2020高考文科数学二轮热点问题专练（九）球（Word版带解析）

热点(九)　球 1．(四棱柱外接球体积)已知底面边长为 1，侧棱长为 2的正 四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为(　　) A.32π 3 B．4π C．2π D.4π 3 答案：D 解析：因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的 一半，所以半径 r＝1 2 12＋12＋( 2)2＝1， 所以 V 球＝4π 3 ×13＝4π 3 ，故选 D. 2．(三棱柱外接球)已知直三棱柱 ABC－A1B1C1 的 6 个顶点都 在球 O 的球面上，若 AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球 O 的半径为(　　) A.3 17 2 B．2 10 C.13 2 D．3 10 答案：C 解析：如图，过球心作平面 ABC 的垂线，则垂足为线段 BC 的中点 M.易知 AM＝1 2 BC＝5 2 ，OM＝1 2 AA1＝6，所以球 O 的半径 R ＝OA＝ ( 5 2 )2＋62＝13 2 ，故选 C.3．(球体＋体积)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体 容器，容器高 8 cm，现将一个球放在容器口，再向容器内注水， 当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm，如果不计容器的厚度， 则球的体积为(　　) A.500π 3 cm3 B.866π 3 cm3 C.1 372π 3 cm3 D.2 048π 3 cm3 答案：A 解析：设球半径为 R cm，根据已知条件知正方体的上底面与 球相交所得截面圆的半径为 4 cm，球心到截面的距离为(R－2) cm， 所以由 42＋(R－2)2＝R2，得 R＝5， 所以球的体积 V＝4 3 πR3＝4 3 π×53＝500π 3 cm3，故选 A. 4．(球与三视图)某几何体的三视图如图所示，则该几何体外 接球的表面积为(　　)A.16π 3 B．4π C．3 D．以上都不对 答案：A 解析：由题意可知该几何体是轴截面为正三角形的圆锥，底 面圆的直径为 2，高为 3， ∴外接球的半径 r＝ 1 cos 30° ＝2 3 3 ， ∴外接球的表面积为 4×π× ( 2 3 3 ) 2＝16 3 π，故选 A. 5．(球与圆锥)如图，网络纸上小正方形的边长为 1，粗线画 出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为(　　) A.16 3 π B.11 2 π C.17 3 π D.35 6 π 答案：A 解析：该几何体可以看成是一个半球上叠加一个1 4 圆锥，然后 挖掉一个相同的1 4 圆锥所形成的组合体，所以该几何体的体积和半球的体积相等．由题图可知，半球的半径为 2，则该几何体的体积 V＝2 3 πr3＝16π 3 .故选 A. 6．(三棱锥外接球＋体积)已知三棱锥 S－ABC 的所有顶点都 在球 O 的球面上，△ABC 是边长为 1 的正三角形，SC 为球 O 的 直径，且 SC＝2，则此棱锥的体积为(　　) A. 2 6 B. 3 6 C. 2 3 D. 2 2 答案：A 解析：在直角三角形 ASC 中，AC＝1，∠SAC＝90°，SC＝2， 所以 SA＝ 4－1＝ 3，同理 SB＝ 3.过 A 点作 SC 的垂线交 SC 于 D 点，连接 DB，因为△SAC≌△SBC，所以 BD⊥SC，又因为 BD∩AD＝D，BD⊂平面 ABD，AD⊂平面 ABD，所以 SC⊥平面 ABD，且△ABD 为等腰三角形，因为∠ASC＝30°，所以 AD＝1 2 SA ＝ 3 2 ，则△ABD 的面积为1 2 ×1× AD2－( 1 2 )2＝ 2 4 ，可得三棱锥 的体积为1 3 × 2 4 ×2＝ 2 6 ，故选 A. 7．