b2＝a2＋4a·b＋4b2；
解得 a2＝b2，∴|a|＝|b|.
又|a＋2b|＝ 3|a|，∴(a＋2b)2＝3a2，∴a2＋4a·b＋4b2＝3a2，
∴a2＋4a2cos〈a，b〉＋4a2＝3a2，
又 a≠0，∴1＋4cos〈a，b〉＋4＝3，∴cos〈a，b〉＝－1
2
，
又 0≤〈a，b〉≤π，∴〈a，b〉＝2π
3
.
16．(向量的投影)设 e 1，e2 是单位向量，且 e1，e2 的夹角为
2π
3
，若 a＝e1＋e2，b＝2e1－e2，则 e1·e2＝________；a 在 b 方向上
的投影为________．
答案：－1
2
； 7
14
解析：由平面向量的数量积的定义，可得 e1·e2＝|e1|·|e2|cos2π
3
＝1×1×
(－1
2 )＝－1
2
，
a·b＝(e1＋e2)·(2e1－e2)＝2e21＋e1·e2－e22＝2－1
2
－1＝1
2
，
b2＝(2e1－e2)2＝4e21－4e1·e2＋e22＝4－4×
(－1
2 )＋1＝7，即|b|＝
7，
所以 a 在 b 方向上的投影为a·b
|b|
＝
1
2
7
＝ 7
14
.
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