2020高考文科数学二轮热点问题专练（十）直线与圆（Word版带解析）

热点(十)　直线与圆 　　　 1．(点与圆的位置关系)已知点(a，b)在圆 C：x2＋y2＝r2(r≠0) 的外部，则 ax＋by＝r2 与 C 的位置关系是(　　) A．相切 B．相离 C．内含 D．相交 答案：D 解析：由已知得 a2＋b2>r2，所以圆心到直线 ax＋by＝r2 的距 离 d＝ r2 a2＋b2 0)上一动 点，PA，PB 是圆 C：x2＋y2－2y＝0 的两条切线，A，B 是切点， 若四边形 PACB 的最小面积是 2，则 k 的值为(　　) A．3 B. 21 2 C．2 2 D．2 答案：D 解析：圆 C：x2＋y2－2y＝0 的圆心为(0,1)，半径 r＝1.由圆的 性质，知 S 四边形 PACB＝2S△PBC. ∵四边形 PACB 的最小面积是 2，∴S△PBC 的最小值为 1， 则 1 2 rdmin＝1(d 是切线长)，∴dmin＝2. ∵圆心到直线的距离就是 PC 的最小值， ∴|PC|min＝ 5 1＋k2 ＝ d 2min＋1＝ 5.∵k>0，∴k＝2.故选 D. 7．[2019·高三测试](直线与圆相切)已知圆(x－a) 2＋ y2＝1 与直线 y＝x 相切于第三象限，则 a 的值是(　　) A. 2 B．－ 2 C．± 2 D．－2 答案：B 解析：依题意得，圆心(a,0)到直线 x－y＝0 的距离等于半径， 即有|a| 2 ＝1，|a|＝ 2.又切点位于第三象限，结合图形(图略)可知， a＝－ 2，故选 B. 8．(对称问题)一条光线从点(－2，－3)射出，经 y 轴反射后与 圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1 相切，则反射光线所在直线的斜率为(　　) A．－5 3 或－3 5 B．－3 2 或－2 3 C．－5 4 或－4 5 D．－4 3 或－3 4 答案：D 解析：点(－2，－3)关于 y 轴的对称点为(2，－3)，由入射光 线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，－3)．设反射光 线所在直线的斜率为 k，则反射光线所在直线的方程为 y＋3＝k(x －2)，即 kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切，得圆心到直线的 距离 d＝|－3k－2－2k－3| k2＋1 ＝1，解得 k＝－4 3 或 k＝－3 4 ，故选 D. 9．[2019·河南郑州模拟](相交弦长)在圆 x2＋y2－2x－8y＋1＝ 0 内，过点 E(0,1)的最长弦和最短弦分别是 AC 和 BD，则四边形 ABCD 的面积为(　　) A．4 6 B．8 6 C．12 6 D．16 6 答案：B解析：圆的方程可化为(x－1)2＋(y－4)2＝16，∴圆心 M(1,4)， 半径 r＝4，如图所示，显然 E 在圆的内部，设过 E 点的弦长为 l， 则 l＝2 r2－d2＝2 16－d2(d 表示弦心距)． 由图可知 0≤d≤|ME|＝ 10， ∴当 d＝0 时，lmax＝2×4＝8＝|AC|(此时 AC 为圆的直径)； 当 d＝ 10时，lmin＝2 16－10＝2 6＝|BD|(此时 AC⊥BD)． ∴S 四边形 ABCD＝1 2 |AC||BD|＝1 2 ×8×2 6＝8 6，故 B 正确． 10．(点的存在性问题)已知直线 3x＋4y－15＝0 与圆 O：x2＋y2 ＝25 交于 A，B 两点，点 C 在圆 O 上，且 S△ABC＝8，则满足条件 的点 C 的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：C 解析：圆心 O 到已知直线的距离 d＝ |－15| 32＋42 ＝3， 因此|AB|＝2 52－32＝8，设点 C 到直线 AB 的距离为 h，则 S△ABC＝1 2 ×8×h＝8，h＝2，由于 d＋h＝3＋2＝5＝r(圆的半径)， 因此与直线 AB 距离为 2 的两条直线中一条与圆相切，一条与圆相 交，故符合条件的点 C 有三个．故选 C. 11．(圆的公切线)两圆 x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0 和 x2＋y2－4by－1＋4b2＝0 恰有三条公切线，若 a∈R，b∈R 且 ab≠0，则1 a2 ＋ 1 b2 的最小值为(　　) A．1 B．3 C.1 9 D.4 9 答案：A 解析：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0，即(x＋a)2＋y2＝4，x2＋y2－4by －1＋4b2＝0，即 x2＋(y－2b)2＝1.依题意可得，两圆外切，则两圆 圆心距离等于两圆的半径之和， 则 a2＋(2b)2＝1＋2＝3，即 a2＋4b2＝9， 所 以 1 a2 ＋ 1 b2 ＝ ( 1 a2＋ 1 b2)( a2＋4b2 9 )＝ 1 9(5＋a2 b2＋4b2 a2 )≥1 9 (5＋2 a2 b2· 4b2 a2 )＝1，当且仅当a2 b2 ＝4b2 a2 ，即 a＝± 2b 时取等号，故选 A. 12．(点的存在性问题)已知圆 C：x2＋y2＝1，点 P(x0，y0)在直 线 l：3x＋2y－4＝0 上，若在圆 C 上总存在两个不同的点 A，B， 使OA→ ＋OB→ ＝OP→ ，则 x0 的取值范围是(　　) A. (0，24 13) B. (－24 13 ，0)C. (0，13 24) D. (0，13 12)答案：A解析：如图，∵OA→ ＋OB→ ＝OP→ ， ∴OP 与 AB 互相垂直平分，∴ 圆心到直线 AB 的距离为1 2 x20＋y20