(三棱柱内切球＋最值)在封闭的直三棱柱 ABC－A1B1C1 内 有一个体积为 V 的球．若 AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则 V 的最大值是(　　) A．4π B.9π 2 C．6π D.32π 3 答案：B 解析：由 AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得 AC＝10. 要使球的体积 V 最大，则需球与直三棱柱的部分面相切，若 球与三个侧面相切，设底面△ABC 的内切圆的半径为 r， 易知1 2 ×6×8＝1 2 ×(6＋8＋10)·r，所以 r＝2， 此时 2r＝4>3，不合题意．因此当球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径 R 最大， 由 2R＝3，得 R＝3 2 ， 故球的最大体积 V＝4 3 πR3＝9 2 π，故选 B. 8．(球体＋表面积)如图，某几何体的三视图是三个半径相等 的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π 3 ， 则它的表面积是(　　) A．17π B．18π C．20π D．28π 答案：A 解析：由题知，该几何体的直观图如图所示，它是一个球切 掉1 8 球(被过球心 O 且互相垂直的三个平面)所剩的组合体， 其表面积是球面面积的7 8 和三个1 4 圆面积之和． 设球的半径为 R，则7 8 ×4 3 πR3＝28π 3 ⇒R＝2. 故几何体的表面积 S＝7 8 ×4πR2＋3 4 πR2＝17π，故选 A.9．(三棱锥外接球＋体积)已知球的直径 SC＝4，A，B 是该球 球面上的两点，且 AB＝ 3，∠ASC＝∠BSC＝30°，则棱锥 S－ABC 的体积为(　　) A．3 3 B．2 3 C. 3 D．1 答案：C 解析：由题可知线段 AB 一定在与直径 SC 所在直线垂直的小 圆面上，作过线段 AB 的小圆面交直径 SC 于点 D，设 SD＝x，则 DC＝4－x，此时所求棱锥即分割成两个棱锥 S－ABD 和 C－ABD， 在△SAD 和△SBD 中，由已知条件可得 AD＝BD＝ 3 3 x，又因为 SC 为直径，所以∠SBC＝∠SAC＝90°，所以∠DCB＝∠DCA＝60°， 在△BDC 中，BD＝ 3·(4－x)，所以 3 3 x＝ 3·(4－x)⇒x＝3，所以 AD ＝ BD ＝ 3＝ AB ， 即 三 角 形 ABD 为 正 三 角 形 ， 则 V ＝ 1 3 ×S△ABD×4＝ 3，故选 C. 10．(三棱锥外接球＋表面积)如图，四边形 ABCD 是边长为 2 3的正方形，点 E，F 分别为边 BC，CD 的中点，将△ABE， △ECF，△FDA 分别沿 AE，EF，FA 折起，使 B，C，D 三点重合 于点 P，若四面体 PAEF 的四个顶点在同一个球面上，则该球的表 面积是(　　) A．6π B．12π C．18π D．9 2π 答案：C 解析：因为∠APE＝∠EPF＝∠APF＝90°，所以可将四面体 补成一个长方体(PA，PE，PF 是从同一顶点出发的三条棱)，则四 面体和补全的长方体有相同的外接球，设其半径为 R，由题意知 2R ＝ ( 3)2＋( 3)2＋(2 3)2＝3 2，故该球的表面积 S＝4πR 2 ＝4π ( 3 2 2 ) 2＝18π，故选 C.11 ． ( 正 方 体 内 切 球 ＋ 体 积 ) 设 球 O 是 正 方 体 ABCD － A1B1C1D1 的内切球，若平面 ACD1 截球 O 所得的截面面积为 6π， 则球 O 的半径为(　　) A.3 2 B．3 C. 3 2 D. 3 答案：B 解析：如图，易知直线 B1D 过球心 O，且 B1D⊥平面 ACD1， 不妨设垂足为点 M，正方体棱长为 a，则球半径 R＝a 2 ，易知 DM＝ 1 3 DB1，所以 OM＝1 6 DB1＝ 3 6 a，所以截面圆半径 r＝ ( a 2 )2－OM2 ＝ 6 6 a，由截面圆面积 S＝πr2＝6π，得 r＝ 6 6 a＝ 6，即 a＝6，所 以球 O 的半径 R＝a 2 ＝3，故选 B. 12．(三棱锥外接球＋表面积)已知正三棱锥 S－ABC 的顶点均 在球 O 的球面上，过侧棱 SA 及球心 O 的平面截三棱锥及球面所 得截面如图所示，若三棱锥的体积为 2 3，则球 O 的表面积为(　　) A．16π B．18π C．24π D．32π 答案：A 解析：设正三棱锥的底面边长为 a，外接球的半径为 R，因为正三棱锥的底面为正三角形，边长为 a， 所以 AD＝ 3 2 a，则 AO＝2 3 AD＝ 3 3 a，所以 3 3 a＝R，即 a＝ 3 R， 又因为三棱锥的体积为 2 3， 所以1 3 × 3 4 a2R＝1 3 × 3 4 ×( 3R)2×R＝2 3， 解得 R＝2，所以球的表面积 S＝4πR2＝16π，故选 A. 13．(三棱锥外接球＋表面积)已知 S、A、B、C 是球 O 表面上 的点，SA⊥平面 ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝1，BC＝ 2，则球 O 的表面积等于________． 答案：4π 解析：将三棱锥 S－ABC 补成以 SA、AB、BC 为棱的长方体， 易得其对角线 SC 为球 O 的直径，即 2R＝SC＝2⇒R＝1，所以表 面积为 4πR2＝4π. 14．(圆柱外接球＋体积)已知圆柱的高为 1，它的两个底面的 圆 周 在 直 径 为 2 的 同 一 个 球 的 球 面 上 ， 则 该 圆 柱 的 体 积 为 ________． 答案：3π 4 解析：画出圆柱的轴截面 ABCD，如图，O 为球心，则球半径 R＝OA＝1，球心到底面圆的距离为 OM＝1 2 ， 所以底面圆半径 r＝ OA2－OM2＝ 3 2 ，故圆柱体积 V＝π× ( 3 2 ) 2×1＝3π 4 . 15．[2019·武汉市高中毕业生四月调研测试](四面体外接球＋ 半径)在四面体 ABCD 中，AD＝DB＝AC＝CB＝1，则当四面体的 体积最大时，它的外接球半径 R＝________.答案： 15 6 解析：当平面 ADC 与平面 BCD 垂直时，四面体 ABCD 的体 积最大，因为 AD＝AC＝1， 所以可设等腰三角形 ACD 的底边 CD＝2x，高为 h，则 x2＋h2 ＝1， 此时四面体的体积 V＝1 3 ×1 2 ×2x×h2＝1 3 x(1－x2)，则 V′＝1 3 －x2，令 V′＝0，得 x＝ 3 3 ，从而 h＝ 6 3 ， 则 CD＝AB＝2 3 3 ，故可将四面体 ABCD 放入长、宽、高分别 为 a，b，c 的长方体中，如图，则Error!解得 a2＝c2＝2 3 ，b2＝1 3 ， 则长方体的体对角线即四面体 ABCD 的外接球直径，(2R)2＝a2＋ b2＋c2＝5 3 ，R＝ 15 6 . 16．[2019·福州四校高三年级联考](三棱锥外接球＋体积)已知 三棱锥 A－BCD 的所有顶点都在球 O 的球面上，AB 为球 O 的直 径，若该三棱锥的体积为 3，BC＝ 3，BD＝ 3，∠CBD＝90°，则球 O 的体积为________． 答案：32π 3解析：设 A 到平面 BCD 的距离为 h，∵三棱锥的体积为 3，BC＝ 3，BD＝ 3，∠CBD＝90°，∴1 3 ×1 2 ×3× 3×h＝ 3，∴h＝2，∴ 球心 O 到平面 BCD 的距离为 1.设 CD 的中点为 E，连接 OE，则 由球的截面性质可得 OE⊥平面 CBD，∵△BCD 外接圆的直径 CD＝2 3，∴球 O 的半径 OD＝2，∴球 O 的体积为32π 3 .